Hoja de actividades: Transformaciones lineales

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo identificar la matriz de una simetría axial, un giro y una dilatación, y cómo utilizarlas para realizar transformaciones de puntos en un plano.

P1:

Considera la siguiente figura.

Los puntos 𝑂 ( 0 , 0 ) , 𝐴 ( 1 , 0 ) , 𝐵 ( 1 , 1 ) y 𝐶 ( 0 , 1 ) son las esquinas de un cuadrado unitario. Este cuadrado es reflejado sobre la recta 𝑂 𝐷 con ecuación 𝑦 = 1 2 𝑥 para formar la imagen 𝑂 𝐴 𝐵 𝐶 .

Como 𝐴 es la imagen de la reflexión de 𝐴 respecto a la recta que pasa por 𝑂 y 𝐷 , 𝐴 𝑂 𝐴 = 2 𝐷 𝑂 𝐴 . Usa este hecho y la identidad t a n t a n t a n 2 𝜃 = 2 𝜃 1 𝜃 para encontrar la pendiente y con esto la ecuación de 𝑂 𝐴 a partir de la pendiente de 𝑂 𝐷 .

  • A 𝑦 = 2 3 𝑥
  • B 𝑦 = 4 3 𝑥
  • C 𝑦 = 2 3 𝑥
  • D 𝑦 = 4 3 𝑥
  • E 𝑦 = 3 4 𝑥

Usa el hecho que 𝑂 𝐶 es perpendicular a 𝑂 𝐴 para encontrar la ecuación de 𝑂 𝐶 .

  • A 𝑦 = 3 4 𝑥
  • B 𝑦 = 4 3 𝑥
  • C 𝑦 = 4 3 𝑥
  • D 𝑦 = 3 4 𝑥
  • E 𝑦 = 3 2 𝑥

Usando que 𝑂 𝐶 = 𝑂 𝐴 = 1 , encuentra las coordenadas de 𝐶 y 𝐴 .

  • A 𝐶 = 1 6 2 5 , 9 2 5 , 𝐴 = 9 2 5 , 1 6 2 5
  • B 𝐶 = 3 5 , 4 5 , 𝐴 = 4 5 , 3 5
  • C 𝐶 = 4 5 , 3 5 , 𝐴 = 3 5 , 4 5
  • D 𝐶 = 4 7 , 3 7 , 𝐴 = 3 7 , 4 7
  • E 𝐶 = 3 7 , 4 7 , 𝐴 = 4 7 , 3 7

Usando el hecho que la reflexión respecto a una recta que pasa por el origen es una transformación lineal, encuentra la matriz que representa una reflexión respecto a la recta 𝑦 = 1 2 𝑥 .

  • A 3 5 4 5 4 5 3 5
  • B 9 2 5 1 6 2 5 1 6 2 5 9 2 5
  • C 4 7 3 7 3 7 4 7
  • D 4 5 3 5 3 5 4 5
  • E 3 7 4 7 4 7 3 7

P2:

Sea 𝐿 la transformación producida por una matriz no nula con determinante igual a cero. ¿Cuál es la imagen de un cuadrado unitario bajo 𝐿 ?

  • Aotro cuadrado
  • Bun solo punto
  • Cun paralelogramo
  • Dun segmento de recta que contiene al origen
  • Eun rombo

P3:

Considera la transformación representada por la matriz 3 0 0 3 .

¿Cuál es la imagen del cuadrado con vértices ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) y ( 1 , 1 ) bajo esta transformación?

  • AUna punta de flecha con vértices en ( 0 , 0 ) , ( 0 , 3 ) , ( 3 , 0 ) y ( 3 , 3 )
  • B Un cuadrado con vértices ( 0 , 0 ) , ( 0 , 3 ) , ( 3 , 0 ) y ( 3 , 3 )
  • CUna punta de flecha con vértices en ( 0 , 0 ) , ( 0 , 3 ) , ( 3 , 0 ) y ( 3 , 3 )
  • D Un cuadrado con vértices ( 0 , 0 ) , ( 0 , 3 ) , ( 3 , 0 ) y ( 3 , 3 )
  • EUn papalote con vértices en ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) y ( 3 , 3 )

¿Qué transformación geométrica representa la matriz anterior?

