Hoja de actividades: Teorema de los valores intermedios

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo aplicar el teorema de los valores intermedios.

P1:

La función 𝐹(𝑥)=1𝑥+3 cumple que 𝐹(1)<3 y que 𝐹(1)>3. Pero no hay valor alguno de 𝑥 entre 1 y 1 para el cual 𝐹(𝑥)=3. ¿Por qué esto no infringe el teorema del valor medio?

  • Aporque la función 𝐹 no es continua en todo su dominio
  • Bporque el teorema del valor medio solo aplica en el intervalo(0,)
  • Cporque el teorema del valor medio solo aplica a funciones polinomiales
  • Dporque el teorema del valor medio solo aplica para 𝐹(𝑥)=0, ni para 𝐹(𝑥)=3
  • Eporque la función no está definida en el intervalo entero[1,1]

P2:

La siguiente figura muestra la gráfica de la función 𝑓 en el intervalo [0,16] junto a la línea discontinua 𝑦=30.

𝑓 ( 0 ) < 3 0 y 𝑓(16)>30, pero 𝑓(𝑥)30 en todos los puntos de [0,16]. ¿Por qué esto no contradice el teorema del valor intermedio?

  • Aporque la función no es continua en 𝑥=8
  • Bporque la función no está definida en todo el intervalo [0,16]
  • Cporque el teorema del valor intermedio solo se aplica a funciones con 𝑓(𝑥)<0 en algún punto
  • Dporque el teorema del valor intermedio solo se aplica a funciones polinómicas
  • Eporque el teorema del valor intermedio solo se aplica a casos donde 𝑓(𝑥)=0, no donde 𝑓(𝑥)=30

P3:

La figura muestra solo parte de la curva 𝑦=𝑓(𝑥).

Se sabe, sin embargo, que la función tiene las siguientes propiedades: 𝑓[0,1][0,1], 𝑓 es continua, 𝑓(0)=0.6 y 𝑓(1)=0.2. Prestando atención a la diferencia 𝑓(𝑥)𝑥, ¿qué se puede concluir acerca de esta función?

  • ADebe existir un punto 𝑝[0,1] tal que 𝑓(𝑝)=𝑝.
  • BLa función tiene un punto de inflexión en alguna parte.
  • CNo es posible concluir nada.
  • DLa función puede valer 0.4 en algún punto.
  • ELa función es cero en algún 𝑝[0,1].

P4:

Sea 𝑓(𝑥)=3𝑥. Según el teorema del valor intermedio, ¿cuál de los siguientes intervalos contiene una solución para 𝑓(𝑥)=0?

  • A [ 2 , 3 ]
  • B [ 3 , 2 ]
  • C [ 1 , 2 ]
  • D [ 0 , 1 ]
  • E [ 2 , 1 ]

P5:

Mónica está estudiando la función 𝑓(𝑥)=16𝑥3𝑥10. Primero, quiere demostrar que hay una raíz entre 5 y 6. Sabe que la función es continua y ha calculado que 𝑓(5)=4,17, con dos cifras decimales, y 𝑓(6)=8.

Explica cómo se pueden utilizar los cálculos de Mónica para demostrar que hay una raíz entre 5 y 6.

  • AComo el valor de la función decrece entre los valores de 𝑓(5) y 𝑓(6), y la función es continua, hay al menos una raíz entre 5 y 6.
  • BComo hay un cambio de signo entre los valores de 𝑓(5) y 𝑓(6), y la función es continua, hay exactamente una raíz entre 5 y 6.
  • CComo hay un cambio de signo entre los valores de 𝑓(5) y 𝑓(6), hay al menos una raíz entre 5 y 6, independientemente de si la función es o no continua.
  • DComo hay un cambio de signo entre los valores de 𝑓(5) y 𝑓(6), y la función es continua, hay al menos una raíz entre 5 y 6.
  • EComo la función es creciente entre los valores de 𝑓(5) y 𝑓(6), hay exactamente una raíz entre 5 y 6, independientemente de si la función es o no continua.

