Hoja de actividades: Programación lineal

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo encontrar la solución óptima de un sistema lineal que tiene una función objetivo y múltiples restricciones.

P1:

Determina los valores de 𝑥 y 𝑦 que maximizan la función 𝑝=5𝑥+2𝑦 en la región sombreada del gráfico. Escribe la respuesta en forma de coordenadas (𝑥,𝑦).

  • A(0,8)
  • B(7,8)
  • C(7,0)
  • D(3,0)

P2:

Halla el valor máximo de la función objetivo 𝑝=2𝑥+6𝑦 con las restricciones 𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦6, 3𝑥+𝑦9, y 𝑥+2𝑦8.

P3:

A partir de la siguiente gráfica y sabiendo que 𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦7 y 𝑦5, determina en qué punto la función 𝑝=3𝑥𝑦 tiene su máximo haciendo uso de la programación lineal.

  • A𝐴
  • B𝐷
  • C𝐶
  • D𝐵

P4:

Usando programación lineal, determina el valor mínimo y el valor máximo de la función 𝑝=4𝑥3𝑦 con las restricciones 𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦9, y 𝑦5.

  • AEl valor mínimo es 27 y el valor máximo es 1.
  • BEl valor mínimo es 15 y el valor máximo es 1.
  • CEl valor mínimo es 27 y el valor máximo es 15.
  • DEl valor mínimo es 0 y el valor máximo es 9.

P5:

El comedor de una residencia de estudiantes usa dos tipos de pescado: bacalao y merluza. El comedor usa AL MENOS 40 kilos de pescado cada día pero no usa más de 30 kilos de bacalao y no más de 45 kilos de merluza. El precio de un kilo de bacalao es 6 LE y el de un kilo de merluza es 8 LE. Sea 𝑥 la cantidad de bacalao que se usa en un día e 𝑦 la cantidad de merluza. El encargado quiere minimizar el coste total, 𝑝, del pescado usado. Indica la función objetivo y las desigualdades que ayudarán al encargado del comedor a decidir cuánto comprar de cada pescado.

  • A𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦40, 𝑥<30, 𝑦<45, 𝑝=6𝑥+8𝑦
  • B𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦>40, 𝑥30, 𝑦45, 𝑝=6𝑥+8𝑦
  • C𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦40, 𝑥30, 𝑦45, 𝑝=6𝑥+8𝑦
  • D𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦40, 𝑥30, 𝑦45, 𝑝>6𝑥+8𝑦
  • E𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦40, 𝑥30, 𝑦45, 𝑝=6𝑥+8𝑦

P6:

Una tienda de dulces vende malvaviscos por 5 LE cada bolsa y dulces de cola por 6 LE cada una. Un niño quiere comprar los dos tipos de caramelos y tiene restricciones en la cantidad que puede comprar según muestra la figura, en donde 𝑥 representa la cantidad de bolsas de malvaviscos que compra y 𝑦 representa la cantidad de bolsas de dulces de cola. ¿Cuál es el gasto más bajo posible en esta situación?

P7:

Una pequeña empresa fabrica dos tipos de muebles de metal, 𝐴 y 𝐵. La empresa es capaz de producir un máximo de 25 muebles en total. Cada mueble del tipo 𝐴 genera un beneficio de 60 LE y cada mueble del tipo 𝐵 genera un beneficio de 40 LE. La empresa vende al menos 2 veces más muebles del tipo 𝐴 que del tipo 𝐵. Indica la función objetivo y las desigualdades que ayudarán a determinar el máximo beneficio para la empresa.

  • A𝐴0, 𝐵0, 𝐴+𝐵25, 𝐴=2𝐵, 𝑏=60𝐴+40𝐵
  • B𝐴0, 𝐵0, 𝐴+𝐵25, 𝐴2𝐵, 𝑏60𝐴+40𝐵
  • C𝐴0, 𝐵0, 𝐴+𝐵25, 𝐴2𝐵, 𝑏=60𝐴+40𝐵
  • D𝐴0, 𝐵0, 𝐴+𝐵=25, 𝐴2𝐵, 𝑏=60𝐴+40𝐵

P8:

Una empresa de nutrición infantil produce dos tipos de potitos para bebés con diferente valor nutricional. Cada potito del primer tipo, 𝑥, cuesta 3 LE y contiene 3 unidades de vitamina A y 2 unidades de vitamina B. Cada potito del segundo tipo, 𝑦, cuesta 4 LE y contiene 4 unidades de vitamina A y 3 unidades de vitamina B. Un bebé necesita al menos 120 unidades de vitamina A y 100 unidades de vitamina B para satisfacer sus necesidades nutricionales. Indica la función objetivo y las desigualdades necesarias para determinar cuántos potitos de cada tipo se deben comprar para satisfacer las necesidades nutricionales de un bebé al menor costo posible.

