Hoja de actividades: Programación lineal

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo encontrar la solución óptima de un sistema lineal que tiene una función objetivo y múltiples restricciones.

P1:

Determina los valores de 𝑥 y 𝑦 que maximizan la función 𝑝=5𝑥+2𝑦 en la región sombreada del gráfico. Escribe la respuesta en forma de coordenadas (𝑥,𝑦).

  • A(0,8)
  • B(7,0)
  • C(3,0)
  • D(7,8)

P2:

Halla el valor máximo de la función objetivo 𝑝=2𝑥+6𝑦 con las restricciones 𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦6, 3𝑥+𝑦9, y 𝑥+2𝑦8.

P3:

A partir de la siguiente gráfica y sabiendo que 𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦7 y 𝑦5, determina en qué punto la función 𝑝=3𝑥𝑦 tiene su máximo haciendo uso de la programación lineal.

  • A𝐶
  • B𝐴
  • C𝐵
  • D𝐷

P4:

Usando programación lineal, determina el valor mínimo y el valor máximo de la función 𝑝=4𝑥3𝑦 con las restricciones 𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦9, y 𝑦5.

  • AEl valor mínimo es 15 y el valor máximo es 1.
  • BEl valor mínimo es 0 y el valor máximo es 9.
  • CEl valor mínimo es 27 y el valor máximo es 1.
  • DEl valor mínimo es 27 y el valor máximo es 15.

P5:

Minimiza la función 𝑧=𝑥+𝑥 sujeta a las restricciones 𝑥+𝑥2, 𝑥+3𝑥20 y 𝑥+𝑥18.

P6:

Considera las siguientes desigualdades para las variables no negativas 𝑥, 𝑥 y 𝑥: 𝑥+𝑥+𝑥10,𝑥+𝑥+𝑥2,𝑥+2𝑥+𝑥7. Halla el máximo y el mínimo valor posible de 𝑧=𝑥2𝑥+𝑥, sujeta a las restricciones anteriores.

  • Amínimo: 112, máximo: 5
  • Bmínimo: 7, máximo: 7
  • Cmínimo: 72, máximo: 7
  • Dmínimo: 132, máximo: 5
  • Emínimo: 7, máximo: 5

P7:

Considera las siguientes desigualdades para las variables no negativas 𝑥, 𝑥 y 𝑥: 𝑥+𝑥+𝑥8,𝑥+𝑥+3𝑥1,𝑥+𝑥+𝑥7. Halla el máximo y el mínimo valor posible de 𝑧=𝑥2𝑥3𝑥, sujeta a las restricciones anteriores

  • Ammínimo: 20, máximo: 7
  • Bmmínimo: 20, máximo: 6
  • Cmmínimo: 21, máximo: 6
  • Dmmínimo: 21, máximo: 7

P8:

Considera las siguientes desigualdades para las variables no negativas 𝑥, 𝑥 y 𝑥: 𝑥𝑥+𝑥10,𝑥+𝑥+𝑥1,𝑥+2𝑥+𝑥7. Halla el máximo y el mínimo valor posible de 𝑧=2𝑥+𝑥, sujeta a las restricciones anteriores.

  • Amínimo: 0, máximo: 7
  • Bmínimo: 1, máximo: 7
  • Cmínimo: 1, máximo: 14
  • Dmínimo: 0, máximo: 14

P9:

Considera las siguientes desigualdades para las variables no negativas 𝑥, 𝑥 y 𝑥: 𝑥+𝑥+𝑥10,𝑥+𝑥+𝑥1,𝑥+2𝑥+𝑥7. Halla el máximo y el mínimo valor posible de 𝑧=𝑥2𝑥, sujeta a las restricciones anteriores.

  • Amínimo: 7, máximo: 7
  • Bmínimo: 72, máximo: 7
  • Cmínimo: 132, máximo: 6
  • Dmínimo: 7, máximo: 6

P10:

Considera las siguientes inecuaciones para variables no negativas 𝑥, 𝑥, and 𝑥: 𝑥𝑥+𝑥10,𝑥+𝑥+𝑥1,𝑥+2𝑥+𝑥7. Encuentra los valores máximo y mínimo para la función 𝑧=𝑥+2𝑥 sujeta a las restricciones anteriores.

  • Amínimo: 1, máximo 7
  • Bmínimo: 1, máximo 272
  • Cmínimo: 0, máximo 272
  • Dmínimo: 0, máximo 7

P11:

El comedor de una residencia de estudiantes usa dos tipos de pescado: bacalao y merluza. El comedor usa AL MENOS 40 kilos de pescado cada día pero no usa más de 30 kilos de bacalao y no más de 45 kilos de merluza. El precio de un kilo de bacalao es 6 LE y el de un kilo de merluza es 8 LE. Sea 𝑥 la cantidad de bacalao que se usa en un día e 𝑦 la cantidad de merluza. El encargado quiere minimizar el coste total, 𝑝, del pescado usado. Indica la función objetivo y las desigualdades que ayudarán al encargado del comedor a decidir cuánto comprar de cada pescado.

  • A𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦40, 𝑥30, 𝑦45, 𝑝>6𝑥+8𝑦
  • B𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦40, 𝑥<30, 𝑦<45, 𝑝=6𝑥+8𝑦
  • C𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦40, 𝑥30, 𝑦45, 𝑝=6𝑥+8𝑦
  • D𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦>40, 𝑥30, 𝑦45, 𝑝=6𝑥+8𝑦
  • E𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦40, 𝑥30, 𝑦45, 𝑝=6𝑥+8𝑦

P12:

Una tienda de dulces vende malvaviscos por 5 LE cada bolsa y dulces de cola por 6 LE cada una. Un niño quiere comprar los dos tipos de caramelos y tiene restricciones en la cantidad que puede comprar según muestra la figura, en donde 𝑥 representa la cantidad de bolsas de malvaviscos que compra y 𝑦 representa la cantidad de bolsas de dulces de cola. ¿Cuál es el gasto más bajo posible en esta situación?

