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Hoja de actividades: Derivar y usar las identidades trigonométricas de la suma y la diferencia de ángulos

P1:

Usando s e n c o s c o s s e n s e n 6 0 3 0 βˆ’ 6 0 3 0 = πœƒ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ , determina el valor de πœƒ en grados.

  • A 9 0 ∘
  • B 6 0 ∘
  • C 4 0 ∘
  • D 3 0 ∘
  • E 1 3 5 ∘

P2:

Usando que c o s πœƒ = 5 7 con 3 πœ‹ 2 ≀ πœƒ ≀ 2 πœ‹ y que c o s πœ‘ = √ 2 3 con 0 ≀ πœ‘ ≀ πœ‹ 2 , encuentra el valor exacto de c o s ( πœ‘ βˆ’ πœƒ ) .

  • A 5 √ 7 + 4 √ 3 2 1
  • B 5 √ 2 + 2 √ 4 2 2 1
  • C 5 √ 7 βˆ’ 4 √ 3 2 1
  • D 5 √ 2 βˆ’ 2 √ 4 2 2 1
  • E βˆ’ 5 √ 7 + 4 √ 3 2 1

P3:

Simplifica t g t g t g t g ( 1 1 8 βˆ’ 2 π‘₯ ) + ( 3 2 + 2 π‘₯ ) 1 βˆ’ ( 1 1 8 βˆ’ 2 π‘₯ ) ( 3 2 + 2 π‘₯ ) ∘ ∘ ∘ ∘ .

  • A √ 3 3
  • B βˆ’ √ 3
  • C √ 3
  • D βˆ’ √ 3 3

P4:

Consideremos las siguientes figuras que muestran dos puntos en el cΓ­rculo unitario.

ΒΏComo se obtiene la figura de la derecha a partir de la de la izquierda?

  • Arotando por un Γ‘ngulo βˆ’ 𝛼 respecto al origen
  • Brotando por un Γ‘ngulo 𝛽 respecto al origen
  • Crotando por un Γ‘ngulo 𝛼 respecto al origen
  • Drotando por un Γ‘ngulo βˆ’ 𝛽 respecto al origen
  • Erotando por un Γ‘ngulo 𝛽 βˆ’ 𝛼 respecto al origen

ΒΏQuΓ© puedes decir acerca de los triΓ‘ngulos 𝑂 𝑀 𝑁 y 𝑂 𝑀 𝑁 β€² β€² ?

  • Aque son con congruentes
  • Bque son isΓ³sceles
  • Cque son equilΓ‘teros
  • D que son semejantes
  • Eque son diferentes

Encuentra las coordenadas de 𝑀 , 𝑁 , 𝑀 β€² y 𝑁 β€² .

  • A 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) c o s s e n , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) c o s s e n , 𝑀 ( 0 , 1 ) β€² , 𝑁 ( ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) ) β€² c o s s e n
  • B 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) s e n c o s , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) s e n c o s , 𝑀 ( 1 , 0 ) β€² , 𝑁 ( ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) ) β€² c o s s e n
  • C 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) c o s s e n , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) c o s s e n , 𝑀 ( 1 , 0 ) β€² , 𝑁 ( ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) ) β€² c o s s e n
  • D 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) c o s s e n , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) c o s s e n , 𝑀 ( 0 , 1 ) β€² , 𝑁 ( ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) ) β€² s e n c o s
  • E 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) s e n c o s , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) s e n c o s , 𝑀 ( 0 , 1 ) β€² , 𝑁 ( ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) ) β€² s e n c o s

Calcula las longitudes de 𝑀 𝑁 y 𝑀 𝑁 β€² β€² .

