Hoja de actividades: Determinar si una función es derivable

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo determinar si una función es derivable o no, y vamos a explorar la relación entre la derivabilidad de una función y su continuidad.

P1:

Sea ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ณ5๐‘Ž+๐‘๐‘ฅ๐‘ฅ<โˆ’2,5๐‘ฅ=โˆ’2,๐‘Ž๐‘ฅโˆ’3๐‘๐‘ฅ>โˆ’2.๏ŠจsisisiDetermina los valores que han de tener ๐‘Ž y ๐‘ para que ๐‘“ sea continua en ๐‘ฅ=โˆ’2. ยฟEs ๐‘“ derivable en este punto?

  • A ๐‘Ž = โˆ’ 4 , ๐‘ = 1 , es derivable en ๐‘ฅ=โˆ’2
  • B ๐‘Ž = 5 , ๐‘ = โˆ’ 5 , no es derivable en ๐‘ฅ=โˆ’2
  • C ๐‘Ž = 5 , ๐‘ = โˆ’ 5 , es derivable en ๐‘ฅ=โˆ’2
  • D ๐‘Ž = โˆ’ 4 , ๐‘ = 1 , no es derivable en ๐‘ฅ=โˆ’2

P2:

Analiza la continuidad y derivabilidad de la funciรณn ๐‘“ en ๐‘ฅ=0 sabiendo que ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ฎโˆ’9๐‘ฅโˆ’6๐‘ฅ<0,๐‘ฅโˆ’9๐‘ฅโˆ’6๐‘ฅโ‰ฅ0.sisi๏Šจ

  • ALa funciรณn no es continua y, por lo tanto, tampoco es derivable en ๐‘ฅ=0.
  • BLa funciรณn es continua pero no es derivable en ๐‘ฅ=0.
  • CLa funciรณn no es continua pero sรญ derivable en ๐‘ฅ=0.
  • DLa funciรณn es continua y derivable en ๐‘ฅ=0.

P3:

Analiza la derivabilidad de la funciรณn ๐‘“(๐‘ฅ) en ๐‘ฅ=1, siendo ๐‘“(๐‘ฅ)=(6๐‘ฅโˆ’6)|6๐‘ฅโˆ’6|.

  • ALa funciรณn es derivable en ๐‘ฅ=1 porque ๐‘“(๐‘ฅ) es continua en ese punto.
  • BLa funciรณn no es derivable en ese punto puesto que ๐‘“โ€ฒ(1)โ‰ ๐‘“โ€ฒ(1)๏Šฑ๏Šฐ.
  • CLa funciรณn es derivable en ese punto puesto que ๐‘“โ€ฒ(1)=๐‘“โ€ฒ(1)๏Šฑ๏Šฐ.
  • DLa funciรณn no es derivable en ๐‘ฅ=1 porque ๐‘“(๐‘ฅ) es discontinua en ese punto.

P4:

Discute la derivabilidad de la funciรณn ๐‘“ en ๐‘ฅ=1 siendo ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ฎ2๐‘ฅ+8๐‘ฅ<1,๐‘ฅ+9๐‘ฅโ‰ฅ1.sisi๏Šจ

  • A ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) no es derivable en ๐‘ฅ=1 porque ๐‘“ es discontinua en ๐‘ฅ=1.
  • B ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) no es continua pero sรญ es derivable en ๐‘ฅ=1 porque ๐‘“โ€ฒ(1)=๐‘“โ€ฒ(1)๏Šฐ๏Šฑ.
  • C ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) es continua pero no derivable en ๐‘ฅ=1 porque ๐‘“โ€ฒ(1)โ‰ ๐‘“โ€ฒ(1)๏Šฐ๏Šฑ.
  • D ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) es derivable en ๐‘ฅ=1.
  • E ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) no es derivable en ๐‘ฅ=1 porque ๐‘“(1) no estรก definido.

P5:

Analiza la derivabilidad de la funciรณn ๐‘“(๐‘ฅ)=โˆ’4๐‘ฅ+1๐‘ฅ en ๐‘ฅ=โˆ’7.

  • ALa funciรณn es derivable en ๐‘ฅ=โˆ’7 puesto que ๐‘“(โˆ’7) existe.
  • BLa funciรณn no es derivable en ๐‘ฅ=โˆ’7 porque ๐‘“(๐‘ฅ) no es continua en ese punto.
  • CLa funciรณn es derivable en ๐‘ฅ=โˆ’7 puesto que ๐‘“โ€ฒ(โˆ’7) existe.
  • DLa funciรณn no es derivable en ๐‘ฅ=โˆ’7 porque ๐‘“โ€ฒ(โˆ’7) no existe.