Mónica decide aproximar la raíz a una cifra decimal usando interpolación lineal, que utiliza las propiedades de los triángulos semejantes. Y dibuja, para ello, el siguiente diagrama.

Mónica usa el diagrama para formar la ecuación 𝑥5|𝑓(5)|=6𝑥|𝑓(6)| que puede resolver para hallar una primera aproximación de la raíz. Calcula el valor de 𝑥 con 3 cifras decimales.

Mónica utiliza su primera aproximación para mejorar el intervalo en el que se encuentra la raíz y luego repite el proceso con este nuevo intervalo. Continúa este proceso para hallar el valor de la raíz con una cifra decimal.

P6:

Si 𝑓(𝑥) es continua en [0,3], 𝑓(0)>0, y 𝑓(3)>0, ¿podemos usar el teorema del valor intermedio para concluir que 𝑓(𝑥) no tiene ceros en el intervalo [0,3]?

  • ANo
  • B

P7:

Considera un polinomio 𝑃(𝑥).

Si 𝑃(2)=22 y 𝑃(4)=1, ¿qué puedes concluir sobre los ceros de 𝑃?

  • AHay un cero en el intervalo (2,4).
  • B 𝑃 ( 𝑥 ) > 0 para 𝑥2, por lo que no puede haber un cero ahí.
  • CNo se puede concluir nada.
  • DNo hay ceros en el intervalo [2,4].
  • E 𝑃 ( 𝑥 ) 0 para 𝑥2, por lo que no puede haber un cero ahí.

Sabiendo que lim𝑃(𝑥)=, ¿qué puedes concluir sobre los ceros de 𝑃 en el intervalo (,2)?

  • ANo hay ceros en este intervalo.
  • BHay exactamente un cero en este intervalo.
  • CNo se puede concluir nada.
  • DHay al menos un cero en este intervalo.
  • EHay dos ceros en este intervalo.

P8:

Javier está estudiando la función 𝑓(𝑥)=3𝑥+9𝑥1000. Primero quiere demostrar que hay una raíz entre 6 y 7. Sabe que la función es continua y ha calculado 𝑓(6)=298 y 𝑓(7)=92.

Explica cómo se pueden usar los cálculos de Javier para demostrar que hay una raíz entre 6 y 7.

  • AComo hay un cambio de signo entre los valores de 𝑓(6) y 𝑓(7), hay al menos una raíz entre 6 y 7, independientemente de si la función es continua o no.
  • BComo el valor de la función decrece entre los valores de 𝑓(6) y 𝑓(7) y la función es continua, hay al menos una raíz entre 6 y 7.
  • CComo hay un cambio de signo entre los valores de 𝑓(6) y 𝑓(7) y la función es continua, hay exactamente una raíz entre 6 y 7.
  • DComo hay un cambio de signo entre los valores de 𝑓(6) y 𝑓(7) y la función es continua, hay al menos una raíz entre 6 y 7.
  • EComo la función decrece entre los valores de 𝑓(6) y 𝑓(7), hay exactamente una raíz entre 6 y 7, independientemente de si la función es o no continua.

Javier decide aproximar la raíz a una cifra decimal usando la bisección del intervalo. Su método es el siguiente:

toma los extremos del intervalo, halla el punto medio y luego sustituye este valor en la función para comprobar su signo. Utiliza este signo para revisar su intervalo y luego repite los pasos con el nuevo intervalo.

Ha completado hasta ahora la siguiente tabla, en la que 𝑎 y 𝑏 son los extremos del intervalo.

𝑎 𝑓 ( 𝑎 ) 𝑏 𝑓 ( 𝑏 ) 𝑎 + 𝑏 2 𝑓 𝑎 + 𝑏 2
6 −298 7 92 6,5 −117,625

Usa la información en la tabla de Javier para hallar el próximo intervalo que Javier debería considerar.

  • A(6,5;7)
  • B(6;6,5)

Continúa el proceso de Javier para hallar la raíz, redondeada a una cifra decimal.

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