Hoja de actividades: Programación lineal

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo encontrar la solución óptima de un sistema lineal que tiene una función objetivo y múltiples restricciones.

P1:

Determina los valores de 𝑥 y 𝑦 que maximizan la función 𝑝=5𝑥+2𝑦 en la región sombreada del gráfico. Escribe la respuesta en forma de coordenadas (𝑥,𝑦).

  • A ( 0 , 8 )
  • B ( 7 , 0 )
  • C ( 3 , 0 )
  • D ( 7 , 8 )

P2:

Halla el valor máximo de la función objetivo 𝑝=2𝑥+6𝑦 con las restricciones 𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦6, 3𝑥+𝑦9, y 𝑥+2𝑦8.

P3:

A partir de la siguiente gráfica y sabiendo que 𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦7 y 𝑦5, determina en qué punto la función 𝑝=3𝑥𝑦 tiene su máximo haciendo uso de la programación lineal.

  • A 𝐶
  • B 𝐴
  • C 𝐵
  • D 𝐷

P4:

Usando programación lineal, determina el valor mínimo y el valor máximo de la función 𝑝=4𝑥3𝑦 con las restricciones 𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦9, y 𝑦5.

  • AEl valor mínimo es 15 y el valor máximo es 1.
  • BEl valor mínimo es 0 y el valor máximo es 9.
  • CEl valor mínimo es 27 y el valor máximo es 1.
  • DEl valor mínimo es 27 y el valor máximo es 15.

P5:

Minimiza la función 𝑧=𝑥+𝑥 sujeta a las restricciones 𝑥+𝑥2, 𝑥+3𝑥20 y 𝑥+𝑥18.

  • A1
  • B7
  • C2
  • D18
  • E9

P6:

Considera las siguientes desigualdades para las variables no negativas 𝑥, 𝑥 y 𝑥: 𝑥+𝑥+𝑥10,𝑥+𝑥+𝑥2,𝑥+2𝑥+𝑥7. Halla el máximo y el mínimo valor posible de 𝑧=𝑥2𝑥+𝑥, sujeta a las restricciones anteriores.

  • Amínimo: 112, máximo: 5
  • Bmínimo: 7, máximo: 7
  • Cmínimo: 72, máximo: 7
  • Dmínimo: 132, máximo: 5
  • Emínimo: 7, máximo: 5

P7:

Considera las siguientes desigualdades para las variables no negativas 𝑥, 𝑥 y 𝑥: 𝑥+𝑥+𝑥8,𝑥+𝑥+3𝑥1,𝑥+𝑥+𝑥7. Halla el máximo y el mínimo valor posible de 𝑧=𝑥2𝑥3𝑥, sujeta a las restricciones anteriores

  • Ammínimo: 20, máximo: 7
  • Bmmínimo: 20, máximo: 6
  • Cmmínimo: 21, máximo: 6
  • Dmmínimo: 21, máximo: 7

P8:

Considera las siguientes desigualdades para las variables no negativas 𝑥, 𝑥 y 𝑥: 𝑥𝑥+𝑥10,𝑥+𝑥+𝑥1,𝑥+2𝑥+𝑥7. Halla el máximo y el mínimo valor posible de 𝑧=2𝑥+𝑥, sujeta a las restricciones anteriores.

  • Amínimo: 0, máximo: 7
  • Bmínimo: 1, máximo: 7
  • Cmínimo: 1, máximo: 14
  • Dmínimo: 0, máximo: 14

P9:

Considera las siguientes desigualdades para las variables no negativas 𝑥, 𝑥 y 𝑥: 𝑥+𝑥+𝑥10,𝑥+𝑥+𝑥1,𝑥+2𝑥+𝑥7. Halla el máximo y el mínimo valor posible de 𝑧=𝑥2𝑥, sujeta a las restricciones anteriores.

  • Amínimo: 7, máximo: 7
  • Bmínimo: 72, máximo: 7
  • Cmínimo: 132, máximo: 6
  • Dmínimo: 7, máximo: 6

P10:

Considera las siguientes inecuaciones para variables no negativas 𝑥, 𝑥, and 𝑥: 𝑥𝑥+𝑥10,𝑥+𝑥+𝑥1,𝑥+2𝑥+𝑥7. Encuentra los valores máximo y mínimo para la función 𝑧=𝑥+2𝑥 sujeta a las restricciones anteriores.