P6:

Calcula ๐‘Ž y ๐‘ sabiendo que la funciรณn ๐‘“ es derivable en ๐‘ฅ=โˆ’1 y que ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ฎ9๐‘ฅ+5๐‘ฅ<โˆ’1,๐‘Ž๐‘ฅ+๐‘๐‘ฅโˆ’4๐‘ฅโ‰ฅโˆ’1.sisi๏Šจ

  • A ๐‘Ž = โˆ’ 1 0 , ๐‘ = โˆ’ 8
  • B ๐‘Ž = โˆ’ 1 8 , ๐‘ = 0
  • C ๐‘Ž = โˆ’ 9 , ๐‘ = โˆ’ 9
  • D ๐‘Ž = โˆ’ 4 , ๐‘ = 1

P7:

Calcula ๐‘Ž y ๐‘ sabiendo que la funciรณn ๐‘“ es derivable en ๐‘ฅ=1 y que ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ญโˆ’๐‘ฅ+4๐‘ฅโ‰ค1,โˆ’2๐‘Ž๐‘ฅโˆ’๐‘๐‘ฅ>1.๏Šจsisi

  • A ๐‘Ž = 3 , ๐‘ = 6
  • B ๐‘Ž = โˆ’ 1 , ๐‘ = 5
  • C ๐‘Ž = 4 , ๐‘ = 5
  • D ๐‘Ž = 1 , ๐‘ = โˆ’ 5

P8:

Sabiendo que ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ฎ8๐‘ฅโˆ’8๐‘ฅ<โˆ’2,๐‘Ž๐‘ฅ๐‘ฅโ‰ฅโˆ’2.sisi๏Šฉ es una funciรณn continua, halla el valor de ๐‘Ž. ยฟQuรฉ puede decirse de la derivabilidad de ๐‘“ en ๐‘ฅ=โˆ’2?

  • A ๐‘Ž = 3 , ๐‘“ no es derivable en ๐‘ฅ=โˆ’2
  • B ๐‘Ž = 3 , ๐‘“ es derivable en ๐‘ฅ=โˆ’2
  • C ๐‘Ž = โˆ’ 3 , ๐‘“ es derivable en ๐‘ฅ=โˆ’2
  • D ๐‘Ž = โˆ’ 3 , ๐‘“ no es derivable en ๐‘ฅ=โˆ’2

P9:

Sea ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ญโˆ’6๐‘ฅโˆ’4๐‘ฅโ‰คโˆ’1,3๐‘ฅ๐‘ฅ>โˆ’1.sisi๏ŠจยฟQuรฉ puede decirse de la derivabilidad de ๐‘“ en ๐‘ฅ=โˆ’1?

  • ALa funciรณn ๐‘“(๐‘ฅ) no es derivable en ๐‘ฅ=โˆ’1 porque ๐‘“(โˆ’1) no estรก definido.
  • BLa funciรณn ๐‘“(๐‘ฅ) es derivable en ๐‘ฅ=โˆ’1 puesto que limlim๏—โ†’๏Šฑ๏Šง๏—โ†’๏Šฑ๏Šง๏Žช๏Žฉ๐‘“(๐‘ฅ)โ‰ ๐‘“(๐‘ฅ) pero no es continua.
  • CLa funciรณn ๐‘“(๐‘ฅ) no es derivable en ๐‘ฅ=โˆ’1 porque ๐‘“(๐‘ฅ) es continua en ๐‘“(โˆ’1).
  • DLa funciรณn ๐‘“(๐‘ฅ) es continua pero no derivable en ๐‘ฅ=โˆ’1 porque ๐‘“โ€ฒ(โˆ’1)โ‰ ๐‘“โ€ฒ(โˆ’1)๏Šฑ๏Šฐ.
  • ELa funciรณn ๐‘“(๐‘ฅ) no es derivable en ๐‘ฅ=โˆ’1.

P10:

Describe la derivabilidad de la funciรณn ๐‘“ en ๐‘ฅ=1, siendo ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ฎ8๐‘ฅโˆ’7๐‘ฅ+3โˆ’2โ‰ค๐‘ฅ<1,4๐‘ฅ1โ‰ค๐‘ฅโ‰ค3.๏Šจsisi

  • A ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) es derivable en ๐‘ฅ=1.
  • B ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) es continua pero no es derivable en ๐‘ฅ=1 porque ๐‘“โ€ฒ(1)โ‰ ๐‘“โ€ฒ(1)๏Šฐ๏Šฑ.
  • C ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) no es derivable en ๐‘ฅ=1 porque ๐‘“(๐‘ฅ) es discontinua en ๐‘ฅ=1.
  • D ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) no es continua pero sรญ es derivable en ๐‘ฅ=1 porque ๐‘“โ€ฒ(1)=๐‘“โ€ฒ(1)๏Šฐ๏Šฑ.

