Hoja de actividades: Usar inducción matemática para probar una fórmula de sumatorio

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo aplicar el método de inducción matemática para probar una fórmula de sumatorio.

P1:

Leonor está intentando demostrar la fórmula de sumatorio𝑟=𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)6.

Ha comprobado que la fórmula parece funcionar y ha supuesto que 𝑟=𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)6, y está intentando demostrar que 𝑟=(𝑘+1)(𝑘+2)(2𝑘+3)6.

Leonor sabe que necesita expresar 𝑟 en términos de su expresión para 𝑟, pero no consigue recordar bien el método. Determina cuál de las siguientes opciones es la correcta.

  • A𝑟=𝑟+(𝑟+1)=𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)6+(𝑟+1)
  • B𝑟=𝑟+1=𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)6+1
  • C𝑟=𝑟+(𝑘+1)=𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)6+(𝑘+1)
  • D𝑟=𝑟+(𝑘)=𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)6+(𝑘)

P2:

Noelia quiere probar, usando inducción, que 𝑓(𝑛)=23 es divisible por 5 para todos los números enteros 𝑛1.

Primero, necesita verificar el caso base cuando 𝑛=1. Sustituye 𝑛=1 en la expresión y determina el resultado cuando se divide por 5.

Noelia luego hace la suposición de que 𝑓(𝑘)=23 es divisible por 5. Necesita, por lo tanto, demostrar que 𝑓(𝑘+1)=23() es divisible por 5. Para hacer esto, considera la diferencia 𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘). Escribe esta diferencia en la forma 𝑎2𝑏3.

  • A𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘)=7223
  • B𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘)=9243
  • C𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘)=7243
  • D𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘)=9223
  • E𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘)=4243

En esta etapa, no está claro si 𝑓(𝑘+1) es divisible por 5. Pero Noelia se da cuenta de que puede sustituir 𝑓(𝑘) en la expresión. Escribiendo 72 como 52+22, reescribe la expresión 𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘) incorporando 𝑓(𝑘).

  • A𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘)=2+2𝑓(𝑘)
  • B𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘)=52+2𝑓(𝑘)
  • C𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘)=52+2𝑓(𝑘)
  • D𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘)=52+𝑓(𝑘)
  • E𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘)=52+𝑓(𝑘)

Reorganizando la ecuación, Noelia obtiene 𝑓(𝑘+1)=52+3𝑓(𝑘). Entonces llega a la siguiente conclusión: Si la suposición de que la expresión es divisible por 5 cuando 𝑛=𝑘 es correcta, entonces hemos demostrado que la expresión es divisible por 5 cuando 𝑛=𝑘+1. Como hemos demostrado que la expresión es divisible por 5 cuando 𝑛=1, hemos demostrado por inducción matemática que la expresión es divisible por 5 para todos los enteros 𝑛1.

¿Es correcta la conclusión de Noelia ?

  • A
  • BNo

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