  • A𝑥0, 𝑦0, 3𝑥+4𝑦120, 2𝑥+3𝑦100, 𝑐=3𝑥+4𝑦
  • B𝑥0, 𝑦0, 3𝑥+2𝑦120, 4𝑥+3𝑦100, 𝑐=3𝑥+4𝑦
  • C𝑥0, 𝑦0, 3𝑥+4𝑦120, 2𝑥+3𝑦100, 𝑐3𝑥+4𝑦
  • D𝑥0, 𝑦0, 3𝑥+4𝑦120, 2𝑥+3𝑦100, 𝑐=3𝑥+4𝑦

P9:

Una empresa de alimentos infantiles produce dos tipos de potitos para bebés con diferentes valores nutricionales. Un potito del primer tipo contiene 2 unidades de vitamina A y 4 unidades de vitamina B, mientras que un potito del segundo tipo contiene 4 unidades de vitamina A y 2 unidades de vitamina B. Un bebé necesita al menos 100 unidades de vitamina A y 140 unidades de vitamina B cada mes. Cada potito del primer tipo cuesta 6 LE y cada potito del segundo tipo cuesta 4 LE. Usando el gráfico a continuación, determina la función objetivo y luego halla el costo más bajo posible requerido para suministrar a un bebé los nutrientes mensuales que necesita.

  • A𝑐=6𝑥+4𝑦, y el menor costo posible es de 220 LE.
  • B𝑐=2𝑥+4𝑦, y el menor costo posible es de 100 LE.
  • C𝑐=4𝑥+6𝑦, y el menor costo posible es de 1‎ ‎800 LE.
  • D𝑐=4𝑥+6𝑦, y el menor costo posible es de 420 LE.
  • E𝑐=6𝑥+4𝑦, y el menor costo posible es de 280 LE.

P10:

Una fábrica de alimentación infantil produce dos tipos de potitos para bebés con diferentes valores nutricionales. Un potito del primer tipo contiene 4 unidades de vitamina A y 2 unidades de vitamina B, mientras que un potito del segundo tipo contiene 2 unidades de vitamina A y 3 unidades de vitamina B. Cada bebé necesita al menos 120 unidades de vitamina A y 100 unidades de vitamina B al mes. Cada potito del primer tipo cuesta 6 LE, mientras que cada potito del segundo tipo cuesta 4 LE. Usando el gráfico siguiente, determina cuántos potitos de cada tipo deben adquirirse cada mes para proporcionar al bebé sus necesidades nutricionales con el menor costo posible.

  • Apotitos del primer tipo =0, potitos del segundo tipo =60
  • Bpotitos del primer tipo =0, potitos del segundo tipo =33
  • Cpotitos del primer tipo =20, potitos del segundo tipo =20
  • Dpotitos del primer tipo =30, potitos del segundo tipo =0

P11:

Una fábrica produce dos tipos de escritorios de metal: tipo A y tipo B. Un trabajador construye los escritorios y otro los pinta. El primer trabajador tarda 3.5 horas en construir un escritorio tipo A y 2 horas en construir un escritorio tipo B. El segundo trabajador tarda 4 horas en pintar un escritorio tipo A y 2 horas en pintar un escritorio tipo B. El primero trabaja al menos 5 horas al día, y el segundo trabaja un máximo de 8 horas al día. Si la fábrica obtiene una ganancia de 50 LE por cada escritorio (de cualquier tipo), determina cuántos escritorios de cada tipo debe producir cada día para maximizar la ganancia.

  • A0 escritorios tipo A, 4 escritorios tipo B
  • B0 escritorios tipo A, 2 escritorios tipo B
  • C2 escritorios tipo A, 0 escritorios tipo B
  • D4 escritorios tipo A, 0 escritorios tipo B

P12:

Una fábrica que produce sillas y mesas está intentando decidir cuántas unidades de cada tipo de mueble necesita producir para maximizar su ganancia.

Han determinado las restricciones y han dibujado la región factible, tal y como se muestra en la figura, donde 𝑥 representa el número de sillas y 𝑦 representa el número de mesas.

Si encuentran un comprador que acceda a pagar una tarifa tal que ganen 150 por cada silla y 200 por cada mesa, ¿cuál es su ganancia máxima esperada?

Si solo pueden garantizar una ganancia de 50 por cada silla y de 180 por cada mesa, ¿cuántas unidades de cada tipo de mueble deberían producir para maximizar su ganancia?