P11:

Considera la funciรณn ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ญ๐‘ฅโˆ’9๐‘ฅโ‰ค4,๐‘ฅ+3๐‘ฅ>4.๏ŠจsisiDescribe la continuidad y derivabilidad de ๐‘“ en ๐‘ฅ=4.

  • ALa funciรณn es continua pero no derivable en ๐‘ฅ=4 porque ๐‘“โ€ฒ(4)โ‰ ๐‘“โ€ฒ(4)๏Šฑ๏Šฐ.
  • BLa funciรณn es continua y derivable en ๐‘ฅ=4 porque limlim๏—โ†’๏Šช๏—โ†’๏Šช๏Žช๏Žฉ๐‘“(๐‘ฅ)=๐‘“(๐‘ฅ)=๐‘“(4).
  • CLa funciรณn no es continua pero sรญ derivable en ๐‘ฅ=4 porque limlim๏—โ†’๏Šช๏—โ†’๏Šช๏Žช๏Žฉ๐‘“(๐‘ฅ)=๐‘“(๐‘ฅ)=๐‘“(4).
  • DLa funciรณn no es continua y, por lo tanto, tampoco es derivable en ๐‘ฅ=4.

P12:

ยฟQuรฉ se puede afirmar sobre la derivabilidad de ๐‘“(๐‘ฅ)=9๐‘ฅ+8๐‘ฅ+7๏Šจ en ๐‘ฅ=โˆ’2?

  • A ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) ( ๐‘ฅ ) no es derivable en ๐‘ฅ=โˆ’2 porque ๐‘“(๐‘ฅ) no es continua.
  • B ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) ( ๐‘ฅ ) no es derivable en ๐‘ฅ=โˆ’2 porque ๐‘“(โˆ’2)๏Ž˜ no existe.
  • C ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) ( ๐‘ฅ ) es derivable en ๐‘ฅ=โˆ’2.
  • D ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) ( ๐‘ฅ ) no es derivable en ๐‘ฅ=โˆ’2 porque ๐‘“(โˆ’2) no estรก definido.

P13:

Considera la funciรณn ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ญ4๐‘ฅโˆ’7๐‘ฅ<1,2๐‘ฅโˆ’5๐‘ฅโ‰ฅ1.sisi๏Šจ ยฟQuรฉ puede decirse de la diferenciabilidad de ๐‘“ en ๐‘ฅ=1?

  • A La funciรณn ๐‘“(๐‘ฅ) no es diferenciable en ๐‘ฅ=1 porque ๐‘“ es discontinua en ๐‘ฅ=1.
  • B La funciรณn ๐‘“(๐‘ฅ) no es diferenciable en ๐‘ฅ=1 porque ๐‘“(1) no estรก definido.
  • C La funciรณn ๐‘“(๐‘ฅ) es continua pero no diferenciable en ๐‘ฅ=1 porque ๐‘“โ€ฒ(1)โ‰ ๐‘“โ€ฒ(1)๏Šฐ๏Šฑ.
  • D La funciรณn ๐‘“(๐‘ฅ) es diferenciable en ๐‘ฅ=1.
  • E La funciรณn ๐‘“(๐‘ฅ) es discontinua pero es diferenciable en ๐‘ฅ=1 porque ๐‘“โ€ฒ(1)=๐‘“โ€ฒ(1)๏Šฐ๏Šฑ.

P14:

Considera la funciรณn ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ญ๐‘ฅโˆ’15๐‘ฅโ‰ค1,2๐‘ฅโˆ’16๐‘ฅ>1.๏Šจsisi ยฟQuรฉ se puede decir sobre la derivabilidad de ๐‘“ en ๐‘ฅ=1?

  • ALa funciรณn no es continua, de modo que no es derivable en ๐‘ฅ=1.
  • BLa funciรณn no es continua pero es derivable en ๐‘ฅ=1 porque limlim๏—โ†’๏Šง๏—โ†’๏Šง๏Žช๏Žฉ๐‘“(๐‘ฅ)=๐‘“(๐‘ฅ)=๐‘“(1).
  • CLa funciรณn es continua y derivable en ๐‘ฅ=1 porque ๐‘“โ€ฒ(1)=๐‘“โ€ฒ(1)๏Šฑ๏Šฐ.
  • DLa funciรณn es continua pero no derivable en ๐‘ฅ=1 porque limlim๏—โ†’๏Šง๏—โ†’๏Šง๏Žช๏Žฉ๐‘“(๐‘ฅ)=๐‘“(๐‘ฅ)=๐‘“(1).

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