  • Amínimo: 1, máximo 7
  • Bmínimo: 1, máximo 272
  • Cmínimo: 0, máximo 272
  • Dmínimo: 0, máximo 7

P11:

El comedor de una residencia de estudiantes usa dos tipos de pescado: bacalao y merluza. El comedor usa AL MENOS 40 kilos de pescado cada día pero no usa más de 30 kilos de bacalao y no más de 45 kilos de merluza. El precio de un kilo de bacalao es 6 LE y el de un kilo de merluza es 8 LE. Sea 𝑥 la cantidad de bacalao que se usa en un día e 𝑦 la cantidad de merluza. El encargado quiere minimizar el coste total, 𝑝, del pescado usado. Indica la función objetivo y las desigualdades que ayudarán al encargado del comedor a decidir cuánto comprar de cada pescado.

  • A 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑥 + 𝑦 4 0 , 𝑥 3 0 , 𝑦 4 5 , 𝑝 > 6 𝑥 + 8 𝑦
  • B 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑥 + 𝑦 4 0 , 𝑥 < 3 0 , 𝑦 < 4 5 , 𝑝 = 6 𝑥 + 8 𝑦
  • C 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑥 + 𝑦 4 0 , 𝑥 3 0 , 𝑦 4 5 , 𝑝 = 6 𝑥 + 8 𝑦
  • D 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑥 + 𝑦 > 4 0 , 𝑥 3 0 , 𝑦 4 5 , 𝑝 = 6 𝑥 + 8 𝑦
  • E 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑥 + 𝑦 4 0 , 𝑥 3 0 , 𝑦 4 5 , 𝑝 = 6 𝑥 + 8 𝑦

P12:

Una tienda de dulces vende malvaviscos por LE5 cada bolsa y dulces de cola por LE6 cada una. Un niño quiere comprar los dos tipos de caramelos y tiene restricciones en la cantidad que puede comprar según muestra la figura, en donde 𝑥 representa la cantidad de bolsas de malvaviscos que compra y 𝑦 representa la cantidad de bolsas de dulces de cola. ¿Cuál es el gasto más bajo posible en esta situación?

P13:

Una pequeña empresa fabrica dos tipos de muebles de metal, 𝐴 y 𝐵. La empresa es capaz de producir un máximo de 25 muebles en total. Cada mueble del tipo 𝐴 genera un beneficio de 60 LE y cada mueble del tipo 𝐵 genera un beneficio de 40 LE. La empresa vende al menos 2 veces más muebles del tipo 𝐴 que del tipo 𝐵. Indica la función objetivo y las desigualdades que ayudarán a determinar el máximo beneficio para la empresa.

  • A 𝐴 0 , 𝐵 0 , 𝐴 + 𝐵 2 5 , 𝐴 2 𝐵 , 𝑏 6 0 𝐴 + 4 0 𝐵
  • B 𝐴 0 , 𝐵 0 , 𝐴 + 𝐵 2 5 , 𝐴 = 2 𝐵 , 𝑏 = 6 0 𝐴 + 4 0 𝐵
  • C 𝐴 0 , 𝐵 0 , 𝐴 + 𝐵 = 2 5 , 𝐴 2 𝐵 , 𝑏 = 6 0 𝐴 + 4 0 𝐵
  • D 𝐴 0 , 𝐵 0 , 𝐴 + 𝐵 2 5 , 𝐴 2 𝐵 , 𝑏 = 6 0 𝐴 + 4 0 𝐵

P14:

Una empresa de nutrición infantil produce dos tipos de potitos para bebés con diferente valor nutricional. Cada potito del primer tipo, 𝑥, cuesta 3 LE y contiene 3 unidades de vitamina A y 2 unidades de vitamina B. Cada potito del segundo tipo, 𝑦, cuesta 4 LE y contiene 4 unidades de vitamina A y 3 unidades de vitamina B. Un bebé necesita al menos 120 unidades de vitamina A y 100 unidades de vitamina B para satisfacer sus necesidades nutricionales. Indica la función objetivo y las desigualdades necesarias para determinar cuántos potitos de cada tipo se deben comprar para satisfacer las necesidades nutricionales de un bebé al menor costo posible.

