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Hoja de actividades: Determinar si una función es derivable

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo determinar si una función es derivable o no, y vamos a explorar la relación entre la derivabilidad de una función y su continuidad.

P1:

Sabiendo que ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) = ๏ฎ 8 ๐‘ฅ โˆ’ 8 ๐‘ฅ < โˆ’ 2 , ๐‘Ž ๐‘ฅ ๐‘ฅ โ‰ฅ โˆ’ 2 . s i s i ๏Šฉ es una funciรณn continua, halla el valor de ๐‘Ž . ยฟQuรฉ puede decirse de la derivabilidad de ๐‘“ en ๐‘ฅ = โˆ’ 2 ?

  • A ๐‘Ž = โˆ’ 3 , ๐‘“ es derivable en ๐‘ฅ = โˆ’ 2
  • B ๐‘Ž = 3 , ๐‘“ es derivable en ๐‘ฅ = โˆ’ 2
  • C ๐‘Ž = โˆ’ 3 , ๐‘“ no es derivable en ๐‘ฅ = โˆ’ 2
  • D ๐‘Ž = 3 , ๐‘“ no es derivable en ๐‘ฅ = โˆ’ 2

P2:

Sea ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) = ๏ญ โˆ’ 6 ๐‘ฅ โˆ’ 4 ๐‘ฅ โ‰ค โˆ’ 1 , 3 ๐‘ฅ ๐‘ฅ > โˆ’ 1 . s i s i ๏Šจ ยฟQuรฉ puede decirse de la derivabilidad de ๐‘“ en ๐‘ฅ = โˆ’ 1 ?

  • ALa funciรณn ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) no es derivable en ๐‘ฅ = โˆ’ 1 porque ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) es continua en ๐‘“ ( โˆ’ 1 ) .
  • BLa funciรณn ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) es continua pero no derivable en ๐‘ฅ = โˆ’ 1 porque ๐‘“ โ€ฒ ( โˆ’ 1 ) โ‰  ๐‘“ โ€ฒ ( โˆ’ 1 ) ๏Šฑ ๏Šฐ .
  • CLa funciรณn ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) es derivable en ๐‘ฅ = โˆ’ 1 puesto que l i m l i m ๏— โ†’ ๏Šฑ ๏Šง ๏— โ†’ ๏Šฑ ๏Šง ๏Žช ๏Žฉ ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) โ‰  ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) pero no es continua.
  • DLa funciรณn ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) no es derivable en ๐‘ฅ = โˆ’ 1 .
  • ELa funciรณn ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) no es derivable en ๐‘ฅ = โˆ’ 1 porque ๐‘“ ( โˆ’ 1 ) no estรก definido.

P3:

Describe la derivabilidad de la funciรณn ๐‘“ en ๐‘ฅ = 1 , siendo ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) = ๏ฎ 8 ๐‘ฅ โˆ’ 7 ๐‘ฅ + 3 โˆ’ 2 โ‰ค ๐‘ฅ < 1 , 4 ๐‘ฅ 1 โ‰ค ๐‘ฅ โ‰ค 3 . ๏Šจ s i s i

  • A ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) no es derivable en ๐‘ฅ = 1 porque ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) es discontinua en ๐‘ฅ = 1 .
  • B ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) es continua pero no es derivable en ๐‘ฅ = 1 porque ๐‘“ โ€ฒ ( 1 ) โ‰  ๐‘“ โ€ฒ ( 1 ) ๏Šฐ ๏Šฑ .
  • C ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) no es continua pero sรญ es derivable en ๐‘ฅ = 1 porque ๐‘“ โ€ฒ ( 1 ) = ๐‘“ โ€ฒ ( 1 ) ๏Šฐ ๏Šฑ .
  • D ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) es derivable en ๐‘ฅ = 1 .

P4:

Considera la funciรณn ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) = ๏ญ ๐‘ฅ โˆ’ 9 ๐‘ฅ โ‰ค 4 , ๐‘ฅ + 3 ๐‘ฅ > 4 . ๏Šจ s i s i Describe la continuidad y derivabilidad de ๐‘“ en ๐‘ฅ = 4 .

  • ALa funciรณn no es continua pero sรญ derivable en ๐‘ฅ = 4 porque l i m l i m ๏— โ†’ ๏Šช ๏— โ†’ ๏Šช ๏Žช ๏Žฉ ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) = ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) = ๐‘“ ( 4 ) .
  • BLa funciรณn es continua y derivable en ๐‘ฅ = 4 porque l i m l i m ๏— โ†’ ๏Šช ๏— โ†’ ๏Šช ๏Žช ๏Žฉ ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) = ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) = ๐‘“ ( 4 ) .
  • CLa funciรณn no es continua y, por lo tanto, tampoco es derivable en ๐‘ฅ = 4 .
  • DLa funciรณn es continua pero no derivable en ๐‘ฅ = 4 porque ๐‘“ โ€ฒ ( 4 ) โ‰  ๐‘“ โ€ฒ ( 4 ) ๏Šฑ ๏Šฐ .

