Hoja de actividades: El teorema de Pitágoras en tres dimensiones

El teorema de Pitágoras es ampliamente conocido como una relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. En esta hoja de problemas, practicarás el uso del teorema de Pitágoras en tres dimensiones para resolver problemas de geometría en tres dimensiones.

P1:

El dibujo muestra un cubo š“šµš¶š·š“ā€²šµā€²š¶ā€²š·ā€². Calcula las longitudes š“ā€²šµ y š“š¶.

  • Aš“ā€²šµ=97, š“š¶=97āˆš2
  • Bš“ā€²šµ=97āˆš2, š“š¶=97
  • Cš“ā€²šµ=97, š“š¶=97
  • Dš“ā€²šµ=97āˆš2, š“š¶=97āˆš2

P2:

El dibujo muestra un cubo š“šµš¶š·š“ā€²šµā€²š¶ā€²š·ā€². Calcula las longitudes š“ā€²šµ y š“š¶.

  • Aš“ā€²šµ=93, š“š¶=93āˆš2
  • Bš“ā€²šµ=93āˆš2, š“š¶=93
  • Cš“ā€²šµ=93, š“š¶=93
  • Dš“ā€²šµ=93āˆš2, š“š¶=93āˆš2

P3:

El dibujo muestra un cubo š“šµš¶š·š“ā€²šµā€²š¶ā€²š·ā€². Calcula las longitudes š“ā€²šµ y š“š¶.

  • Aš“ā€²šµ=56, š“š¶=56āˆš2
  • Bš“ā€²šµ=56āˆš2, š“š¶=56
  • Cš“ā€²šµ=56, š“š¶=56
  • Dš“ā€²šµ=56āˆš2, š“š¶=56āˆš2

P4:

El dibujo muestra un cubo š“šµš¶š·š“ā€²šµā€²š¶ā€²š·ā€². Calcula las longitudes š“ā€²šµ y š“š¶.

  • Aš“ā€²šµ=5, š“š¶=5āˆš2
  • Bš“ā€²šµ=5āˆš2, š“š¶=5
  • Cš“ā€²šµ=5, š“š¶=5
  • Dš“ā€²šµ=5āˆš2, š“š¶=5āˆš2

P5:

Sabiendo que š‘€š“šµš¶ es una pirĆ”mide triangular regular, que la longitud de su arista lateral š‘€š“=59cm, y que su base š“šµš¶ tiene un Ć”ngulo recto en š“, donde šµš“=105cm y š¶š“=36cm, calcula, a las centĆ©simas, la altura de la pirĆ”mide.

P6:

Sea šµš¶š· un triĆ”ngulo equilĆ”tero de 96 de lado, y šµš“ una perpendicular al plano šµš¶š· de 48 de longitud. Determina la longitud de la perpendicular desde š“ hasta š¶š·.

P7:

š“šµš¶š· es una pirĆ”mide triangular en la que āˆ šµš“š¶=30āˆ˜ y āˆ šµš“š·=90āˆ˜. Se traza šµš»āŸ‚š“š¶. Sabiendo que šµš» es perpendicular al plano š“š¶š·, y que šµš»=25 y š“š·=65, calcula la longitud de š»š·.

  • A69.6
  • B41
  • C25āˆš3
  • D10āˆš61

P8:

š‘š“, š‘šµ y š‘š¶ son mutuamente ortogonales. SupĆ³n que š‘š“=10, š‘šµ=30, y sea š· en š“šµ. Halla la longitud š“š· para la cual š“šµ es perpendicular al plano š‘š¶š·.

  • A3āˆš10
  • Bāˆš10
  • C9āˆš10
  • D10āˆš10

P9:

š‘€š“šµš¶ es una pirĆ”mide regular cuya base š“šµš¶ es un triĆ”ngulo equilĆ”tero que mide de lado 32 cm. Sabiendo que la longitud de su arista lateral es 88 cm, halla la altura.