  • A 𝑀 𝑁 = √ 2 βˆ’ 2 𝛼 𝛽 βˆ’ 2 𝛼 𝛽 c o s c o s s e n s e n , 𝑀 𝑁 = √ 2 βˆ’ 2 ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) β€² β€² c o s
  • B 𝑀 𝑁 = 2 , 𝑀 𝑁 = 2 βˆ’ 2 ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) β€² β€² c o s
  • C 𝑀 𝑁 = √ 2 βˆ’ 2 𝛼 𝛽 βˆ’ 2 𝛼 𝛽 c o s c o s s e n s e n , 𝑀 𝑁 = √ 2 + 2 ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) β€² β€² c o s
  • D 𝑀 𝑁 = √ 2 , 𝑀 𝑁 = √ 2 βˆ’ 2 ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) β€² β€² c o s
  • E 𝑀 𝑁 = √ 2 , 𝑀 𝑁 = √ 2 + 2 ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) β€² β€² c o s

Usa el resultado de la pregunta anterior para encontrar una expresiΓ³n para c o s ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) .

  • A c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 1 2 𝛼 𝛽 βˆ’ 1 2 𝛼 𝛽
  • B c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • C c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = βˆ’ 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • D c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 + 𝛼 𝛽
  • E c o s s e n s e n c o s c o s ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽

P5:

Halla s e n ( 𝐴 βˆ’ 𝐡 ) sabiendo que s e n 𝐴 = βˆ’ 5 1 3 , con 2 7 0 < 𝐴 < 3 6 0 ∘ ∘ , y que c o s 𝐡 = 4 5 , con 0 < 𝐡 < 9 0 ∘ ∘ .

  • A 1 6 6 5
  • B βˆ’ 5 6 6 5
  • C βˆ’ 1 6 6 5
  • D βˆ’ 6 5 5 6
  • E 5 6 6 5

P6:

De un triÑngulo 𝐴 𝐡 𝐢 se sabe que c o s 𝐴 = 3 5 y que s e n 𝐡 = 4 5 . Sin usar calculadora, halla s e n 𝐢 .

  • A βˆ’ 1
  • B 2 5 2 4
  • C0
  • D 2 4 2 5

P7:

Calcula s e n ( 𝐴 βˆ’ 𝐡 ) sabiendo que s e n 𝐴 = 4 5 , con 9 0 < 𝐴 < 1 8 0 ∘ ∘ , y que c o s 𝐡 = βˆ’ 3 5 , con 1 8 0 < 𝐡 < 2 7 0 ∘ ∘ .

  • A0
  • B βˆ’ 2 5 2 4
  • C 2 4 2 5
  • D βˆ’ 2 4 2 5

P8:

Calcula s e n ( 𝐴 + 𝐡 ) sabiendo que c o s 𝐴 = 2 4 2 5 y que t g 𝐡 = 1 2 5 , siendo 𝐴 y 𝐡 dos Ñngulos agudos y positivos.

  • A βˆ’ 2 5 3 3 2 5
  • B 3 2 5 3 2 3
  • C 2 5 3 3 2 5
  • D 3 2 3 3 2 5
  • E βˆ’ 3 2 3 3 2 5

P9:

Usando la relaciΓ³n s e n s e n c o s c o s s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽 , encuentra una expresiΓ³n para s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) .

  • A s e n s e n c o s c o s s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = βˆ’ 𝛼 𝛽 + 𝛼 𝛽
  • B s e n s e n c o s c o s s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • C s e n s e n c o s c o s s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = βˆ’ 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • D s e n s e n c o s c o s s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 + 𝛼 𝛽

P10:

Halla s e n ( 𝐴 + 𝐡 ) sabiendo que c o s 𝐴 = 4 5 y c o s 𝐡 = 3 5 donde 𝐴 y 𝐡 son Ñngulos agudos.

  • A 7 2 5
  • B βˆ’ 7 2 5
  • C βˆ’ 1
  • D1

P11:

Calcula s e n ( 𝐡 βˆ’ 2 𝐴 ) sabiendo que t g 𝐴 = 4 3 , con 𝐴 ∈ ο€» 0 , πœ‹ 2  , y que t g 𝐡 = 2 4 7 , con 𝐡 ∈ ο€Ό πœ‹ , 3 πœ‹ 2  .

  • A βˆ’ 4 4 1 2 5
  • B βˆ’ 3 3 6 6 2 5
  • C 4 4 1 2 5
  • D 3 3 6 6 2 5