P5:

Sea ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) = ๏ณ 5 ๐‘Ž + ๐‘ ๐‘ฅ ๐‘ฅ < โˆ’ 2 , 5 ๐‘ฅ = โˆ’ 2 , ๐‘Ž ๐‘ฅ โˆ’ 3 ๐‘ ๐‘ฅ > โˆ’ 2 . ๏Šจ s i s i s i Determina los valores que han de tener ๐‘Ž y ๐‘ para que ๐‘“ sea continua en ๐‘ฅ = โˆ’ 2 . ยฟEs ๐‘“ derivable en este punto?

  • A ๐‘Ž = โˆ’ 4 , ๐‘ = 1 , es derivable en ๐‘ฅ = โˆ’ 2
  • B ๐‘Ž = 5 , ๐‘ = โˆ’ 5 , es derivable en ๐‘ฅ = โˆ’ 2
  • C ๐‘Ž = โˆ’ 4 , ๐‘ = 1 , no es derivable en ๐‘ฅ = โˆ’ 2
  • D ๐‘Ž = 5 , ๐‘ = โˆ’ 5 , no es derivable en ๐‘ฅ = โˆ’ 2

P6:

Analiza la derivabilidad de la funciรณn ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) en ๐‘ฅ = 1 , siendo ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) = ( 6 ๐‘ฅ โˆ’ 6 ) | 6 ๐‘ฅ โˆ’ 6 | .

  • ALa funciรณn no es derivable en ๐‘ฅ = 1 porque ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) es discontinua en ese punto.
  • BLa funciรณn no es derivable en ese punto puesto que ๐‘“ โ€ฒ ( 1 ) โ‰  ๐‘“ โ€ฒ ( 1 ) โˆ’ + .
  • CLa funciรณn es derivable en ๐‘ฅ = 1 porque ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) es continua en ese punto.
  • DLa funciรณn es derivable en ese punto puesto que ๐‘“ โ€ฒ ( 1 ) = ๐‘“ โ€ฒ ( 1 ) โˆ’ + .

P7:

Calcula ๐‘Ž y ๐‘ sabiendo que la funciรณn ๐‘“ es derivable en ๐‘ฅ = 1 y que ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) = ๏ญ โˆ’ ๐‘ฅ + 4 ๐‘ฅ โ‰ค 1 , โˆ’ 2 ๐‘Ž ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ ๐‘ฅ > 1 . ๏Šจ s i s i

  • A ๐‘Ž = โˆ’ 1 , ๐‘ = 5
  • B ๐‘Ž = 3 , ๐‘ = 6
  • C ๐‘Ž = 4 , ๐‘ = 5
  • D ๐‘Ž = 1 , ๐‘ = โˆ’ 5

P8:

Calcula ๐‘Ž y ๐‘ sabiendo que la funciรณn ๐‘“ es derivable en ๐‘ฅ = โˆ’ 1 y que ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) = ๏ฎ 9 ๐‘ฅ + 5 ๐‘ฅ < โˆ’ 1 , ๐‘Ž ๐‘ฅ + ๐‘ ๐‘ฅ โˆ’ 4 ๐‘ฅ โ‰ฅ โˆ’ 1 . s i s i ๏Šจ

  • A ๐‘Ž = โˆ’ 1 0 , ๐‘ = โˆ’ 8
  • B ๐‘Ž = โˆ’ 1 8 , ๐‘ = 0
  • C ๐‘Ž = โˆ’ 4 , ๐‘ = 1
  • D ๐‘Ž = โˆ’ 9 , ๐‘ = โˆ’ 9

P9:

Analiza la derivabilidad de la funciรณn ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) = โˆ’ 4 ๐‘ฅ + 1 ๐‘ฅ en ๐‘ฅ = โˆ’ 7 .

  • ALa funciรณn no es derivable en ๐‘ฅ = โˆ’ 7 porque ๐‘“ โ€ฒ ( โˆ’ 7 ) no existe.
  • BLa funciรณn no es derivable en ๐‘ฅ = โˆ’ 7 porque ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) no es continua en ese punto.
  • CLa funciรณn es derivable en ๐‘ฅ = โˆ’ 7 puesto que ๐‘“ ( โˆ’ 7 ) existe.
  • DLa funciรณn es derivable en ๐‘ฅ = โˆ’ 7 puesto que ๐‘“ โ€ฒ ( โˆ’ 7 ) existe.

P10:

Analiza la continuidad y derivabilidad de la funciรณn ๐‘“ en ๐‘ฅ = 0 sabiendo que

  • ALa funciรณn no es continua y, por lo tanto, tampoco es derivable en ๐‘ฅ = 0 .
  • BLa funciรณn no es continua pero sรญ derivable en ๐‘ฅ = 0 .
  • CLa funciรณn es continua pero no es derivable en ๐‘ฅ = 0 .
  • DLa funciรณn es continua y derivable en ๐‘ฅ = 0 .

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