Hoja de actividades: Derivar y usar las identidades trigonométricas de la suma y la diferencia de ángulos

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo derivar las identidades de la suma y la diferencia de ángulos, gráfica y algebraicamente, y cómo usarlas para calcular funciones trigonométricas.

P1:

Usando sencoscossensen6030βˆ’6030=πœƒβˆ˜βˆ˜βˆ˜βˆ˜βˆ˜, determina el valor de πœƒ en grados.

  • A 1 3 5 ∘
  • B 3 0 ∘
  • C 9 0 ∘
  • D 6 0 ∘
  • E 4 0 ∘

P2:

Usando que cosπœƒ=57 con 3πœ‹2β‰€πœƒβ‰€2πœ‹ y que cosπœ‘=√23 con 0β‰€πœ‘β‰€πœ‹2, encuentra el valor exacto de cos(πœ‘βˆ’πœƒ).

  • A 5 √ 2 + 2 √ 4 2 2 1
  • B βˆ’ 5 √ 7 + 4 √ 3 2 1
  • C 5 √ 7 + 4 √ 3 2 1
  • D 5 √ 2 βˆ’ 2 √ 4 2 2 1
  • E 5 √ 7 βˆ’ 4 √ 3 2 1

P3:

Simplifica tgtgtgtg(118βˆ’2π‘₯)+(32+2π‘₯)1βˆ’(118βˆ’2π‘₯)(32+2π‘₯)∘∘∘∘.

  • A √ 3
  • B √ 3 3
  • C βˆ’ √ 3
  • D βˆ’ √ 3 3

P4:

EvalΓΊa tancotcottan16+761βˆ’7616∘∘∘∘.

  • A √ 3 3
  • B βˆ’ √ 3
  • C √ 3
  • D βˆ’ √ 3 3

P5:

Halla sen(𝐴+𝐡) sabiendo que sen𝐴=βˆ’2425, donde 270<𝐴<360∘∘, y cos𝐡=βˆ’45, donde 180<𝐡<270∘∘ .

  • A 1 1 7 1 2 5
  • B 5 3
  • C βˆ’ 3 5
  • D βˆ’ 1 1 7 1 2 5
  • E 3 5

P6:

Consideremos las siguientes figuras que muestran dos puntos en el cΓ­rculo unitario.

ΒΏComo se obtiene la figura de la derecha a partir de la de la izquierda?

  • Arotando por un Γ‘ngulo π›½βˆ’π›Ό respecto al origen
  • Brotando por un Γ‘ngulo βˆ’π›½ respecto al origen
  • Crotando por un Γ‘ngulo 𝛼 respecto al origen
  • Drotando por un Γ‘ngulo βˆ’π›Ό respecto al origen
  • Erotando por un Γ‘ngulo 𝛽 respecto al origen

ΒΏQuΓ© puedes decir acerca de los triΓ‘ngulos 𝑂𝑀𝑁 y 𝑂𝑀′𝑁′?

  • Aque son diferentes
  • B que son semejantes
  • Cque son con congruentes
  • Dque son isΓ³sceles
  • Eque son equilΓ‘teros

Encuentra las coordenadas de 𝑀, 𝑁, 𝑀′ y 𝑁′.

  • A 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) c o s s e n , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) c o s s e n , 𝑀 β€² ( 0 , 1 ) , 𝑁 β€² ( ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) ) s e n c o s
  • B 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) c o s s e n , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) c o s s e n , 𝑀 β€² ( 0 , 1 ) , 𝑁 β€² ( ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) ) c o s s e n
  • C 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) s e n c o s , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) s e n c o s , 𝑀 β€² ( 1 , 0 ) , 𝑁 β€² ( ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) ) c o s s e n
  • D 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) s e n c o s , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) s e n c o s , 𝑀 β€² ( 0 , 1 ) , 𝑁 β€² ( ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) ) s e n c o s
  • E 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) c o s s e n , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) c o s s e n , 𝑀 β€² ( 1 , 0 ) , 𝑁 β€² ( ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) ) c o s s e n

Calcula las longitudes de 𝑀𝑁 y 𝑀′𝑁′.

  • A 𝑀 𝑁 = √ 2 , 𝑀 β€² 𝑁 β€² = √ 2 + 2 ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) c o s
  • B 𝑀 𝑁 = 2 , 𝑀 β€² 𝑁 β€² = 2 βˆ’ 2 ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) c o s
  • C 𝑀 𝑁 = √ 2 , 𝑀 β€² 𝑁 β€² = √ 2 βˆ’ 2 ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) c o s
  • D 𝑀 𝑁 = √ 2 βˆ’ 2 𝛼 𝛽 βˆ’ 2 𝛼 𝛽 c o s c o s s e n s e n , 𝑀 β€² 𝑁 β€² = √ 2 + 2 ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) c o s
  • E 𝑀 𝑁 = √ 2 βˆ’ 2 𝛼 𝛽 βˆ’ 2 𝛼 𝛽 c o s c o s s e n s e n , 𝑀 β€² 𝑁 β€² = √ 2 βˆ’ 2 ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) c o s

Usa el resultado de la pregunta anterior para encontrar una expresiΓ³n para cos(π›Όβˆ’π›½).

