Hoja de actividades: El binomio de Newton

En esta hoja de problemas, usarás el triángulo de Tartaglia para encontrar los coeficientes de la expansión algebraica de cualquier expresión binomial de la forma (a + b) ^ n.

P1:

Usa el teorema del binomio para encontrar la expansiรณn de (1+๐‘ฅ)๏Šช.

  • A 1 + 3 ๐‘ฅ + 6 ๐‘ฅ + 1 0 ๐‘ฅ + 1 5 ๐‘ฅ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช
  • B 1 + 4 ๐‘ฅ + 6 ๐‘ฅ + 4 ๐‘ฅ + 4 ๐‘ฅ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช
  • C 1 + ๐‘ฅ ๏Šช
  • D ๐‘ฅ + 4 ๐‘ฅ + 4 ๐‘ฅ + ๐‘ฅ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช
  • E 1 + 4 ๐‘ฅ + 6 ๐‘ฅ + 4 ๐‘ฅ + ๐‘ฅ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช

P2:

Desarrolla (7+2๐‘ฅ)๏Šฉ.

  • A โˆ’ ๐‘ฅ + 2 1 ๐‘ฅ โˆ’ 1 4 7 ๐‘ฅ + 3 4 3 ๏Šฉ ๏Šจ
  • B 8 ๐‘ฅ + 8 4 ๐‘ฅ + 2 9 4 ๐‘ฅ + 3 4 3 ๏Šฉ ๏Šจ
  • C โˆ’ 8 ๐‘ฅ + 8 4 ๐‘ฅ โˆ’ 2 9 4 ๐‘ฅ + 3 4 3 ๏Šฉ ๏Šจ
  • D ๐‘ฅ + 2 1 ๐‘ฅ + 1 4 7 ๐‘ฅ + 3 4 3 ๏Šฉ ๏Šจ

P3:

Usa el teorema del binomio para encontrar la expansiรณn de (๐‘Ž+2๐‘)๏Šช.

  • A ๐‘Ž + 4 ๐‘Ž ๐‘ + 2 4 ๐‘Ž ๐‘ + 3 2 ๐‘Ž ๐‘ + 1 6 ๐‘ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช
  • B ๐‘Ž + 8 ๐‘Ž ๐‘ + 2 4 ๐‘Ž ๐‘ + 3 2 ๐‘Ž ๐‘ + 1 6 ๐‘ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช
  • C ๐‘Ž + 8 ๐‘Ž ๐‘ + 2 4 ๐‘Ž ๐‘ + 3 2 ๐‘Ž ๐‘ + 6 4 ๐‘ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช
  • D ๐‘Ž + 4 ๐‘Ž ๐‘ + 6 ๐‘Ž ๐‘ + 4 ๐‘Ž ๐‘ + ๐‘ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช
  • E ๐‘Ž + 1 6 ๐‘ ๏Šช ๏Šช

P4:

Usa el teorema del binomio para encontrar la expansiรณn de (๐‘Žโˆ’๐‘)๏Šซ.

  • A ๐‘Ž + 5 ๐‘Ž ๐‘ โˆ’ 1 0 ๐‘Ž ๐‘ + 1 0 ๐‘Ž ๐‘ โˆ’ 5 ๐‘Ž ๐‘ + ๐‘ ๏Šซ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช ๏Šซ
  • B 5 ๐‘Ž โˆ’ 5 ๐‘Ž ๐‘ + 1 0 ๐‘Ž ๐‘ โˆ’ 1 0 ๐‘Ž ๐‘ + 5 ๐‘Ž ๐‘ โˆ’ ๐‘ ๏Šซ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช ๏Šซ
  • C ๐‘Ž โˆ’ 5 ๐‘Ž ๐‘ โˆ’ 1 0 ๐‘Ž ๐‘ โˆ’ 1 0 ๐‘Ž ๐‘ โˆ’ 5 ๐‘Ž ๐‘ โˆ’ ๐‘ ๏Šซ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช ๏Šซ
  • D ๐‘Ž + 5 ๐‘Ž ๐‘ + 1 0 ๐‘Ž ๐‘ + 1 0 ๐‘Ž ๐‘ + 5 ๐‘Ž ๐‘ + ๐‘ ๏Šซ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช ๏Šซ
  • E ๐‘Ž โˆ’ 5 ๐‘Ž ๐‘ + 1 0 ๐‘Ž ๐‘ โˆ’ 1 0 ๐‘Ž ๐‘ + 5 ๐‘Ž ๐‘ โˆ’ ๐‘ ๏Šซ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช ๏Šซ

P5:

Escribe los coeficientes de los tรฉrminos de la expansiรณn de (๐‘ฅ+๐‘ฆ)๏Šช.

