Hoja de actividades: La matriz de un giro

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo determinar la matriz de la transformación lineal que gira los vectores de R² un ángulo dado.

P1:

Halla la matriz asociada a la transformaciΓ³n lineal que rota cada vector de β„οŠ¨ en un Γ‘ngulo de πœ‹4.

  • AβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽ12βˆ’βˆš32√3212⎞⎟⎟⎟⎠
  • Bο€Όβˆ’100βˆ’1
  • CβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆš22√22√22√22⎞⎟⎟⎟⎠
  • DβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽ12√32√3212⎞⎟⎟⎟⎠
  • EβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆš22βˆ’βˆš22√22√22⎞⎟⎟⎟⎠

P2:

Halla la matriz asociada a la transformaciΓ³n lineal que rota cada vector de β„οŠ¨ en un Γ‘ngulo de πœ‹12.

  • AβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽ1βˆ’βˆš22√2βˆ’βˆš32√3βˆ’βˆš221βˆ’βˆš22⎞⎟⎟⎟⎠
  • BβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆš6+√24√2βˆ’βˆš64√6βˆ’βˆš24√6+√24⎞⎟⎟⎟⎠
  • CβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽ12βˆ’βˆš32√3212⎞⎟⎟⎟⎠
  • DβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆš2βˆ’βˆš64√6+√24√6+√24√6βˆ’βˆš24⎞⎟⎟⎟⎠
  • EβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽ1βˆ’βˆš22√3βˆ’βˆš22√3βˆ’βˆš221βˆ’βˆš22⎞⎟⎟⎟⎠

P3:

Halla la matriz asociada a la transformaciΓ³n lineal que rota cada vector de β„οŠ¨ en un Γ‘ngulo de 2πœ‹3.

  • AβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽ12βˆ’βˆš32√3212⎞⎟⎟⎟⎠
  • BβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆ’βˆš32βˆ’12βˆ’12√32⎞⎟⎟⎟⎠
  • CβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆ’βˆš3212βˆ’12√32⎞⎟⎟⎟⎠
  • DβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆ’12βˆ’βˆš32√32βˆ’12⎞⎟⎟⎟⎠
  • EβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆ’12√32√32βˆ’12⎞⎟⎟⎟⎠

P4:

Halla la matriz asociada a la transformaciΓ³n lineal que rota cada vector de β„οŠ¨en un Γ‘ngulo de 5πœ‹12.

  • AβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆš6βˆ’βˆš24βˆ’βˆš2βˆ’βˆš64βˆ’βˆš2βˆ’βˆš64√2βˆ’βˆš64⎞⎟⎟⎟⎠
  • BβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆ’1βˆ’βˆš22√3+√22√3βˆ’βˆš22βˆ’1βˆ’βˆš22⎞⎟⎟⎟⎠
  • CβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆš6βˆ’βˆš24βˆ’βˆš2βˆ’βˆš64√6+√24√6βˆ’βˆš24⎞⎟⎟⎟⎠
  • DβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆš6βˆ’βˆš24√6+√24√6+√24√6βˆ’βˆš24⎞⎟⎟⎟⎠
  • EβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆ’1βˆ’βˆš22√2βˆ’βˆš32√3βˆ’βˆš22βˆ’1βˆ’βˆš22⎞⎟⎟⎟⎠

P5:

Halla la matriz asociada a la transformaciΓ³n lineal que rota cada vector de β„οŠ¨ en un Γ‘ngulo de βˆ’πœ‹3.

  • AβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽ12√32βˆ’βˆš3212⎞⎟⎟⎟⎠
  • BβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽ12βˆ’βˆš32βˆ’βˆš3212⎞⎟⎟⎟⎠
  • CβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆš32βˆ’12βˆ’12√32⎞⎟⎟⎟⎠
  • DβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆš3212βˆ’12√32⎞⎟⎟⎟⎠
  • EβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽ12βˆ’βˆš32√3212⎞⎟⎟⎟⎠

P6:

Determina, respecto a la base estΓ‘ndar, la matriz que rota cada vector de β„οŠ¨ en sentido contrario a las manecillas del reloj respecto al origen en un Γ‘ngulo de πœ‹4.

  • AβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽ12βˆ’βˆš22√2212⎞⎟⎟⎟⎠
  • BβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆš22βˆ’βˆš22√22√22⎞⎟⎟⎟⎠
  • CβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆš22βˆ’βˆš22βˆ’βˆš22√22⎞⎟⎟⎟⎠
  • DβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆ’12βˆ’βˆš22√2212⎞⎟⎟⎟⎠
  • EβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆš22√22√22√22⎞⎟⎟⎟⎠

P7:

Determina, respecto a la base estΓ‘ndar de β„οŠ¨, la matriz que rota cada vector en sentido contrario a las manecillas del reloj respecto al origen en un Γ‘ngulo de πœ‹3.

  • AβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆ’βˆš3212√3212⎞⎟⎟⎟⎠
  • BβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽ12√32√3212⎞⎟⎟⎟⎠
  • CβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆ’βˆš3212βˆ’12√32⎞⎟⎟⎟⎠
  • DβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽ12βˆ’βˆš32√32βˆ’12⎞⎟⎟⎟⎠
  • EβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽ12βˆ’βˆš32√3212⎞⎟⎟⎟⎠

P8:

Halla, respecto a la base estΓ‘ndar, la matriz que rota cada vector β„οŠ¨ en sentido contrario a las manecillas del reloj respecto al origen en un Γ‘ngulo de πœ‹12.

  • AβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆš6+√24√2βˆ’βˆš64√6βˆ’βˆš24√6+√24⎞⎟⎟⎟⎠
  • BβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆš6+√24√6+√24√6βˆ’βˆš24√2βˆ’βˆš64⎞⎟⎟⎟⎠
  • CβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆš6+√24√2βˆ’βˆš64√2βˆ’βˆš64βˆ’βˆš6+√24⎞⎟⎟⎟⎠
  • DβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆš6+√24βˆ’βˆš6+√24√6βˆ’βˆš24βˆ’βˆš2βˆ’βˆš64⎞⎟⎟⎟⎠
  • EβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆš6+√24βˆ’βˆš6+√24√6+√24√2βˆ’βˆš64⎞⎟⎟⎟⎠

P9:

Determina, respecto a la base estΓ‘ndar, la matriz que rota cada vector de β„οŠ¨ en sentido contrario a las manecillas del reloj respecto al origen en un Γ‘ngulo de 5πœ‹12.

  • AβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆ’βˆš6βˆ’βˆš24√6+√24√6+√24βˆ’βˆš6βˆ’βˆš24⎞⎟⎟⎟⎠
  • BβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆ’βˆš6+√24βˆ’βˆš6+√24βˆ’βˆš6+√24βˆ’βˆš6βˆ’βˆš24⎞⎟⎟⎟⎠
  • CβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆš6βˆ’βˆš24βˆ’βˆš6+√24√6+√24βˆ’βˆš6βˆ’βˆš24⎞⎟⎟⎟⎠
  • DβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆš6βˆ’βˆš24βˆ’βˆš6+√24√6+√24√6βˆ’βˆš24⎞⎟⎟⎟⎠
  • EβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆš6+√24βˆ’βˆš6+√24βˆ’βˆš6+√24√6βˆ’βˆš24⎞⎟⎟⎟⎠

P10:

Describe el efecto geomΓ©trico de la transformaciΓ³n producida por la matriz βŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆš22βˆ’βˆš22√22√22⎞⎟⎟⎟⎠.

  • Auna rotaciΓ³n de 45∘
  • Buna rotaciΓ³n de 90∘
  • Cuna rotaciΓ³n de βˆ’90∘
  • Duna rotaciΓ³n de 135∘
  • Euna rotaciΓ³n de βˆ’45∘

P11:

Una rotaciΓ³n con centro en el origen envΓ­a el vector ο€Ό34 en ο€Ό43. Encuentra la matriz de rotaciΓ³n correspondiente.

  • AβŽ›βŽœβŽœβŽ2425725βˆ’7252425⎞⎟⎟⎠
  • Bο€Ό0110
  • CβŽ›βŽœβŽœβŽ2425725725βˆ’2425⎞⎟⎟⎠
  • DβŽ›βŽœβŽœβŽ453535βˆ’45⎞⎟⎟⎠
  • EβŽ›βŽœβŽœβŽ4535βˆ’3545⎞⎟⎟⎠

P12:

Sea 𝐴 una matriz de transformaciΓ³n que rota cada vector de β„οŠ¨ en un Γ‘ngulo πœƒ, con 0<πœƒβ‰€2πœ‹. ΒΏPara quΓ© valores de πœƒ tiene 𝐴 un valor propio real?

  • Aπœƒ=0 y πœƒ=πœ‹2
  • Bπœƒ=0 y πœƒ=πœ‹3
  • Cπœƒ=0 y πœƒ=3πœ‹2
  • Dπœƒ=πœ‹2 y πœƒ=πœ‹
  • Eπœƒ=0 y πœƒ=πœ‹

P13:

Una transformaciΓ³n lineal en el plano lleva el vector ο€Ό10 en ο€Όπ‘π‘žοˆ. Si la transformaciΓ³n es una rotaciΓ³n ΒΏa dΓ³nde lleva al vector ο€Ό01?

  • Aο€Όπ‘π‘žοˆ
  • Bο€Όβˆ’π‘žβˆ’π‘οˆ
  • Cο€Όβˆ’π‘žπ‘οˆ
  • Dο€Όπ‘žβˆ’π‘οˆ
  • Eο€Όπ‘žπ‘οˆ

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