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Hoja de actividades de la lección: Teorema de los valores intermedios Matemáticas • Duodécimo grado

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo interpretar el teorema de los valores intermedios y cómo usarlo para aproximar los ceros de una función.

P1:

La función 𝐹(𝑥)=1𝑥+3 satisface 𝐹(1)<3 y 𝐹(1)>3. Pero no hay valor alguno de 𝑥 entre 1 y 1 para el cual 𝐹(𝑥)=3. ¿Por qué esto no infringe el teorema de los valores intermedios?

  • APorque la función no está definida en todo el intervalo [1,1]
  • BPorque el teorema de los valores intermedios solo aplica en el intervalo (0,)
  • CPorque el teorema de los valores intermedios solo aplica para 𝐹(𝑥)=0, no para 𝐹(𝑥)=3
  • DPorque la función 𝐹 no es continua en todo su dominio
  • EPorque el teorema de los valores intermedios solo aplica a funciones polinomiales

P2:

La siguiente figura muestra la gráfica de la función 𝑓 en el intervalo [0,16] junto a la línea discontinua 𝑦=30.

𝑓(0)<30 y 𝑓(16)>30, pero 𝑓(𝑥)30 en todos los puntos de [0,16]. ¿Por qué esto no contradice el teorema del valor intermedio?

  • Aporque el teorema del valor intermedio solo se aplica a funciones polinómicas
  • Bporque el teorema del valor intermedio solo se aplica a funciones con 𝑓(𝑥)<0 en algún punto
  • Cporque el teorema del valor intermedio solo se aplica a casos donde 𝑓(𝑥)=0, no donde 𝑓(𝑥)=30
  • Dporque la función no es continua en 𝑥=8
  • Eporque la función no está definida en todo el intervalo [0,16]

P3:

La función 𝑔 está definida y es continua en el intervalo [2,7]. Se sabe que 𝑔(2)=3 y 𝑔(4)=3 y que esos son los únicos valores de 𝑥[2,7] con 𝑔(𝑥)=3. También se sabe que 𝑔(5)=4. Explica por qué 𝑔(6)>3.

  • APorque 𝑔(6) debería ser igual a 𝑔(5) o mayor.
  • BPorque si 𝑔(6)<3, entonces 𝑔 sería igual a 3 en algún punto entre 𝑥=4 y 𝑥=6 por el teorema del valor intermedio.
  • CPorque 𝑔 es una función creciente.
  • DPorque 𝑔(6)3 y ya conocemos los dos valores donde es igual a 3.

P4:

La imagen muestra solo dos tramos de la gráfica de la función 𝑓, la cual está definida en todo el intervalo [0,1].

Si nos dicen que 𝑓(𝑥)𝑥 para todo 𝑥[0,1], ¿qué podemos concluir sobre 𝑓? ¿Por qué?

  • ADebe darse que 𝑓(𝑥)>𝑥 para todo 𝑥<0.5 y 𝑓(𝑥)<𝑥 para todo 𝑥>0.5 por la forma que tienen los dos tramos mostrados.
  • BLa función 𝑓 es derivable porque los dos tramos mostrados sugieren eso.
  • CNinguna conclusión podemos sacar con la información dada.
  • DLa función 𝑓 debe ser continua porque los dos tramos mostrados sugieren eso.
  • ELa función 𝑓 no puede ser continua por lo que dice el teorema del valor intermedio.

P5:

La figura muestra solo parte de la curva 𝑦=𝑓(𝑥).

Se sabe, sin embargo, que la función tiene las siguientes propiedades: 𝑓[0,1][0,1], 𝑓 es continua, 𝑓(0)=0.6 y 𝑓(1)=0.2. Prestando atención a la diferencia 𝑓(𝑥)𝑥, ¿qué se puede concluir acerca de esta función?

  • ADebe existir un punto 𝑝[0,1] tal que 𝑓(𝑝)=𝑝.
  • BLa función es cero en algún 𝑝[0,1].
  • CLa función puede valer 0.4 en algún punto.
  • DNo es posible concluir nada.
  • ELa función tiene un punto de inflexión en alguna parte.

P6:

Nerea está estudiando la función 𝑓(𝑥)=16𝑥3𝑥10. Primero, quiere demostrar que hay una raíz entre 5 y 6. Sabe que la función es continua y ha calculado que 𝑓(5)=4.17, con dos cifras decimales, y 𝑓(6)=8.

Explica cómo se pueden utilizar los cálculos de Nerea para demostrar que hay una raíz entre 5 y 6.

