Hoja de actividades de la lección: Series de MacLaurin Matemáticas • Educación superior

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo encontrar la serie de Maclaurin de una función y el radio de convergencia de la serie.

P1:

Considera la función 𝑓(𝑥)=𝑒.

Halla 𝑓(𝑥).

  • A𝑒𝑥ln
  • B𝑒
  • C𝑒
  • Dln𝑥
  • E𝑒𝑥ln

Halla 𝑓(𝑥)(), donde 𝑓() representa la 𝑛 derivada de 𝑓 con respecto a 𝑥.

  • A𝑒
  • B𝑒
  • C𝑒𝑥+𝑒(1)(𝑛2)!𝑥()ln para 𝑛>1
  • D𝑒𝑥+𝑒(1)(𝑛2)!𝑥()ln para 𝑛>1
  • E(1)(𝑛2)!𝑥() para 𝑛>1

Por tanto, deriva la serie de Maclaurin para 𝑒.

  • A𝑒=𝑥𝑛!
  • B𝑒=𝑥𝑛!
  • C𝑒=𝑒𝑛!
  • D𝑒=𝑓(𝑎)(𝑥𝑎)𝑛!()
  • E𝑒=𝑓(𝑎)(𝑥𝑎)𝑛!()

¿Cuál es el radio de convergencia 𝑅 de la serie de Maclaurin para 𝑒?

  • ANo converge.
  • B𝑅=𝑒
  • C𝑅=1
  • D𝑅=+
  • E𝑅=100

P2:

Considera la función 𝑓(𝑥)=𝑥sen.

¿Cuáles son las cuatro primeras derivadas de 𝑓 con respecto a 𝑥?

  • A𝑓(𝑥)=𝑥cos, 𝑓(𝑥)=𝑥sen, 𝑓(𝑥)=𝑥cos y 𝑓(𝑥)=𝑥()sen
  • B𝑓(𝑥)=𝑥cos, 𝑓(𝑥)=𝑥sen, 𝑓(𝑥)=𝑥cos y 𝑓(𝑥)=𝑥()sen
  • C𝑓(𝑥)=𝑥cos, 𝑓(𝑥)=𝑥sen, 𝑓(𝑥)=𝑥cos y 𝑓(𝑥)=𝑥()sen
  • D𝑓(𝑥)=𝑥cos, 𝑓(𝑥)=𝑥sen, 𝑓(𝑥)=𝑥cos y 𝑓(𝑥)=𝑥()sen
  • E𝑓(𝑥)=𝑥cos, 𝑓(𝑥)=𝑥sen, 𝑓(𝑥)=𝑥cos y 𝑓(𝑥)=𝑥()sen

Escribe la forma general para la 𝑛 derivada de 𝑓 con respecto a 𝑥.

  • A𝑓(𝑥)=𝑥+𝑛𝜋2()cos
  • B𝑓(𝑥)=𝑥+𝑛𝜋2()sen
  • C𝑓(𝑥)=𝑥+𝑛𝜋2()sen
  • D𝑓(𝑥)=(𝑥+𝑛𝜋)()sen
  • E𝑓(𝑥)=𝑥+𝑛𝜋2()cos

Por tanto, deriva la serie de Maclaurin para sen𝑥.

  • A(1)𝑥(2𝑛+1)!
  • B(1)𝑥(2𝑛)!
  • C(1)𝑥𝑛!
  • D(1)𝑥(2𝑛+1)!
  • E(1)𝑥𝑛!

¿Cuál es el radio 𝑅 de convergencia de la serie de Maclaurin para sen𝑥?

  • A𝑅=+
  • B𝑅=𝜋2
  • C𝑅=2𝜋
  • D𝑅=1
  • E𝑅=𝜋

P3:

Considera la función 𝑓(𝑥)=𝑥cos.

¿Cuáles son las cuatro primeras derivadas de 𝑓 con respecto a 𝑥?

  • A𝑓(𝑥)=𝑥sen, 𝑓(𝑥)=𝑥cos, 𝑓(𝑥)=𝑥sen y 𝑓(𝑥)=𝑥()cos
  • B𝑓(𝑥)=𝑥cos, 𝑓(𝑥)=𝑥sen, 𝑓(𝑥)=𝑥cos y 𝑓(𝑥)=𝑥()sen
  • C𝑓(𝑥)=𝑥sen, 𝑓(𝑥)=𝑥cos, 𝑓(𝑥)=𝑥sen y 𝑓(𝑥)=𝑥()cos
  • D𝑓(𝑥)=𝑥sen, 𝑓(𝑥)=𝑥cos, 𝑓(𝑥)=𝑥sen y 𝑓(𝑥)=𝑥()cos
  • E𝑓(𝑥)=𝑥sen, 𝑓(𝑥)=𝑥cos, 𝑓(𝑥)=𝑥sen y 𝑓(𝑥)=𝑥()cos

Escribe la forma general para la derivada 𝑛-ésima de 𝑓 con respecto a 𝑥.

  • A𝑓(𝑥)=𝑥+𝑛𝜋2()sen
  • B𝑓(𝑥)=𝑥+𝑛𝜋2()cos
  • C𝑓(𝑥)=𝑥+𝑛𝜋2()cos
  • D𝑓(𝑥)=(𝑥+𝑛𝜋)()cos
  • E𝑓(𝑥)=𝑥+𝑛𝜋2()sen

Por tanto, deriva la serie de Maclaurin para cos𝑥.

  • A(1)𝑥(2𝑛)!
  • B(1)𝑥𝑛!
  • C(1)𝑥(2𝑛+1)!
  • D(1)𝑥𝑛!
  • E(1)𝑥(2𝑛)!

¿Cuál es el radio 𝑅 de convergencia de la serie de Maclaurin para cos𝑥?

  • A𝑅=+
  • B𝑅=𝜋2
  • C𝑅=2𝜋
  • D𝑅=1
  • E𝑅=𝜋

P4:

Sabiendo que la serie de Maclaurin de la función 𝑓 es 𝑓(𝑥)=312𝑥+56𝑥1126𝑥+2180𝑥+, halla 𝑓(0).

  • A56
  • B3313
  • C1126
  • D6340
  • E5

P5:

Sabiendo que la serie de Maclaurin de la función 𝑓 es 𝑓(𝑥)=216𝑥+524𝑥760𝑥+380𝑥+, obtén la ecuación de la tangente a la curva de 𝑓 en 𝑥=0.

  • A𝑦=16𝑥+2
  • B𝑦=2𝑥16
  • C𝑦=16𝑥+524
  • D𝑦=16𝑥+2
  • E𝑦=2𝑥+524

P6:

Halla la serie de Maclaurin de 𝑥𝑒.

  • A(1)1𝑛!𝑥
  • B(1)2𝑛!𝑥
  • C2𝑛𝑥
  • D2𝑛!𝑥
  • E2𝑛!𝑥

P7:

Halla la serie de Maclaurin de arctg5𝑥.

  • A(1)(5𝑥)(2𝑛+1)
  • B(5𝑥)(2𝑛+1)
  • C(1)(5𝑥)(2𝑛)
  • D(1)(5𝑥)(2𝑛+1)!
  • E(5𝑥)(2𝑛)!

P8:

Halla la serie de Maclaurin de 31+𝑥. Escribe la respuesta en notación de sumatoria.

  • A(𝑥)
  • B3(1)(𝑥)
  • C(1)(3𝑥)
  • D(1)(𝑥)
  • E3(𝑥)

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