Hoja de actividades: Aplicaciones de la integración indefinida.

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo hallar la ecuación de una curva conociendo la función que describe la pendiente de su tangente.

P1:

Una curva pasa por (0,1) y la recta tangente en cada punto (𝑥,𝑦) tiene una pendiente de 6𝑥8𝑥+1. ¿Cuál es la ecuación de la curva?

  • A 𝑦 = 1 3 2 8 𝑥 + 1 + 3 1 3 2
  • B 𝑦 = 1 4 8 𝑥 + 1 + 3 4
  • C 𝑦 = 1 4 8 𝑥 + 1 + 5 4
  • D 𝑦 = 3 1 6 8 𝑥 + 1 + 1 3 1 6

P2:

La pendiente de la tangente a una curva en cada punto viene dada por 6𝑥+6𝑥sencos. Sabiendo, además, que, en el intervalo 𝑥0,𝜋3, la curva tiene un valor mínimo relativo de 4629, halla la ecuación de la curva.

  • A 𝑦 = 1 6 6 𝑥 + 1 6 6 𝑥 8 9 2 1 8 s e n c o s
  • B 𝑦 = 1 6 6 𝑥 + 1 6 6 𝑥 9 5 2 1 8 s e n c o s
  • C 𝑦 = 1 6 6 𝑥 1 6 6 𝑥 9 5 2 1 8 s e n c o s
  • D 𝑦 = 1 6 6 𝑥 1 6 6 𝑥 8 9 2 1 8 s e n c o s

P3:

La pendiente en cada punto (𝑥,𝑦) de la gráfica de una función es ddsencos𝑦𝑥=4𝜋𝜋𝑥+5𝜋𝜋𝑥. Halla la ecuación de la curva sabiendo que contiene el punto (1,2).

  • A 𝑦 = 5 𝜋 𝜋 𝑥 + 4 𝜋 𝜋 𝑥 + 6 s e n c o s
  • B 𝑦 = 5 𝜋 𝑥 4 𝜋 𝑥 + 6 s e n c o s
  • C 𝑦 = 5 𝜋 𝑥 + 4 𝜋 𝑥 + 6 s e n c o s
  • D 𝑦 = 5 𝜋 𝑥 + 4 𝜋 𝑥 2 s e n c o s

P4:

La segunda derivada de una función es 273𝑥+8sen. Sabiendo, además, que su gráfica pasa por 𝜋6,4𝜋3+𝜋9+6 y que la pendiente de la tangente en este punto es 8+4𝜋3, halla la ecuación de la función.

  • A 𝑦 = 4 𝑥 8 𝑥 + 9 3 𝑥 + 3 s e n
  • B 𝑦 = 4 𝑥 8 𝑥 + 3 3 𝑥 + 3 s e n
  • C 𝑦 = 4 𝑥 8 𝑥 + 3 3 𝑥 3 s e n
  • D 𝑦 = 4 𝑥 8 𝑥 + 9 3 𝑥 3 s e n

P5:

Halla la ecuación de una curva sabiendo que la pendiente de la tangente es 5𝑥2sen y que la curva pasa por el origen.

  • A 𝑦 = 5 𝑥 5 𝑥 s e n
  • B 𝑦 = 5 3 𝑥 2 s e n
  • C 𝑦 = 5 𝑥 2 c o s
  • D 𝑦 = 5 2 𝑥 5 2 𝑥 s e n

P6:

La pendiente en cada punto (𝑥,𝑦) de la gráfica de una función es 3𝑒. ¿Cuál es el valor de 𝑓(3), dado que 𝑓(5)=9?

  • A 9 1 8 𝑒 + 1 2 𝑒
  • B 9 1 2 𝑒 + 1 2 𝑒
  • C 9 1 8 𝑒 + 1 2 𝑒
  • D 9 1 2 𝑒 + 1 2 𝑒

P7:

Halla la ecuación de una curva sabiendo que la pendiente de su normal viene dada por 2𝑥2 y que la curva pasa por el punto (1,6).

  • A 𝑦 = 2 𝑥 2 + 6
  • B 𝑦 = 1 2 2 𝑥 2 + 6
  • C 𝑦 = 1 4 2 𝑥 2 + 6
  • D 𝑦 = 2 2 𝑥 2 + 6
  • E 𝑦 = 1 3 2 𝑥 2 + 6

P8:

Halla la ecuación de la curva que pasa por el punto (2,1) sabiendo que la pendiente de su tangente viene dada por 11𝑥.

  • A 𝑦 = 1 1 𝑥 + 9
  • B 𝑦 = 1 1 3 𝑥 + C
  • C 𝑦 = 1 1 3 𝑥 8 5 3
  • D 𝑦 = 1 1 3 𝑥 + 4 7 3

P9:

De una curva se sabe que su pendiente viene dada por dd𝑦𝑥=𝑥+3𝑥18 y que su valor máximo relativo es 21. Halla su valor mínimo relativo.

P10:

El gradiente de la tangente a una curva es dd𝑦𝑥=𝑥14𝑥+45 donde el valor del máximo relativo es 9. Halla la ecuación de la curva y el valor de mínimo relativo, si existe.

  • A 𝑦 = 𝑥 3 7 𝑥 + 4 5 𝑥 , 9
  • B 𝑦 = 𝑥 5 𝑥 + 9 , 5 4 5 3
  • C 𝑦 = 𝑥 9 𝑥 + 4 5 , 5
  • D 𝑦 = 𝑥 3 7 𝑥 + 4 5 𝑥 2 4 8 3 , 5 3

P11:

Halla la ecuación de una curva sabiendo que 𝑦=65𝑥cos y que la ecuación de la tangente a la curva en (0,5) es 𝑦=𝑥+5.

  • A 𝑦 = 𝑥 6 2 5 5 𝑥 + 1 3 1 2 5 c o s
  • B 𝑦 = 𝑥 + 6 2 5 5 𝑥 + 1 3 1 2 5 c o s
  • C 𝑦 = 5 𝑥 6 2 5 5 𝑥 + 1 3 1 2 5 c o s
  • D 𝑦 = 𝑥 + 6 5 5 𝑥 + 1 9 5 c o s

P12:

Una curva pasa por (0,1) y la recta tangente en cada punto (𝑥,𝑦) tiene una pendiente de 𝑥3𝑥+4. ¿Cuál es la ecuación de la curva?

  • A 𝑦 = 2 9 3 𝑥 + 4 7 9
  • B 𝑦 = 1 9 3 𝑥 + 4 + 1 7 9
  • C 𝑦 = 1 9 3 𝑥 + 4 + 1 9
  • D 𝑦 = 1 2 7 3 𝑥 + 4 + 1 9 2 7

P13:

Al calentarse, el área 𝐴 de una plancha cambia según la relación dd𝐴𝑡=0,036𝑡+0,038𝑡, en la que el área 𝐴 viene dada en metros cuadrados y el tiempo 𝑡 en minutos. Sabiendo que 𝐴=67m cuando 𝑡=8minutos, halla, a las centésimas, el área de la plancha en el instante en el que empezó a calentarse.

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