  • A 1 , 4 , 6 , 4 , 1
  • B 1 , 3 , 3 , 1
  • C 1 , 5 , 1 0 , 5 , 1
  • D 1 , 2 , 1
  • E 1 , 4 , 4 , 1

P6:

Usa el teorema del binomio para expandir (2๐‘ฅโˆ’3๐‘ฆ)๏Šฉ.

  • A 8 ๐‘ฅ โˆ’ 1 2 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 1 8 ๐‘ฅ ๐‘ฆ โˆ’ 2 7 ๐‘ฆ ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ
  • B 8 ๐‘ฅ + 3 6 ๐‘ฅ ๐‘ฆ โˆ’ 5 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 2 7 ๐‘ฆ ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ
  • C 8 ๐‘ฅ + 3 6 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 5 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 2 7 ๐‘ฆ ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ
  • D 8 ๐‘ฅ โˆ’ 3 6 ๐‘ฅ ๐‘ฆ โˆ’ 5 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ โˆ’ 2 7 ๐‘ฆ ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ
  • E 8 ๐‘ฅ โˆ’ 3 6 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 5 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ โˆ’ 2 7 ๐‘ฆ ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ

P7:

Desarrolla (๐‘ฅ+2๐‘ฆ)๏Šจ๏Šจ.

  • A ๐‘ฅ + 2 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + ๐‘ฆ ๏Šช ๏Šจ ๏Šจ
  • B ๐‘ฅ + 2 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + ๐‘ฆ ๏Šจ ๏Šจ
  • C ๐‘ฅ + 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 4 ๐‘ฆ ๏Šช ๏Šจ ๏Šจ
  • D ๐‘ฅ + 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 4 ๐‘ฆ ๏Šจ ๏Šจ

P8:

Desarrolla ๏€ผ6๐‘ฅโˆ’13๐‘ฅ๏ˆ๏Šจ๏Šจ.

  • A 3 6 ๐‘ฅ โˆ’ 4 ๐‘ฅ + 1 9 ๐‘ฅ ๏Šช ๏Šจ
  • B ๐‘ฅ โˆ’ 2 ๐‘ฅ 3 + 1 9 ๐‘ฅ ๏Šช ๏Šจ
  • C 3 6 ๐‘ฅ + 4 ๐‘ฅ + 1 9 ๐‘ฅ ๏Šช ๏Šจ
  • D 3 6 ๐‘ฅ โˆ’ 1 2 ๐‘ฅ + 1 ๐‘ฅ ๏Šช ๏Šจ

P9:

Desarrolla ๏€ผ๐‘ฅ4โˆ’1๐‘ฅ๏ˆ๏Šซ.

  • A ๐‘ฅ โˆ’ 2 0 ๐‘ฅ + 1 6 0 ๐‘ฅ โˆ’ 6 4 0 ๐‘ฅ + 1 2 8 0 ๐‘ฅ โˆ’ 1 0 2 4 ๏Šง ๏Šฆ ๏Šฎ ๏Šฌ ๏Šช ๏Šจ
  • B ๐‘ฅ โˆ’ 2 0 ๐‘ฅ + 1 6 0 ๐‘ฅ โˆ’ 6 4 0 ๐‘ฅ + 1 2 8 0 ๐‘ฅ โˆ’ 1 0 2 4 ๐‘ฅ ๏Šง ๏Šฆ ๏Šญ ๏Šช ๏Šจ ๏Šซ
  • C ๐‘ฅ 1 0 2 4 โˆ’ 5 ๐‘ฅ 2 5 6 + 5 ๐‘ฅ 3 2 โˆ’ 5 8 ๐‘ฅ + 5 4 ๐‘ฅ โˆ’ 1 ๐‘ฅ ๏Šซ ๏Šฉ ๏Šฉ ๏Šซ
  • D ๐‘ฅ โˆ’ 5 ๐‘ฅ + 1 0 ๐‘ฅ โˆ’ 1 0 ๐‘ฅ + 5 ๐‘ฅ โˆ’ 1 ๐‘ฅ ๏Šซ ๏Šฉ ๏Šฉ ๏Šซ

P10:

Halla el coeficiente del cuarto tรฉrmino en el desarrollo de ๏€ผ๐‘ฅ+1๐‘ฅ๏ˆ๏Šช.

  • A4
  • B8
  • C14
  • D6

P11:

Responde las siguientes preguntas acerca de la expansiรณn de (2+๐‘˜)๏Šฌ.

Dado que el coeficiente de ๐‘ฅ๏Šจ es 60, y ๐‘˜ es positivo, encuentra ๐‘˜.

  • A ๐‘˜ = 1
  • B ๐‘˜ = โˆš 1 5 4
  • C ๐‘˜ = 2
  • D ๐‘˜ = 1 2
  • E ๐‘˜ = 1 4

Usando este valor de ๐‘˜, determina el coeficiente de ๐‘ฅ๏Šซ en la expansiรณn.

