Hoja de actividades: Derivadas de orden superior de ecuaciones paramétricas

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo hallar las derivadas de orden superior (d²y / dx²) de ecuaciones paramétricas aplicando la regla de la cadena.

P1:

Sabiendo que ๐‘ฅ=๐‘ก+5๏Šฉ y que ๐‘ฆ=๐‘กโˆ’3๐‘ก๏Šจ, halla dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A9๐‘ก2(3โˆ’๐‘ก)๏Šซ
  • B2(3โˆ’๐‘ก)9๐‘ก๏Šซ
  • C2(3โˆ’๐‘ก)3๐‘ก(2๐‘กโˆ’3)๏Šฉ
  • D2(3โˆ’๐‘ก)๐‘ก
  • E๐‘ก2(3โˆ’๐‘ก)

P2:

Sabiendo que ๐‘ฅ=2๐‘’๏Šจ๏ y que ๐‘ฆ=๐‘ก๐‘’๏Šฑ๏Šจ๏, halla dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A3โˆ’4๐‘ก8๐‘’๏Šฌ๏
  • B2(4๐‘กโˆ’3)
  • C4๐‘กโˆ’38๐‘’๏Šฌ๏
  • D8๐‘’4๐‘กโˆ’3๏Šฌ๏
  • E2(3โˆ’4๐‘ก)

P3:

Sabiendo que ๐‘ฅ=๐‘ก+1๏Šจ y que ๐‘ฆ=๐‘’โˆ’1๏, halla dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A4๐‘ก๐‘’(๐‘กโˆ’1)๏Šฉ๏
  • B๐‘’(๐‘กโˆ’1)๐‘ก๏
  • C๐‘กโˆ’12๐‘ก๏Šจ
  • D๐‘’(๐‘กโˆ’1)4๐‘ก๏๏Šฉ
  • E๐‘’(๐‘กโˆ’1)2๐‘ก๏๏Šฉ

P4:

Sabiendo que dd๐‘ง๐‘ฅ=5๐‘ฅโˆ’6 y que dd๐‘ฆ๐‘ฅ=2๐‘ฅโˆ’1๏Šจ, determina dd๏Šจ๏Šจ๐‘ง๐‘ฆ en ๐‘ฅ=1.

P5:

Halla dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ sabiendo que ๐‘ฅ=โˆ’๐‘’๏Šช๏Š y que ๐‘ฆ=โˆ’2๐‘›๏Šช.

  • A๐‘’๐‘›(โˆ’8๐‘›+6)๏Šฑ๏Šช๏Š๏Šจ
  • B2๐‘’๐‘›๏Šฑ๏Šช๏Š๏Šฉ
  • Cโˆ’๐‘’๐‘›๏Šฑ๏Šช๏Š๏Šจ
  • D๐‘›2๐‘’(4๐‘›โˆ’3)๏Šจ๏Šฑ๏Šฎ๏Š

P6:

Si ๐‘ฅ=25๐‘งsec y โˆš3๐‘ฆ=5๐‘งtg, halla dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A16
  • B13
  • C112
  • D12

P7:

Sabiendo que ๐‘ฆ=(๐‘ฅ+4)๏€นโˆ’4๐‘ฅโˆ’1๏…๏Šจ y que ๐‘ง=(๐‘ฅโˆ’5)(๐‘ฅ+4), halla (2๐‘ฅโˆ’1)๐‘ฆ๐‘ง๏Šฉ๏Šจ๏Šจdd.

  • Aโˆ’24๐‘ฅ+24๐‘ฅ+34๏Šจ
  • Bโˆ’72๐‘ฅโˆ’104๐‘ฅ+30๏Šจ
  • Cโˆ’96๐‘ฅ+16๐‘ฅ+120๐‘ฅโˆ’84๐‘ฅ+16๏Šช๏Šฉ๏Šจ
  • Dโˆ’48๐‘ฅ+72๐‘ฅ+44๐‘ฅโˆ’34๏Šฉ๏Šจ

P8:

Determina dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ, dado que ๐‘ฅ=6๐‘›ln๏Šซ y ๐‘ฆ=โˆ’8๐‘›๏Šฉ.

  • Aโˆ’2๐‘›25๏Šฉ
  • Bโˆ’8๐‘›5๏Šฉ
  • Cโˆ’4๐‘›5๏Šฉ
  • Dโˆ’12๐‘›5๏Šจ

P9:

Sabiendo que ๐‘ฅ=3๐‘ก+1๏Šฉ y que ๐‘ฆ=3๐‘กโˆ’๐‘ก๏Šจ, halla dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A2(1โˆ’3๐‘ก)81๐‘ก๏Šซ
  • B๐‘ก2(1โˆ’3๐‘ก)
  • C2(1โˆ’3๐‘ก)๐‘ก
  • D81๐‘ก2(1โˆ’3๐‘ก)๏Šซ
  • E2(1โˆ’3๐‘ก)9๐‘ก(6๐‘กโˆ’1)๏Šฉ

P10:

Sabiendo que ๐‘ฅ=3๐‘ก+1๏Šฉ y que ๐‘ฆ=5๐‘กโˆ’๐‘ก๏Šจ, halla dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A2(1โˆ’5๐‘ก)9๐‘ก(10๐‘กโˆ’1)๏Šฉ
  • B81๐‘ก2(1โˆ’5๐‘ก)๏Šซ
  • C2(1โˆ’5๐‘ก)81๐‘ก๏Šซ
  • D๐‘ก2(1โˆ’5๐‘ก)
  • E2(1โˆ’5๐‘ก)๐‘ก