  • AUna expansión con factor de escala de 3 y centro en el origen.
  • BUna contracción en el eje 𝑦 .
  • CUna contracción en el eje 𝑥 .
  • DUna expansión con factor de escala de 3 y centro en el origen.
  • EUna rotación respecto al origen en un ángulo de 3

P4:

Sea 𝐿 una transformación lineal de 2 en si mismo con la propiedad de que 𝐿 6 4 = 2 2 y 𝐿 2 1 1 2 = 3 3 .

Usando el hecho que 6 4 = 6 4 , encuentra 𝐿 6 4 .

  • A 2 2
  • B 2 2
  • C 6 4
  • D 2 2
  • E 6 4

Usa el hecho que 1 2 8 = 2 6 4 , para encontrar 𝐿 1 2 8 .

  • A 4 4
  • B 2 8 4 4
  • C 2 2
  • D 4 4
  • E 1 2 6

Halla un vector 𝑣 , tal que 𝐿 ( 𝑣 ) = 1 1 .

  • A 2 1
  • B 3 2
  • C 3 2
  • D 2 2
  • E 1 2

Calcula 𝐿 ( 4 𝑣 + 𝑤 ) , donde 𝑣 = 6 4 y 𝑤 = 2 1 1 2 ?

  • A 5 1 1
  • B 1 5 8
  • C 1 1 2 9
  • D 4 2 0
  • E 1 0 1 4

Considerando combinaciones lineales de 6 4 y 2 1 4 , encuentra 𝐿 1 0 y 𝐿 1 0 .

  • A 1 2 , 1 2
  • B 1 2 , 3 5
  • C 3 5 , 1 2
  • D 1 3 , 2 5
  • E 3 5 , 3 5

Encuentra la matriz 𝑀 que representa la transformación 𝐿 .

  • A 𝑀 = 1 3 2 5
  • B 𝑀 = 3 5 3 5
  • C 𝑀 = 3 5 1 2
  • D 𝑀 = 1 2 3 5
  • E 𝑀 = 1 2 1 2

P5:

La matriz que codifica los vértices de cierto cuadrado unitario está dada por: 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 5 2 5 2 3 2 .

Determina la matriz que codifica los vértices de la imagen producida al aplicar la transformación lineal representada por la matriz 1 2 2 1 . Además, expresa qué figura geométrica representa la imagen de la figura transformada.

  • A 7 2 1 1 2 9 2 5 2 5 2 7 2 3 2 1 2 , un cuadrado
  • B 5 2 7 2 1 1 2 9 2 3 2 1 2 5 2 1 1 2 , un rectángulo
  • C 5 2 7 2 1 1 2 9 2 3 2 1 2 5 2 1 1 2 , un paralelogramo
  • D 7 2 1 1 2 9 2 5 2 5 2 7 2 3 2 1 2 , un rombo

P6:

Considera la matriz 𝑀 = 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 con 𝛼 = 2 2 .

Halla 𝑀 .

  • A 1 2 1 2 1 2 1 2
  • B 1 1 1 1
  • C 1 0 0 1
  • D 1 0 0 1
  • E 1 0 0 1

Calcula d e t ( 𝑀 ) .

  • A 1
  • B2
  • C 1 2
  • D1
  • E0

Aplícala a una figura geométrica sencilla e identifica la transformación representada por esta matriz.

  • Aun giro en sentido horario de 4 5 alrededor del punto ( 1 , 0 )
  • Bun giro en sentido horario de 4 5 alrededor del origen
  • Cuna simetría con respecto al eje 𝑦 = ( 2 2 , 5 ) 𝑥 t g
  • Duna proyección sobre la recta 𝑦 = 𝑥
  • Euna simetría con respecto al eje 𝑦 = 𝑥

Nagwa usa cookies para asegurarse de que disfrutes de la mejor experiencia en nuestro sitio web. Descubrir más acerca de nuestra Política de privacidad.