  • A 3 8
  • B12
  • C 1 5
  • D384
  • E 3 2 5 6

P12:

Responde la siguiente pregunta sobre la expansiรณn de (1โˆ’3๐‘ฅ)๏Š.

Dado que el coeficiente de ๐‘ฅ๏Šจ es 189, encuentra ๐‘›.

  • A ๐‘› = 1 0
  • B ๐‘› = 7
  • C ๐‘› = 8
  • D ๐‘› = 9
  • E ๐‘› = 6

Usando esta informaciรณn. Encuentra el valor del coeficiente de ๐‘ฅ๏Šซ.

P13:

Considera el desarrollo de ๏€น๐‘ฅ+๐‘ฅ๏…๏Šฌ๏Šฑ๏Šฌ๏Šซ en potencias de grado descendente. Halla los valores posibles de ๐‘ฅ si el tercer tรฉrmino vale 640.

  • A 4 , โˆ’ 4
  • B12
  • C10
  • D 2 , โˆ’ 2

P14:

Halla los dos tรฉrminos centrales en el desarrollo de (14๐‘ฅ+๐‘ฆ)๏Šฉ.

  • A 2 7 4 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๏Šจ , 1 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๏Šจ
  • B 1 9 6 ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๏Šจ , 1 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๏Šจ
  • C 1 9 6 ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๏Šจ , 4 2 ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๏Šจ
  • D 5 8 8 ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๏Šจ , 4 2 ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๏Šจ

P15:

Halla ๐‘ฅ sabiendo que la razรณn entre los tรฉrminos centrales en el desarrollo de (1+๐‘ฅ)๏Šฉ es 1โˆถ2.

P16:

Desarrolla (5๐‘ฅ+4๐‘ฆ)๏Šช.

  • A ๐‘ฅ + 1 6 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 9 6 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 2 5 6 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 2 5 6 ๐‘ฆ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช
  • B 6 2 5 ๐‘ฅ + 5 0 0 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 1 5 0 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 2 0 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + ๐‘ฆ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช
  • C 6 2 5 ๐‘ฅ + 2 0 0 0 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 2 4 0 0 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 1 2 8 0 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 2 5 6 ๐‘ฆ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช
  • D ๐‘ฅ + 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 6 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + ๐‘ฆ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช

P17:

Desarrolla ๏€ผ8๐‘ฅโˆ’74๐‘ฆ๏ˆ๏Šจ.

  • A 6 4 ๐‘ฅ โˆ’ 2 8 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 4 9 ๐‘ฆ 1 6 ๏Šจ ๏Šจ
  • B 6 4 ๐‘ฅ + 2 8 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 4 9 ๐‘ฆ 1 6 ๏Šจ ๏Šจ
  • C 6 4 ๐‘ฅ โˆ’ 1 1 2 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 4 9 ๐‘ฆ ๏Šจ ๏Šจ
  • D 6 4 ๐‘ฅ + 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + ๐‘ฆ 1 6 ๏Šจ ๏Šจ
  • E 6 4 ๐‘ฅ โˆ’ 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + ๐‘ฆ 1 6 ๏Šจ ๏Šจ

P18:

Desarrolla ๏€ป๐‘ฅโˆ’โˆš2๏‡๏Šฉ.

  • A โˆ’ ๐‘ฅ + 3 โˆš 2 ๐‘ฅ โˆ’ 6 ๐‘ฅ + 2 โˆš 2 ๏Šฉ ๏Šจ
  • B ๐‘ฅ โˆ’ 3 โˆš 2 ๐‘ฅ + 6 ๐‘ฅ โˆ’ 2 โˆš 2 ๏Šฌ ๏Šช ๏Šจ
  • C ๐‘ฅ + 3 โˆš 2 ๐‘ฅ + 6 ๐‘ฅ + 2 โˆš 2 ๏Šฉ ๏Šจ
  • D ๐‘ฅ โˆ’ 3 โˆš 2 ๐‘ฅ + 6 ๐‘ฅ โˆ’ 2 โˆš 2 ๏Šฉ ๏Šจ

P19:

Halla el tercer tรฉrmino en el desarrollo de (4๐‘ฅ+3)๏Šฉ.

  • A 1 0 8 ๐‘ฅ ๏Šจ
  • B 1 0 8 ๐‘ฅ
  • C 2 7 ๐‘ฅ
  • D 2 7 ๐‘ฅ ๏Šจ

P20:

Calcula el valor de ๐‘ฅ que satisface la igualdad 1+9๐‘ฅ+9ร—82ร—1๐‘ฅ+9ร—8ร—73ร—2ร—1๐‘ฅ+โ‹ฏ+๐‘ฅ=512.๏Šจ๏Šฉ๏Šฏ

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