P11:

Sabiendo que ๐‘ฅ=๐‘’๏Šช๏ y que ๐‘ฆ=๐‘ก๐‘’๏Šฑ๏Šช๏, halla dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A3โˆ’8๐‘ก4๐‘’๏Šง๏Šจ๏
  • B4(8๐‘กโˆ’3)
  • C4๐‘’8๐‘กโˆ’3๏Šง๏Šจ๏
  • D4(3โˆ’8๐‘ก)
  • E8๐‘กโˆ’34๐‘’๏Šง๏Šจ๏

P12:

Sabiendo que ๐‘ฅ=๐‘ก+4๏Šจ y que ๐‘ฆ=3๐‘’โˆ’5๏, halla dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A๐‘กโˆ’12๐‘ก๏Šจ
  • B3๐‘’(๐‘กโˆ’1)2๐‘ก๏๏Šฉ
  • C3๐‘’(๐‘กโˆ’1)4๐‘ก๏๏Šฉ
  • D3๐‘’(๐‘กโˆ’1)๐‘ก๏
  • E4๐‘ก3๐‘’(๐‘กโˆ’1)๏Šฉ๏

P13:

Sabiendo que dd๐‘ง๐‘ฅ=โˆ’7๐‘ฅ+7 y que dd๐‘ฆ๐‘ฅ=3๐‘ฅโˆ’1๏Šจ, determina dd๏Šจ๏Šจ๐‘ง๐‘ฆ en ๐‘ฅ=0.

P14:

Sabiendo que dd๐‘ง๐‘ฅ=โˆ’3๐‘ฅโˆ’8 y que dd๐‘ฆ๐‘ฅ=โˆ’2๐‘ฅ+1๏Šจ, determina dd๏Šจ๏Šจ๐‘ง๐‘ฆ en ๐‘ฅ=โˆ’1.

P15:

Si ๐‘ฅ=44๐‘งsec y โˆš5๐‘ฆ=4๐‘งtg, halla dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A140
  • B180
  • C18
  • D110

P16:

Si ๐‘ฅ=64๐‘งsec y โˆš๐‘ฆ=44๐‘งtg, halla dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A163
  • B49
  • C89
  • D29

P17:

Sabiendo que ๐‘ฆ=(โˆ’๐‘ฅ+2)๏€น3๐‘ฅ+2๏…๏Šจ y que ๐‘ง=(โˆ’๐‘ฅ+2)(๐‘ฅ+3), halla (โˆ’2๐‘ฅโˆ’1)๐‘ฆ๐‘ง๏Šฉ๏Šจ๏Šจdd.

  • Aโˆ’72๐‘ฅโˆ’60๐‘ฅ+18๐‘ฅ+27๐‘ฅ+6๏Šช๏Šฉ๏Šจ
  • B54๐‘ฅโˆ’30๐‘ฅโˆ’8๏Šจ
  • Cโˆ’36๐‘ฅโˆ’54๐‘ฅ+14๐‘ฅ+16๏Šฉ๏Šจ
  • D18๐‘ฅ+18๐‘ฅโˆ’16๏Šจ

P18:

Sabiendo que ๐‘ฅ=๐‘กcos, y que ๐‘ฆ=2๐‘กsen, halla dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • Aโˆ’2(2๐‘ก2๐‘ก+๐‘ก2๐‘ก)๐‘กsensencoscossen๏Šฉ
  • Bโˆ’2(2๐‘ก2๐‘ก+๐‘ก2๐‘ก)๐‘กsensencoscossen
  • Cโˆ’๐‘ก2(2๐‘ก2๐‘ก+๐‘ก2๐‘ก)sensensencoscos๏Šฉ
  • D2(2๐‘ก2๐‘ก+๐‘ก2๐‘ก)๐‘กsensencoscossen๏Šจ
  • E2๐‘ก2๐‘ก+๐‘ก2๐‘ก๐‘ก2๐‘กsensencoscossencos๏Šจ

P19:

Sabiendo que ๐‘ฅ=3๐‘ก+1๏Šจ y que ๐‘ฆ=3๐‘ก+5๐‘ก๏Šจ, halla dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • Aโˆ’5๐‘ก
  • Bโˆ’56๐‘ก(6๐‘ก+5)๏Šจ
  • C536๐‘ก๏Šฉ
  • D5๐‘ก
  • Eโˆ’536๐‘ก๏Šฉ

P20:

Sabiendo que ๐‘ฅ=๐‘กโˆ’๐‘กln y que ๐‘ฆ=๐‘ก+๐‘กln, halla dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • Aโˆ’1๐‘ก(๐‘กโˆ’1)
  • Bโˆ’2(๐‘กโˆ’1)๏Šจ
  • Cโˆ’(๐‘กโˆ’1)2๐‘ก๏Šฉ
  • Dโˆ’2๐‘ก(๐‘กโˆ’1)
  • Eโˆ’2๐‘ก(๐‘กโˆ’1)๏Šฉ

P21:

Considera la curva paramรฉtrica ๐‘ฅ=๐œƒcos y ๐‘ฆ=๐œƒsen. Determina si esta curva es cรณncava hacia arriba, cรณncava hacia abajo o no es cรณncava en ๐œƒ=๐œ‹6.

  • Ahacia arriba
  • Bhacia abajo
  • Cno es cรณncava

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