  • AComo hay un cambio de signo entre los valores de 𝑓(5) y 𝑓(6), y la función es continua, hay al menos una raíz entre 5 y 6.
  • BComo hay un cambio de signo entre los valores de 𝑓(5) y 𝑓(6), y la función es continua, hay exactamente una raíz entre 5 y 6.
  • CComo hay un cambio de signo entre los valores de 𝑓(5) y 𝑓(6), hay al menos una raíz entre 5 y 6, independientemente de si la función es o no continua.
  • DComo la función es creciente entre los valores de 𝑓(5) y 𝑓(6), hay exactamente una raíz entre 5 y 6, independientemente de si la función es o no continua.
  • EComo el valor de la función decrece entre los valores de 𝑓(5) y 𝑓(6), y la función es continua, hay al menos una raíz entre 5 y 6.

Nerea decide aproximar la raíz a una cifra decimal usando interpolación lineal, que utiliza las propiedades de los triángulos semejantes. Y dibuja, para ello, el siguiente diagrama.

Nerea usa el diagrama para formar la ecuación 𝑥5|𝑓(5)|=6𝑥|𝑓(6)| que puede resolver para hallar una primera aproximación de la raíz. Calcula el valor de 𝑥 con 3 cifras decimales.

Nerea utiliza su primera aproximación para mejorar el intervalo en el que se encuentra la raíz y luego repite el proceso con este nuevo intervalo. Continúa este proceso para hallar el valor de la raíz con una cifra decimal.

P7:

Considera un polinomio 𝑃(𝑥).

Si 𝑃(2)=22 y 𝑃(4)=1, ¿qué puedes concluir sobre los ceros de 𝑃?

  • A𝑃(𝑥)0 para 𝑥2, por lo que no puede haber un cero ahí.
  • BHay un cero en el intervalo (2,4).
  • CNo se puede concluir nada.
  • DNo hay ceros en el intervalo [2,4].
  • E𝑃(𝑥)>0 para 𝑥2, por lo que no puede haber un cero ahí.

Sabiendo que lim𝑃(𝑥)=, ¿qué puedes concluir sobre los ceros de 𝑃 en el intervalo (,2)?

  • AHay exactamente un cero en este intervalo.
  • BNo se puede concluir nada.
  • CHay al menos un cero en este intervalo.
  • DNo hay ceros en este intervalo.
  • EHay dos ceros en este intervalo.

P8:

Lorenzo está estudiando la función 𝑓(𝑥)=3𝑥+9𝑥1000. Primero quiere demostrar que hay una raíz entre 6 y 7. Sabe que la función es continua y ha calculado 𝑓(6)=298 y 𝑓(7)=92.

Explica cómo se pueden usar los cálculos de Lorenzo para demostrar que hay una raíz entre 6 y 7.

  • AComo hay un cambio de signo entre los valores de 𝑓(6) y 𝑓(7) y la función es continua, hay exactamente una raíz entre 6 y 7.
  • BComo el valor de la función decrece entre los valores de 𝑓(6) y 𝑓(7) y la función es continua, hay al menos una raíz entre 6 y 7.
  • CComo la función decrece entre los valores de 𝑓(6) y 𝑓(7), hay exactamente una raíz entre 6 y 7, independientemente de si la función es o no continua.
  • DComo hay un cambio de signo entre los valores de 𝑓(6) y 𝑓(7) y la función es continua, hay al menos una raíz entre 6 y 7.
  • EComo hay un cambio de signo entre los valores de 𝑓(6) y 𝑓(7), hay al menos una raíz entre 6 y 7, independientemente de si la función es continua o no.

Lorenzo decide aproximar la raíz a una cifra decimal usando la bisección del intervalo. Su método es el siguiente:

toma los extremos del intervalo, halla el punto medio y luego sustituye este valor en la función para comprobar su signo. Utiliza este signo para revisar su intervalo y luego repite los pasos con el nuevo intervalo.

Ha completado hasta ahora la siguiente tabla, en la que 𝑎 y 𝑏 son los extremos del intervalo.

𝑎𝑓(𝑎)𝑏𝑓(𝑏)𝑎+𝑏2𝑓𝑎+𝑏2
6−2987926.5−117.625

Usa la información en la tabla de Lorenzo para hallar el próximo intervalo que Lorenzo debería considerar.

  • A(6;6.5)
  • B(6.5;7)

Continúa el proceso de Lorenzo para hallar la raíz, redondeada a una cifra decimal.

P9:

Si 𝑓(𝑥) es continua en [0,3], 𝑓(0)>0, y 𝑓(3)>0, ¿podemos usar el teorema del valor intermedio para concluir que 𝑓(𝑥) no tiene ceros en el intervalo [0,3]?

  • ANo
  • B

P10:

Sea 𝑓(𝑥)=3𝑥. Según el teorema del valor intermedio, ¿cuál de los siguientes intervalos contiene una solución para 𝑓(𝑥)=0?

  • A[2,3]
  • B[3,2]
  • C[1,2]
  • D[0,1]
  • E[2,1]

Esta lección incluye 1 pregunta adicional y 9 variaciones de preguntas adicionales para suscriptores.

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