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Hoja de actividades: Derivar y usar las identidades trigonométricas de la suma y la diferencia de ángulos

P1:

Usando s e n c o s c o s s e n s e n 6 0 3 0 βˆ’ 6 0 3 0 = πœƒ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ , determina el valor de πœƒ en grados.

  • A 9 0 ∘
  • B 6 0 ∘
  • C 4 0 ∘
  • D 3 0 ∘
  • E 1 3 5 ∘

P2:

Consideremos las siguientes figuras que muestran dos puntos en el cΓ­rculo unitario.

ΒΏComo se obtiene la figura de la derecha a partir de la de la izquierda?

  • Arotando por un Γ‘ngulo βˆ’ 𝛼 respecto al origen
  • Brotando por un Γ‘ngulo 𝛽 respecto al origen
  • Crotando por un Γ‘ngulo 𝛼 respecto al origen
  • Drotando por un Γ‘ngulo βˆ’ 𝛽 respecto al origen
  • Erotando por un Γ‘ngulo 𝛽 βˆ’ 𝛼 respecto al origen

ΒΏQuΓ© puedes decir acerca de los triΓ‘ngulos 𝑂 𝑀 𝑁 y 𝑂 𝑀 𝑁 β€² β€² ?

  • Aque son con congruentes
  • Bque son isΓ³sceles
  • Cque son equilΓ‘teros
  • D que son semejantes
  • Eque son diferentes

Encuentra las coordenadas de 𝑀 , 𝑁 , 𝑀 β€² y 𝑁 β€² .

  • A 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) c o s s e n , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) c o s s e n , 𝑀 ( 0 , 1 ) β€² , 𝑁 ( ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) ) β€² c o s s e n
  • B 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) s e n c o s , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) s e n c o s , 𝑀 ( 1 , 0 ) β€² , 𝑁 ( ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) ) β€² c o s s e n
  • C 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) c o s s e n , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) c o s s e n , 𝑀 ( 1 , 0 ) β€² , 𝑁 ( ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) ) β€² c o s s e n
  • D 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) c o s s e n , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) c o s s e n , 𝑀 ( 0 , 1 ) β€² , 𝑁 ( ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) ) β€² s e n c o s
  • E 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) s e n c o s , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) s e n c o s , 𝑀 ( 0 , 1 ) β€² , 𝑁 ( ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) ) β€² s e n c o s

Calcula las longitudes de 𝑀 𝑁 y 𝑀 𝑁 β€² β€² .

  • A 𝑀 𝑁 = √ 2 βˆ’ 2 𝛼 𝛽 βˆ’ 2 𝛼 𝛽 c o s c o s s e n s e n , 𝑀 𝑁 = √ 2 βˆ’ 2 ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) β€² β€² c o s
  • B 𝑀 𝑁 = 2 , 𝑀 𝑁 = 2 βˆ’ 2 ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) β€² β€² c o s
  • C 𝑀 𝑁 = √ 2 βˆ’ 2 𝛼 𝛽 βˆ’ 2 𝛼 𝛽 c o s c o s s e n s e n , 𝑀 𝑁 = √ 2 + 2 ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) β€² β€² c o s
  • D 𝑀 𝑁 = √ 2 , 𝑀 𝑁 = √ 2 βˆ’ 2 ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) β€² β€² c o s
  • E 𝑀 𝑁 = √ 2 , 𝑀 𝑁 = √ 2 + 2 ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) β€² β€² c o s

Usa el resultado de la pregunta anterior para encontrar una expresiΓ³n para c o s ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) .

  • A c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 1 2 𝛼 𝛽 βˆ’ 1 2 𝛼 𝛽
  • B c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • C c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = βˆ’ 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • D c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 + 𝛼 𝛽
  • E c o s s e n s e n c o s c o s ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽

P3:

Usando la relaciΓ³n s e n s e n c o s c o s s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽 , encuentra una expresiΓ³n para s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) .

  • A s e n s e n c o s c o s s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = βˆ’ 𝛼 𝛽 + 𝛼 𝛽
  • B s e n s e n c o s c o s s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • C s e n s e n c o s c o s s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = βˆ’ 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • D s e n s e n c o s c o s s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 + 𝛼 𝛽

P4:

Utiliza las identidades c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 + 𝛼 𝛽 y c o s c o s ( 𝛼 βˆ’ ( βˆ’ 𝛽 ) ) = ( 𝛼 + 𝛽 ) para hallar una expresiΓ³n para c o s ( 𝛼 + 𝛽 ) .

  • A c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = βˆ’ 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • B c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 + 𝛼 𝛽
  • C c o s s e n s e n c o s c o s ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • D c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽

P5:

Usando la relaciΓ³n c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 + 𝛼 𝛽 , encuentra una expresiΓ³n para c o s ( 𝛼 + 𝛽 ) .

  • A c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = βˆ’ 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • B c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 + 𝛼 𝛽
  • C c o s s e n s e n c o s c o s ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • D c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽

P6:

ΒΏCuΓ‘l de las siguientes expresiones es equivalente a t g ( 4 5 βˆ’ 𝐴 ) ∘ ?

  • A s e n c o s s e n c o s 𝐴 βˆ’ 𝐴 𝐴 + 𝐴
  • B c o s s e n c o s s e n 𝐴 + 𝐴 𝐴 βˆ’ 𝐴
  • C s e n c o s s e n c o s 𝐴 + 𝐴 𝐴 βˆ’ 𝐴
  • D c o s s e n c o s s e n 𝐴 βˆ’ 𝐴 𝐴 + 𝐴

P7:

Usa las fΓ³rmulas de la suma y la diferencia de Γ‘ngulos en trigonometrΓ­a para evaluar de manera exacta.

  • A
  • B
  • C
  • D
  • E

P8:

Usa las fΓ³rmulas de la suma y la diferencia de Γ‘ngulos en trigonometrΓ­a para encontrar el valor exacto de c o s 5 πœ‹ 1 2 .

  • A √ 6 βˆ’ √ 2 2
  • B √ 6 + √ 2 4
  • C √ 6 + √ 2 2
  • D √ 6 βˆ’ √ 2 4
  • E √ 2 βˆ’ √ 6 4

P9:

Usa las fΓ³rmulas de la suma y la diferencia de Γ‘ngulos en trigonometrΓ­a para evaluar s e n 1 7 πœ‹ 1 2 de manera exacta.

  • A √ 6 + √ 2 4
  • B √ 6 βˆ’ √ 2 4
  • C √ 2 βˆ’ √ 6 4
  • D βˆ’ √ 6 + √ 2 4
  • E √ 6 βˆ’ √ 2 2

P10:

EvalΓΊa de manera exacta c o s 7 πœ‹ 1 2 .

  • A √ 2 βˆ’ √ 6 2
  • B √ 2 + √ 6 4
  • C √ 2 + √ 6 2
  • D √ 2 βˆ’ √ 6 4
  • E √ 6 βˆ’ √ 2 4

P11:

EvalΓΊa de manera exacta s e n 1 9 πœ‹ 1 2 .

  • A √ 2 + √ 6 4
  • B √ 6 βˆ’ √ 2 4
  • C √ 2 βˆ’ √ 6 4
  • D βˆ’ √ 2 + √ 6 4
  • E √ 2 + √ 6 2

P12:

EvalΓΊa s e c s e n c o s c o s s e n s e n t g 2 ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ 4 5 [ 3 0 1 5 + 3 0 1 5 ] 4 5 βˆ’ 4 5 .