  • A c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = βˆ’ 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • B c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 1 2 𝛼 𝛽 βˆ’ 1 2 𝛼 𝛽
  • C c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • D c o s s e n s e n c o s c o s ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • E c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 + 𝛼 𝛽

P7:

Halla sen(π΄βˆ’π΅) sabiendo que sen𝐴=βˆ’513 , con 270<𝐴<360∘∘, y que cos𝐡=45, con 0<𝐡<90∘∘.

  • A βˆ’ 5 6 6 5
  • B βˆ’ 1 6 6 5
  • C βˆ’ 6 5 5 6
  • D 1 6 6 5
  • E 5 6 6 5

P8:

De un triÑngulo 𝐴𝐡𝐢 se sabe que cos𝐴=35 y que sen𝐡=45. Sin usar calculadora, halla sen𝐢.

  • A βˆ’ 1
  • B0
  • C 2 5 2 4
  • D 2 4 2 5

P9:

Calcula sen(π΄βˆ’π΅) sabiendo que sen𝐴=45, con 90<𝐴<180∘∘, y que cos𝐡=βˆ’35, con 180<𝐡<270∘∘.

  • A βˆ’ 2 4 2 5
  • B βˆ’ 2 5 2 4
  • C0
  • D 2 4 2 5

P10:

Calcula sen(𝐴+𝐡) sabiendo que cos𝐴=45 y que tg𝐡=34, siendo 𝐴 y 𝐡 dos Ñngulos agudos y positivos.

  • A 2 4 2 5
  • B0
  • C 2 5 2 4
  • D βˆ’ 2 4 2 5

P11:

Halla cosec(𝐴+𝐡) sabiendo que sen𝐴=45 donde 90<𝐴<180∘∘ y cos𝐡=βˆ’513 donde 180<𝐡<270∘∘.

  • A 6 5 1 6
  • B 1 6 6 5
  • C βˆ’ 5 6 6 5
  • D 5 6 6 5
  • E βˆ’ 1 6 6 5

P12:

Usando la relaciΓ³n sensencoscossen(π›Όβˆ’π›½)=π›Όπ›½βˆ’π›Όπ›½, encuentra una expresiΓ³n para sen(𝛼+𝛽).

  • A s e n s e n c o s c o s s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • B s e n s e n c o s c o s s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 + 𝛼 𝛽
  • C s e n s e n c o s c o s s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = βˆ’ 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • D s e n s e n c o s c o s s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = βˆ’ 𝛼 𝛽 + 𝛼 𝛽

P13:

Halla sen(π΄βˆ’π΅) sabiendo que sen𝐴=βˆ’45 , en donde 270<𝐴<360∘∘, y cos𝐡=βˆ’45 , en donde 180<𝐡<270∘∘.

  • A 7 2 5
  • B1
  • C βˆ’ 7 2 5
  • D βˆ’ 1

P14:

Halla el valor de csc(π΄βˆ’π΅) sabiendo que cos𝐴=725, que cos𝐡=35 y que 𝐴 y 𝐡 son Γ‘ngulos agudos.

  • A 4 5
  • B βˆ’ 4 4 1 2 5
  • C 4 4 1 2 5
  • D 1 2 5 4 4
  • E βˆ’ 4 5

P15:

Halla csc(𝐴+𝐡) sabiendo que cos𝐴=35 y cos𝐡=35 donde 𝐴 y 𝐡 son Ñngulos agudos.

  • A βˆ’ 2 4 2 5
  • B 2 4 2 5
  • C 2 5 2 4
  • D0

P16:

Halla sen(π‘‹βˆ’π‘Œ) sabiendo que 25𝑋+7=0cos, en donde 90<𝑋<180∘∘, y que cosπ‘Œ=45, en donde 270<π‘Œ<360∘∘.

  • A βˆ’ 3 5
  • B 3 5
  • C 1 1 7 1 2 5
  • D 5 3

P17:

Calcula sen(π΅βˆ’2𝐴) sabiendo que tg𝐴=43, con π΄βˆˆο€»0,πœ‹2, y que tg𝐡=247, con π΅βˆˆο€Όπœ‹,3πœ‹2.

  • A βˆ’ 3 3 6 6 2 5
  • B βˆ’ 4 4 1 2 5
  • C 3 3 6 6 2 5
  • D 4 4 1 2 5

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