Hoja de actividades: Desarrollo en serie de MacLaurin

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo representar las funciones exponenciales y trigonométricas como una serie de potencias alrededor de cero, y cómo hallar el intervalo de convergencia de la serie.

P1:

Considera la funciΓ³n 𝑓(π‘₯)=𝑒.

Halla 𝑓(π‘₯).

  • A𝑒π‘₯ln
  • Bπ‘’ο—οŠ±οŠ§
  • C𝑒
  • Dlnπ‘₯
  • E𝑒π‘₯ο—οŠ±οŠ§ln

Halla 𝑓(π‘₯)(), donde 𝑓() representa la 𝑛 derivada de 𝑓 con respecto a π‘₯.

  • Aπ‘’ο—οŠ±οŠ
  • B𝑒
  • C𝑒π‘₯+𝑒(βˆ’1)(π‘›βˆ’2)!π‘₯ο—οŠ±οŠο—οŠ±οŠ§οŠ()ln para 𝑛>1
  • D𝑒π‘₯+𝑒(βˆ’1)(π‘›βˆ’2)!π‘₯ο—ο—οŠ()ln para 𝑛>1
  • E(βˆ’1)(π‘›βˆ’2)!π‘₯() para 𝑛>1

Por tanto, deriva la serie de Maclaurin para 𝑒.

  • A𝑒=ο„šπ‘₯𝑛!ο—βˆžοŠοŠ²οŠ§οŠ
  • B𝑒=ο„šπ‘₯𝑛!ο—βˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠ
  • C𝑒=ο„šπ‘’π‘›!ο—βˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠ
  • D𝑒=ο„šπ‘“(π‘Ž)(π‘₯βˆ’π‘Ž)𝑛!ο—βˆžοŠοŠ²οŠ§()
  • E𝑒=ο„šπ‘“(π‘Ž)(π‘₯βˆ’π‘Ž)𝑛!ο—βˆžοŠοŠ²οŠ¦()

ΒΏCuΓ‘l es el radio de convergencia 𝑅 de la serie de Maclaurin para 𝑒?

  • ANo converge.
  • B𝑅=𝑒
  • C𝑅=1
  • D𝑅=+∞
  • E𝑅=100

P2:

Considera la funciΓ³n 𝑓(π‘₯)=π‘₯sen.

ΒΏCuΓ‘les son las cuatro primeras derivadas de 𝑓 con respecto a π‘₯?

  • A𝑓′(π‘₯)=π‘₯cos, 𝑓′′(π‘₯)=π‘₯sen, 𝑓′′′(π‘₯)=βˆ’π‘₯cos y 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)sen
  • B𝑓′(π‘₯)=βˆ’π‘₯cos, 𝑓′′(π‘₯)=π‘₯sen, 𝑓′′′(π‘₯)=βˆ’π‘₯cos y 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)sen
  • C𝑓′(π‘₯)=π‘₯cos, 𝑓′′(π‘₯)=βˆ’π‘₯sen, 𝑓′′′(π‘₯)=βˆ’π‘₯cos y 𝑓(π‘₯)=βˆ’π‘₯(οŠͺ)sen
  • D𝑓′(π‘₯)=βˆ’π‘₯cos, 𝑓′′(π‘₯)=βˆ’π‘₯sen, 𝑓′′′(π‘₯)=π‘₯cos y 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)sen
  • E𝑓′(π‘₯)=π‘₯cos, 𝑓′′(π‘₯)=βˆ’π‘₯sen, 𝑓′′′(π‘₯)=βˆ’π‘₯cos y 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)sen

Escribe la forma general para la 𝑛 derivada de 𝑓 con respecto a π‘₯.

  • A𝑓(π‘₯)=βˆ’ο€»π‘₯+π‘›πœ‹2()sen
  • B𝑓(π‘₯)=ο€»π‘₯+π‘›πœ‹2()sen
  • C𝑓(π‘₯)=(π‘₯+π‘›πœ‹)()sen
  • D𝑓(π‘₯)=βˆ’ο€»π‘₯+π‘›πœ‹2()cos
  • E𝑓(π‘₯)=ο€»π‘₯+π‘›πœ‹2()cos

Por tanto, deriva la serie de Maclaurin para senπ‘₯.

  • AβˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠοŠ¨οŠο„š(βˆ’1)π‘₯(2𝑛)!
  • BβˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠ¨οŠοŠ°οŠ§οŠ¨οŠοŠ°οŠ§ο„š(βˆ’1)π‘₯(2𝑛+1)!
  • CβˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠοŠ¨οŠοŠ°οŠ§ο„š(βˆ’1)π‘₯(2𝑛+1)!
  • DβˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠ¨οŠοŠο„š(βˆ’1)π‘₯𝑛!
  • EβˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠοŠο„š(βˆ’1)π‘₯𝑛!

ΒΏCuΓ‘l es el radio 𝑅 de convergencia de la serie de Maclaurin para senπ‘₯?

  • A𝑅=πœ‹2
  • B𝑅=πœ‹
  • C𝑅=+∞
  • D𝑅=2πœ‹
  • E𝑅=1

P3:

Considera la funciΓ³n 𝑓(π‘₯)=π‘₯cos.

ΒΏCuΓ‘les son las cuatro primeras derivadas de 𝑓 con respecto a π‘₯?

  • A𝑓′(π‘₯)=βˆ’π‘₯sen, 𝑓′′(π‘₯)=π‘₯cos, 𝑓′′′(π‘₯)=βˆ’π‘₯sen y 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)cos
  • B𝑓′(π‘₯)=βˆ’π‘₯sen, 𝑓′′(π‘₯)=βˆ’π‘₯cos, 𝑓′′′(π‘₯)=π‘₯sen y 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)cos
  • C𝑓′(π‘₯)=π‘₯cos, 𝑓′′(π‘₯)=βˆ’π‘₯sen, 𝑓′′′(π‘₯)=βˆ’π‘₯cos y 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)sen
  • D𝑓′(π‘₯)=π‘₯sen, 𝑓′′(π‘₯)=π‘₯cos, 𝑓′′′(π‘₯)=βˆ’π‘₯sen y 𝑓(π‘₯)=βˆ’π‘₯(οŠͺ)cos
  • E𝑓′(π‘₯)=π‘₯sen, 𝑓′′(π‘₯)=π‘₯cos, 𝑓′′′(π‘₯)=π‘₯sen y 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)cos

Escribe la forma general para la derivada 𝑛-Γ©sima de 𝑓 con respecto a π‘₯.

  • A𝑓(π‘₯)=βˆ’ο€»π‘₯+π‘›πœ‹2()sen
  • B𝑓(π‘₯)=(π‘₯+π‘›πœ‹)()cos
  • C𝑓(π‘₯)=βˆ’ο€»π‘₯+π‘›πœ‹2()cos
  • D𝑓(π‘₯)=ο€»π‘₯+π‘›πœ‹2()cos
  • E𝑓(π‘₯)=ο€»π‘₯+π‘›πœ‹2()sen

Por tanto, deriva la serie de Maclaurin para cosπ‘₯.

  • AβˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠ¨οŠοŠ¨οŠο„š(βˆ’1)π‘₯(2𝑛)!
  • BβˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠοŠ¨οŠο„š(βˆ’1)π‘₯(2𝑛)!
  • CβˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠ¨οŠοŠο„š(βˆ’1)π‘₯𝑛!
  • DβˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠοŠο„š(βˆ’1)π‘₯𝑛!
  • EβˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠοŠ¨οŠοŠ°οŠ§ο„š(βˆ’1)π‘₯(2𝑛+1)!

ΒΏCuΓ‘l es el radio 𝑅 de convergencia de la serie de Maclaurin para cosπ‘₯?

  • A𝑅=πœ‹2
  • B𝑅=2πœ‹
  • C𝑅=1
  • D𝑅=πœ‹
  • E𝑅=+∞

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