Hoja de actividades: Desarrollo en serie de MacLaurin

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo representar las funciones exponenciales y trigonométricas como una serie de potencias alrededor de cero, y cómo hallar el intervalo de convergencia de la serie.

P1:

Considera la funciΓ³n 𝑓(π‘₯)=𝑒.

Halla 𝑓(π‘₯).

  • A 𝑒 π‘₯    l n
  • B 𝑒   
  • C 𝑒 π‘₯  l n
  • D 𝑒 
  • E l n π‘₯

Halla 𝑓(π‘₯)(), donde 𝑓() representa la 𝑛 derivada de 𝑓 con respecto a π‘₯.

  • A 𝑒   
  • B 𝑒 π‘₯ + 𝑒 ( βˆ’ 1 ) ( 𝑛 βˆ’ 2 ) ! π‘₯        (    ) l n para 𝑛>1
  • C 𝑒 
  • D 𝑒 π‘₯ + 𝑒 ( βˆ’ 1 ) ( 𝑛 βˆ’ 2 ) ! π‘₯    (    ) l n para 𝑛>1
  • E ( βˆ’ 1 ) ( 𝑛 βˆ’ 2 ) ! π‘₯  (    ) para 𝑛>1

Por tanto, deriva la serie de Maclaurin para 𝑒.

  • A 𝑒 = ο„š π‘₯ 𝑛 !  ∞    
  • B 𝑒 = ο„š π‘₯ 𝑛 !  ∞    
  • C 𝑒 = ο„š 𝑓 ( π‘Ž ) ( π‘₯ βˆ’ π‘Ž ) 𝑛 !  ∞    (  ) 
  • D 𝑒 = ο„š 𝑓 ( π‘Ž ) ( π‘₯ βˆ’ π‘Ž ) 𝑛 !  ∞    (  ) 
  • E 𝑒 = ο„š 𝑒 𝑛 !  ∞    

ΒΏCuΓ‘l es el radio de convergencia 𝑅 de la serie de Maclaurin para 𝑒?

  • A 𝑅 = 1
  • B 𝑅 = 1 0 0
  • C 𝑅 = 𝑒
  • DNo converge.
  • E 𝑅 = + ∞

P2:

Considera la funciΓ³n 𝑓(π‘₯)=π‘₯sen.

ΒΏCuΓ‘les son las cuatro primeras derivadas de 𝑓 con respecto a π‘₯?

  • A 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ s e n , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ c o s y 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)sen
  • B 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ s e n , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ c o s y 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)sen
  • C 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ s e n , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ c o s y 𝑓(π‘₯)=βˆ’π‘₯(οŠͺ)sen
  • D 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ s e n , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ c o s y 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)sen
  • E 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ s e n , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ c o s y 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)sen

Escribe la forma general para la 𝑛 derivada de 𝑓 con respecto a π‘₯.

  • A 𝑓 ( π‘₯ ) = βˆ’ ο€» π‘₯ + 𝑛 πœ‹ 2  (  ) s e n
  • B 𝑓 ( π‘₯ ) = ο€» π‘₯ + 𝑛 πœ‹ 2  (  ) s e n
  • C 𝑓 ( π‘₯ ) = ( π‘₯ + 𝑛 πœ‹ ) (  ) s e n
  • D 𝑓 ( π‘₯ ) = βˆ’ ο€» π‘₯ + 𝑛 πœ‹ 2  (  ) c o s
  • E 𝑓 ( π‘₯ ) = ο€» π‘₯ + 𝑛 πœ‹ 2  (  ) c o s

Por tanto, deriva la serie de Maclaurin para senπ‘₯.

  • A ∞       ο„š ( βˆ’ 1 ) π‘₯ ( 2 𝑛 ) !
  • B ∞            ο„š ( βˆ’ 1 ) π‘₯ ( 2 𝑛 + 1 ) !
  • C ∞         ο„š ( βˆ’ 1 ) π‘₯ ( 2 𝑛 + 1 ) !
  • D ∞       ο„š ( βˆ’ 1 ) π‘₯ 𝑛 !
  • E ∞      ο„š ( βˆ’ 1 ) π‘₯ 𝑛 !

ΒΏCuΓ‘l es el radio 𝑅 de convergencia de la serie de Maclaurin para senπ‘₯?

  • A 𝑅 = πœ‹ 2
  • B 𝑅 = πœ‹
  • C 𝑅 = + ∞
  • D 𝑅 = 2 πœ‹
  • E 𝑅 = 1

P3:

Considera la funciΓ³n 𝑓(π‘₯)=π‘₯cos.

ΒΏCuΓ‘les son las cuatro primeras derivadas de 𝑓 con respecto a π‘₯?

  • A 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ s e n , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ s e n y 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)cos
  • B 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ s e n , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ s e n y 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)cos
  • C 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ s e n , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ c o s y 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)sen
  • D 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ s e n , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ s e n y 𝑓(π‘₯)=βˆ’π‘₯(οŠͺ)cos
  • E 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ s e n , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ s e n y 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)cos

Escribe la forma general para la derivada 𝑛-Γ©sima de 𝑓 con respecto a π‘₯.

  • A 𝑓 ( π‘₯ ) = βˆ’ ο€» π‘₯ + 𝑛 πœ‹ 2  (  ) s e n
  • B 𝑓 ( π‘₯ ) = ( π‘₯ + 𝑛 πœ‹ ) (  ) c o s
  • C 𝑓 ( π‘₯ ) = βˆ’ ο€» π‘₯ + 𝑛 πœ‹ 2  (  ) c o s
  • D 𝑓 ( π‘₯ ) = ο€» π‘₯ + 𝑛 πœ‹ 2  (  ) c o s
  • E 𝑓 ( π‘₯ ) = ο€» π‘₯ + 𝑛 πœ‹ 2  (  ) s e n

Por tanto, deriva la serie de Maclaurin para cosπ‘₯.

  • A ∞        ο„š ( βˆ’ 1 ) π‘₯ ( 2 𝑛 ) !
  • B ∞       ο„š ( βˆ’ 1 ) π‘₯ ( 2 𝑛 ) !
  • C ∞       ο„š ( βˆ’ 1 ) π‘₯ 𝑛 !
  • D ∞      ο„š ( βˆ’ 1 ) π‘₯ 𝑛 !
  • E ∞         ο„š ( βˆ’ 1 ) π‘₯ ( 2 𝑛 + 1 ) !

ΒΏCuΓ‘l es el radio 𝑅 de convergencia de la serie de Maclaurin para cosπ‘₯?

  • A 𝑅 = πœ‹ 2
  • B 𝑅 = 2 πœ‹
  • C 𝑅 = 1
  • D 𝑅 = πœ‹
  • E 𝑅 = + ∞

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