P10:

Considera el prisma inclinado š“šµš¶š“ā€²šµā€²š¶ā€² en el cual šµš¶š¶ā€²šµā€² es un cuadrado. Se traza šµš·āŸ‚š“š“ā€² con š· en š“š“ā€². Sabiendo que š“šµ=19, šµš·=8 y š“š¶=21, halla la longitud de š·š¶.

  • A12
  • B20.6
  • C3āˆš82
  • D29.4

P11:

En el dibujo, š“šµ estĆ” en el plano šœ‹, y š“š¶ es perpendicular a šœ‹. Dado que š“šµ=6 y que š“š¶=8, halla la longitud de šµš¶.

P12:

Un triĆ”ngulo š“šµš¶ es tal que āˆ šµ=60āˆ˜ y šµš¶=23. El segmento š¶š· se traza perpendicularmente al plano de š“šµš¶, y la perpendicular de š“šµ desde š· se traza de modo que lo toque en šø. Si š·šø=23, determina la longitud de š¶š· y el Ć”ngulo entre šµš· y el plano de š¶š·šø.

  • A19.92, 4053ā€²36.22ā€²ā€²āˆ˜
  • B19.92, 6326ā€²5.82ā€²ā€²āˆ˜
  • C11.5, 6326ā€²5.82ā€²ā€²āˆ˜
  • D11.5, 2633ā€²54.18ā€²ā€²āˆ˜
  • E30.43, 30āˆ˜

P13:

El triĆ”ngulo š“šµš¶ tiene un Ć”ngulo recto en šµ, y šµš· es ortogonal al plano š“šµš¶. Una perpendicular š·šø se traza desde šø en š“š¶. El Ć”rea de ā–³š“š¶š· es 1ā€Žā€‰ā€Ž134, š“šµ=43.2 y šµš¶=12.6. Sea šœƒ el Ć”ngulo entre š·šø y el plano š“šµš¶. Halla tgšœƒ a la milĆ©sima mĆ”s cercana.

P14:

De un triĆ”ngulo š“šµš¶ se sabe que āˆ š“=60āˆ˜ y que š“šµ=24. El segmento šµš· es perpendicular al plano š“šµš¶, y š‘‚ es el pie del segmento perpendicular desde š· a š“š¶. Si š·š‘‚=72, ĀæcuĆ”l es la longitud de šµš·?

  • A12āˆš39
  • B48āˆš2
  • C12āˆš35
  • D12āˆš33

P15:

Del rectĆ”ngulo š“šµš¶š· se sabe que š“šµ=25 y šµš¶=36. Considera las perpendiculares šµš» y š“š‘‚, ambas de longitud 27. ĀæCuĆ”l es el Ć”rea de š¶š·š‘‚š»?

  • A900
  • B675
  • C1ā€Žā€‰ā€Ž125
  • D1ā€Žā€‰ā€Ž095.7

P16:

Sabiendo que š“šµš¶š·šøš¹šŗš» es un cubo con longitud de arista de 6āˆš2 cm, y que š‘‹ es el punto medio de š“šµ, calcula el Ć”rea del rectĆ”ngulo š·š‘‹š‘Œšø.

  • A36āˆš5 cm2
  • B72 cm2
  • C101.82 cm2
  • D90 cm2

P17:

El parelepĆ­pedo rectangular š“šµš¶š·š“ā€²šµā€²š¶ā€²š·ā€² tiene dimensiones š“šµ=69cm, šµš¶=55cm y š“š“ā€²=92cm. Determina el Ć”rea del rectĆ”ngulo š¶šµš“ā€²š·ā€².

P18:

Indica un par de puntos entre los que se puede trazar una diagonal en este prisma rectangular:

  • Aš¹,š¶
  • Bšŗ,š·
  • Cš“,š¶
  • Dš“,šŗ
  • Ešø,š·

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