  • A 𝑥 0 , 𝑦 0 , 3 𝑥 + 4 𝑦 1 2 0 , 2 𝑥 + 3 𝑦 1 0 0 , 𝑐 = 3 𝑥 + 4 𝑦
  • B 𝑥 0 , 𝑦 0 , 3 𝑥 + 2 𝑦 1 2 0 , 4 𝑥 + 3 𝑦 1 0 0 , 𝑐 = 3 𝑥 + 4 𝑦
  • C 𝑥 0 , 𝑦 0 , 3 𝑥 + 4 𝑦 1 2 0 , 2 𝑥 + 3 𝑦 1 0 0 , 𝑐 3 𝑥 + 4 𝑦
  • D 𝑥 0 , 𝑦 0 , 3 𝑥 + 4 𝑦 1 2 0 , 2 𝑥 + 3 𝑦 1 0 0 , 𝑐 = 3 𝑥 + 4 𝑦

P15:

Una empresa de alimentos infantiles produce dos tipos de potitos para bebés con diferentes valores nutricionales. Un potito del primer tipo contiene 2 unidades de vitamina A y 4 unidades de vitamina B, mientras que un potito del segundo tipo contiene 4 unidades de vitamina A y 2 unidades de vitamina B. Un bebé necesita al menos 100 unidades de vitamina A y 140 unidades de vitamina B cada mes. Cada potito del primer tipo cuesta 6 LE y cada potito del segundo tipo cuesta 4 LE. Usando el gráfico a continuación, determina la función objetivo y luego halla el costo más bajo posible requerido para suministrar a un bebé los nutrientes mensuales que necesita.

  • A 𝑐 = 6 𝑥 + 4 𝑦 , y el menor costo posible es de 220 LE.
  • B 𝑐 = 2 𝑥 + 4 𝑦 , y el menor costo posible es de 100 LE.
  • C 𝑐 = 4 𝑥 + 6 𝑦 , y el menor costo posible es de 1‎ ‎800 LE.
  • D 𝑐 = 4 𝑥 + 6 𝑦 , y el menor costo posible es de 420 LE.
  • E 𝑐 = 6 𝑥 + 4 𝑦 , y el menor costo posible es de 280 LE.

P16:

Una fábrica de alimentación infantil produce dos tipos de potitos para bebés con diferentes valores nutricionales. Un potito del primer tipo contiene 4 unidades de vitamina A y 2 unidades de vitamina B, mientras que un potito del segundo tipo contiene 2 unidades de vitamina A y 3 unidades de vitamina B. Cada bebé necesita al menos 120 unidades de vitamina A y 100 unidades de vitamina B al mes. Cada potito del primer tipo cuesta 6 LE, mientras que cada potito del segundo tipo cuesta 4 LE. Usando el gráfico siguiente, determina cuántos potitos de cada tipo deben adquirirse cada mes para proporcionar al bebé sus necesidades nutricionales con el menor costo posible.

  • Apotitos del primer tipo =0, potitos del segundo tipo =60
  • Bpotitos del primer tipo =0, potitos del segundo tipo =33
  • Cpotitos del primer tipo =20, potitos del segundo tipo =20
  • Dpotitos del primer tipo =30, potitos del segundo tipo =0

P17:

Una fábrica produce sillas y mesas y está intentando decidir cuántas de cada necesita producir para maximizar los beneficios.

Han trazado los límites y han dibujado la región factible, tal y como se muestra en la figura, donde 𝑥 representa el número de sillas y 𝑦 representa el número de mesas.

Si encuentran un comprador que acceda a pagar una tarifa tal que reciban 150 de beneficio por cada silla y 200 de beneficio por cada mesa, ¿cuál esperan que sea su máximo beneficio?

Si solo pueden garantizar un beneficio de 50 por cada silla y de 180 por cada mesa, ¿cuántas de cada deberían producir para maximizar los beneficios?

  • A38 sillas, 18 mesas
  • B18 sillas, 38 mesas
  • C45 sillas, 0 mesas
  • D32 sillas, 0 mesas
  • E0 sillas, 32 mesas

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