P13:

Una pequeña empresa fabrica dos tipos de muebles de metal, 𝐴 y 𝐵. La empresa es capaz de producir un máximo de 25 muebles en total. Cada mueble del tipo 𝐴 genera un beneficio de 60 LE y cada mueble del tipo 𝐵 genera un beneficio de 40 LE. La empresa vende al menos 2 veces más muebles del tipo 𝐴 que del tipo 𝐵. Indica la función objetivo y las desigualdades que ayudarán a determinar el máximo beneficio para la empresa.

  • A𝐴0, 𝐵0, 𝐴+𝐵25, 𝐴2𝐵, 𝑏60𝐴+40𝐵
  • B𝐴0, 𝐵0, 𝐴+𝐵25, 𝐴=2𝐵, 𝑏=60𝐴+40𝐵
  • C𝐴0, 𝐵0, 𝐴+𝐵=25, 𝐴2𝐵, 𝑏=60𝐴+40𝐵
  • D𝐴0, 𝐵0, 𝐴+𝐵25, 𝐴2𝐵, 𝑏=60𝐴+40𝐵

P14:

Una empresa de nutrición infantil produce dos tipos de potitos para bebés con diferente valor nutricional. Cada potito del primer tipo, 𝑥, cuesta 3 LE y contiene 3 unidades de vitamina A y 2 unidades de vitamina B. Cada potito del segundo tipo, 𝑦, cuesta 4 LE y contiene 4 unidades de vitamina A y 3 unidades de vitamina B. Un bebé necesita al menos 120 unidades de vitamina A y 100 unidades de vitamina B para satisfacer sus necesidades nutricionales. Indica la función objetivo y las desigualdades necesarias para determinar cuántos potitos de cada tipo se deben comprar para satisfacer las necesidades nutricionales de un bebé al menor costo posible.

  • A𝑥0, 𝑦0, 3𝑥+4𝑦120, 2𝑥+3𝑦100, 𝑐=3𝑥+4𝑦
  • B𝑥0, 𝑦0, 3𝑥+2𝑦120, 4𝑥+3𝑦100, 𝑐=3𝑥+4𝑦
  • C𝑥0, 𝑦0, 3𝑥+4𝑦120, 2𝑥+3𝑦100, 𝑐3𝑥+4𝑦
  • D𝑥0, 𝑦0, 3𝑥+4𝑦120, 2𝑥+3𝑦100, 𝑐=3𝑥+4𝑦

P15:

Una empresa de alimentos infantiles produce dos tipos de potitos para bebés con diferentes valores nutricionales. Un potito del primer tipo contiene 2 unidades de vitamina A y 4 unidades de vitamina B, mientras que un potito del segundo tipo contiene 4 unidades de vitamina A y 2 unidades de vitamina B. Un bebé necesita al menos 100 unidades de vitamina A y 140 unidades de vitamina B cada mes. Cada potito del primer tipo cuesta 6 LE y cada potito del segundo tipo cuesta 4 LE. Usando el gráfico a continuación, determina la función objetivo y luego halla el costo más bajo posible requerido para suministrar a un bebé los nutrientes mensuales que necesita.

  • A𝑐=6𝑥+4𝑦, y el menor costo posible es de 220 LE.
  • B𝑐=2𝑥+4𝑦, y el menor costo posible es de 100 LE.
  • C𝑐=4𝑥+6𝑦, y el menor costo posible es de 1‎ ‎800 LE.
  • D𝑐=4𝑥+6𝑦, y el menor costo posible es de 420 LE.
  • E𝑐=6𝑥+4𝑦, y el menor costo posible es de 280 LE.

P16:

Una fábrica de alimentación infantil produce dos tipos de potitos para bebés con diferentes valores nutricionales. Un potito del primer tipo contiene 4 unidades de vitamina A y 2 unidades de vitamina B, mientras que un potito del segundo tipo contiene 2 unidades de vitamina A y 3 unidades de vitamina B. Cada bebé necesita al menos 120 unidades de vitamina A y 100 unidades de vitamina B al mes. Cada potito del primer tipo cuesta 6 LE, mientras que cada potito del segundo tipo cuesta 4 LE. Usando el gráfico siguiente, determina cuántos potitos de cada tipo deben adquirirse cada mes para proporcionar al bebé sus necesidades nutricionales con el menor costo posible.

  • Apotitos del primer tipo =0, potitos del segundo tipo =60
  • Bpotitos del primer tipo =0, potitos del segundo tipo =33
  • Cpotitos del primer tipo =20, potitos del segundo tipo =20
  • Dpotitos del primer tipo =30, potitos del segundo tipo =0

P17:

Una fábrica produce sillas y mesas y está intentando decidir cuántas de cada necesita producir para maximizar los beneficios.

Han trazado los límites y han dibujado la región factible, tal y como se muestra en la figura, donde 𝑥 representa el número de sillas y 𝑦 representa el número de mesas.

Si encuentran un comprador que acceda a pagar una tarifa tal que reciban 150 de beneficio por cada silla y 200 de beneficio por cada mesa, ¿cuál esperan que sea su máximo beneficio?

Si solo pueden garantizar un beneficio de 50 por cada silla y de 180 por cada mesa, ¿cuántas de cada deberían producir para maximizar los beneficios?

  • A38 sillas, 18 mesas
  • B18 sillas, 38 mesas
  • C45 sillas, 0 mesas
  • D32 sillas, 0 mesas
  • E0 sillas, 32 mesas

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