Hoja de actividades: El teorema de Pitágoras en tres dimensiones

El teorema de Pitágoras es ampliamente conocido como una relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. En esta hoja de problemas, practicarás el uso del teorema de Pitágoras en tres dimensiones para resolver problemas de geometría en tres dimensiones.

P1:

El dibujo muestra un cubo 𝐴𝐡𝐢𝐷𝐴′𝐡′𝐢′𝐷′. Calcula las longitudes 𝐴′𝐡 y 𝐴𝐢.

  • A𝐴′𝐡=97, 𝐴𝐢=97√2
  • B𝐴′𝐡=97√2, 𝐴𝐢=97
  • C𝐴′𝐡=97, 𝐴𝐢=97
  • D𝐴′𝐡=97√2, 𝐴𝐢=97√2

P2:

El dibujo muestra un cubo 𝐴𝐡𝐢𝐷𝐴′𝐡′𝐢′𝐷′. Calcula las longitudes 𝐴′𝐡 y 𝐴𝐢.

  • A𝐴′𝐡=93, 𝐴𝐢=93√2
  • B𝐴′𝐡=93√2, 𝐴𝐢=93
  • C𝐴′𝐡=93, 𝐴𝐢=93
  • D𝐴′𝐡=93√2, 𝐴𝐢=93√2

P3:

El dibujo muestra un cubo 𝐴𝐡𝐢𝐷𝐴′𝐡′𝐢′𝐷′. Calcula las longitudes 𝐴′𝐡 y 𝐴𝐢.

  • A𝐴′𝐡=56, 𝐴𝐢=56√2
  • B𝐴′𝐡=56√2, 𝐴𝐢=56
  • C𝐴′𝐡=56, 𝐴𝐢=56
  • D𝐴′𝐡=56√2, 𝐴𝐢=56√2

P4:

El dibujo muestra un cubo 𝐴𝐡𝐢𝐷𝐴′𝐡′𝐢′𝐷′. Calcula las longitudes 𝐴′𝐡 y 𝐴𝐢.

  • A𝐴′𝐡=5, 𝐴𝐢=5√2
  • B𝐴′𝐡=5√2, 𝐴𝐢=5
  • C𝐴′𝐡=5, 𝐴𝐢=5
  • D𝐴′𝐡=5√2, 𝐴𝐢=5√2

P5:

Considera el prisma inclinado 𝐴𝐡𝐢𝐴′𝐡′𝐢′ en el cual 𝐡𝐢𝐢′𝐡′ es un cuadrado. Se traza π΅π·βŸ‚π΄π΄β€² con 𝐷 en 𝐴𝐴′. Sabiendo que 𝐴𝐡=19, 𝐡𝐷=8 y 𝐴𝐢=21, halla la longitud de 𝐷𝐢.

  • A12
  • B20.6
  • C3√82
  • D29.4

P6:

En el dibujo, 𝐴𝐡 estΓ‘ en el plano πœ‹, y 𝐴𝐢 es perpendicular a πœ‹. Dado que 𝐴𝐡=6 y que 𝐴𝐢=8, halla la longitud de 𝐡𝐢.

P7:

Un triΓ‘ngulo 𝐴𝐡𝐢 es tal que 𝐡=60∘ y 𝐡𝐢=23. El segmento 𝐢𝐷 se traza perpendicularmente al plano de 𝐴𝐡𝐢, y la perpendicular de 𝐴𝐡 desde 𝐷 se traza de modo que lo toque en 𝐸. Si 𝐷𝐸=23, determina la longitud de 𝐢𝐷 y el Γ‘ngulo entre 𝐡𝐷 y el plano de 𝐢𝐷𝐸.

  • A30,43, 30∘
  • B11,5, 6326β€²5,82β€²β€²βˆ˜
  • C19,92, 6326β€²5,82β€²β€²βˆ˜
  • D19,92, 4053β€²36,22β€²β€²βˆ˜
  • E11,5, 2633β€²54,18β€²β€²βˆ˜

P8:

De un triΓ‘ngulo 𝐴𝐡𝐢 se sabe que 𝐴=60∘ y que 𝐴𝐡=24. El segmento 𝐡𝐷 es perpendicular al plano 𝐴𝐡𝐢, y 𝑂 es el pie del segmento perpendicular desde 𝐷 a 𝐴𝐢. Si 𝐷𝑂=72, ΒΏcuΓ‘l es la longitud de 𝐡𝐷?

  • A12√35
  • B12√33
  • C48√2
  • D12√39

P9:

Indica un par de puntos entre los que se puede trazar una diagonal en este prisma rectangular:

  • A𝐹,𝐢
  • B𝐺,𝐷
  • C𝐴,𝐢
  • D𝐴,𝐺
  • E𝐸,𝐷

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