  • A32 sillas, 0 mesas
  • B45 sillas, 0 mesas
  • C38 sillas, 18 mesas
  • D18 sillas, 38 mesas
  • E0 sillas, 32 mesas

P13:

Una pequeña empresa se dedica a teñir camisas para que salgan de un solo color o estampadas, y quieren decidir cuántas camisas de cada tipo van a preparar para la próxima temporada. Tienen un presupuesto de $240. La compra de cada camisa equivale a $2. Cuesta $0.50 teñir una camisa de un solo color y $1.50 producir una camisa estampada. Solo tienen 8 horas para preparar todas las camisas, y lleva 2 minutos teñir una camisa de un solo color y 10 minutos teñir una camisa estampada.

Quieren maximizar los beneficios, sabiendo que pueden vender camisas de un solo color por $8 cada una y camisas estampadas por $10 cada una.

𝑥 representa el número de camisas de un solo color y 𝑦 representa el número de camisas estampadas. ¿Cuál de los siguientes gráficos muestra la región factible?

  • A
  • B
  • C
  • D

Determina la función objetivo.

  • A𝑓(𝑥;𝑦)=2𝑥+1.5𝑦+240
  • B𝑓(𝑥,𝑦)=2𝑥+10𝑦480
  • C𝑓(𝑥,𝑦)=8𝑥+10𝑦
  • D𝑓(𝑥;𝑦)=2.5𝑥+3.5𝑦240
  • E𝑓(𝑥;𝑦)=2𝑥+1.5𝑦

¿Cuántas camisas de cada tipo debería producir la empresa para maximizar los beneficios?

  • A0 camisas de un solo color y 48 camisas estampadas
  • B89 camisas de un solo color y 69 camisas estampadas
  • C69 camisas de un solo color y 40 camisas estampadas
  • D40 camisas de un solo color y 40 camisas estampadas
  • E48 camisas de un solo color y 0 camisas estampadas

P14:

Considera las siguientes desigualdades para las variables no negativas 𝑥, 𝑥 y 𝑥: 𝑥𝑥+𝑥10,𝑥+𝑥+𝑥1,𝑥+2𝑥+𝑥7. Halla el máximo y el mínimo valor posible de 𝑧=2𝑥+𝑥, sujeta a las restricciones anteriores.

  • Amínimo: 1, máximo: 14
  • Bmínimo: 1, máximo: 7
  • Cmínimo: 0, máximo: 14
  • Dmínimo: 0, máximo: 7

P15:

Considera las siguientes desigualdades para las variables no negativas 𝑥, 𝑥 y 𝑥: 𝑥+𝑥+𝑥10,𝑥+𝑥+𝑥1,𝑥+2𝑥+𝑥7. Halla el máximo y el mínimo valor posible de 𝑧=𝑥2𝑥, sujeta a las restricciones anteriores.

  • Amínimo: 72, máximo: 7
  • Bmínimo: 7, máximo: 6
  • Cmínimo: 132, máximo: 6
  • Dmínimo: 7, máximo: 7

P16:

Considera las siguientes inecuaciones para variables no negativas 𝑥, 𝑥, and 𝑥: 𝑥𝑥+𝑥10,𝑥+𝑥+𝑥1,𝑥+2𝑥+𝑥7. Encuentra los valores máximo y mínimo para la función 𝑧=𝑥+2𝑥 sujeta a las restricciones anteriores.

  • Amínimo: 0, máximo 272
  • Bmínimo: 0, máximo 7
  • Cmínimo: 1, máximo 272
  • Dmínimo: 1, máximo 7

P17:

Considera las siguientes desigualdades para las variables no negativas 𝑥, 𝑥 y 𝑥: 𝑥+𝑥+𝑥8,𝑥+𝑥+3𝑥1,𝑥+𝑥+𝑥7. Halla el máximo y el mínimo valor posible de 𝑧=𝑥2𝑥3𝑥, sujeta a las restricciones anteriores

  • Ammínimo: 21, máximo: 6
  • Bmmínimo: 20, máximo: 6
  • Cmmínimo: 21, máximo: 7
  • Dmmínimo: 20, máximo: 7

P18:

Minimiza la función 𝑧=𝑥+𝑥 sujeta a las restricciones 𝑥+𝑥2, 𝑥+3𝑥20 y 𝑥+𝑥18.

P19:

Considera las siguientes desigualdades para las variables no negativas 𝑥, 𝑥 y 𝑥: 𝑥+𝑥+𝑥10,𝑥+𝑥+𝑥2,𝑥+2𝑥+𝑥7. Halla el máximo y el mínimo valor posible de 𝑧=𝑥2𝑥+𝑥, sujeta a las restricciones anteriores.

  • Amínimo: 7, máximo: 7
  • Bmínimo: 7, máximo: 5
  • Cmínimo: 132, máximo: 5
  • Dmínimo: 72, máximo: 7
  • Emínimo: 112, máximo: 5

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