Hoja de actividades: La regla de Ruffini y el teorema del factor

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo usar la regla de Ruffini y el teorema del factor para determinar si un binomio es un factor de un polinomio dado y para hallar los factores que faltan.

P1:

Antonio usΓ³ la regla de Ruffini para demostrar que 4 es una raΓ­z del polinomio 𝑓(π‘₯)=2π‘₯βˆ’9π‘₯+π‘₯+12.

A partir de su resultado, factoriza 𝑓(π‘₯) en tres factores lineales.

  • A𝑓(π‘₯)=(π‘₯βˆ’4)(π‘₯+1)(2π‘₯βˆ’3)
  • B𝑓(π‘₯)=(π‘₯βˆ’4)(π‘₯βˆ’1)(2π‘₯+3)
  • C𝑓(π‘₯)=(π‘₯βˆ’4)(2π‘₯+1)(π‘₯βˆ’3)
  • D𝑓(π‘₯)=(π‘₯+4)(2π‘₯βˆ’1)(π‘₯+3)
  • E𝑓(π‘₯)=(π‘₯+4)(π‘₯+1)(2π‘₯βˆ’3)

P2:

Considera el polinomio 𝑃(π‘₯)=2π‘₯+10π‘₯+5π‘₯βˆ’20π‘₯+3οŠͺ.

Usando la regla de Ruffini, halla el valor de 𝑃(βˆ’3).

Determina cuΓ‘l de (π‘₯βˆ’3) y (π‘₯+3), si alguno, es un factor de 𝑃(π‘₯).

  • ASolo (π‘₯+3) es un factor.
  • BTanto (π‘₯βˆ’3) como (π‘₯+3) son factores.
  • CSolo (π‘₯βˆ’3) es un factor.
  • DNi (π‘₯βˆ’3) ni (π‘₯+3) son factores.

P3:

Considera el polinomio 𝑃(π‘₯)=2π‘₯βˆ’π‘₯βˆ’12π‘₯βˆ’7π‘₯βˆ’6οŠͺ.

Sabiendo que dos de los tres nΓΊmeros 1,βˆ’2 y 3 son raΓ­ces de 𝑃(π‘₯), usa el mΓ©todo de Ruffini para factorizar completamente 𝑃(π‘₯).

  • A𝑃(π‘₯)=(π‘₯βˆ’1)(π‘₯+2)(2π‘₯βˆ’5)(π‘₯+1)
  • B𝑃(π‘₯)=(π‘₯βˆ’3)(π‘₯+2)ο€Ή2π‘₯+π‘₯+1ο…οŠ¨
  • C𝑃(π‘₯)=(π‘₯βˆ’3)(π‘₯+2)ο€Ήπ‘₯+π‘₯+1ο…οŠ¨
  • D𝑃(π‘₯)=(π‘₯βˆ’3)(π‘₯+2)(π‘₯+1)
  • E𝑃(π‘₯)=(π‘₯βˆ’3)(π‘₯βˆ’1)ο€Ή2π‘₯+7π‘₯+10ο…οŠ¨

P4:

Uno de los ceros de la funciΓ³n 𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’4π‘₯βˆ’17π‘₯+60 pertenece al conjunto {2,3,4}. Usando la regla de Ruffini, halla todos los ceros de 𝑓.

  • Aβˆ’4, 3, βˆ’5
  • Bβˆ’4, 2, 6
  • C4, 2, βˆ’6
  • Dβˆ’4, 3, 5
  • E4, 3, βˆ’5

P5:

La funciΓ³n 𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’5π‘₯+7π‘₯+3π‘₯βˆ’10οŠͺ tiene 2 ceros reales y 2 ceros imaginarios.

Usando la regla de Ruffini, determina cuΓ‘l de los valores 1, 2, 3 y 4 es una raΓ­z de 𝑓(π‘₯) y escribe 𝑓(π‘₯) en la forma (π‘₯βˆ’π‘Ž)𝑄(π‘₯).

  • A𝑓(π‘₯)=(π‘₯βˆ’4)ο€Ήπ‘₯βˆ’π‘₯+3π‘₯+15ο…οŠ©οŠ¨
  • B𝑓(π‘₯)=(π‘₯βˆ’1)ο€Ήπ‘₯βˆ’4π‘₯+3π‘₯+6ο…οŠ©οŠ¨
  • C𝑓(π‘₯)=(π‘₯+2)ο€Ήπ‘₯βˆ’7π‘₯+21π‘₯βˆ’39ο…οŠ©οŠ¨
  • D𝑓(π‘₯)=(π‘₯+4)ο€Ήπ‘₯βˆ’9π‘₯+43π‘₯βˆ’175ο…οŠ©οŠ¨
  • E𝑓(π‘₯)=(π‘₯βˆ’2)ο€Ήπ‘₯βˆ’3π‘₯+π‘₯+5ο…οŠ©οŠ¨

Usando la regla de Ruffini, determina cuΓ‘l de los valores βˆ’1, βˆ’2, βˆ’3 y βˆ’4 es una raΓ­z de 𝑄(π‘₯) y escribe 𝑄(π‘₯) en la forma (π‘₯βˆ’π‘)𝑃(π‘₯).

  • A𝑄(π‘₯)=(π‘₯βˆ’1)ο€Ήπ‘₯βˆ’2π‘₯βˆ’1ο…οŠ¨
  • B𝑄(π‘₯)=(π‘₯+2)ο€Ήπ‘₯βˆ’5π‘₯+11ο…οŠ¨
  • C𝑄(π‘₯)=(π‘₯+1)ο€Ήπ‘₯βˆ’8π‘₯+29ο…οŠ¨
  • D𝑄(π‘₯)=(π‘₯βˆ’2)ο€Ήπ‘₯βˆ’π‘₯βˆ’1ο…οŠ¨
  • E𝑄(π‘₯)=(π‘₯+1)ο€Ήπ‘₯βˆ’4π‘₯+5ο…οŠ¨

Halla todos los ceros de 𝑓.

  • Aβˆ’2, 1, 2+𝑖, 2βˆ’π‘–
  • B4, 1, 52+√192𝑖, 52βˆ’βˆš192𝑖
  • C2, βˆ’1, 2+𝑖, 2βˆ’π‘–
  • D4, βˆ’1, 2+𝑖, 2βˆ’π‘–
  • E2, βˆ’1, 52+√192𝑖, 52βˆ’βˆš192𝑖

P6:

Un polinomio 𝑓(π‘₯) se divide entre (π‘₯βˆ’π‘Ž). Dado que (π‘₯βˆ’π‘Ž) no es un factor de 𝑓(π‘₯), ΒΏcuΓ‘nto vale el resto?

  • A𝑓(π‘₯)
  • B𝑓(π‘Ž)
  • C0
  • D𝑓(π‘Ÿ)

P7:

Considera el polinomio 𝑃(π‘₯)=π‘₯βˆ’9π‘₯+3π‘₯βˆ’7π‘₯+12οŠͺ.

Usa la regla de Ruffini para hallar el cociente 𝑄(π‘₯) y el resto 𝑅 que satisfacen 𝑃(π‘₯)=𝑄(π‘₯)(π‘₯+2)+𝑅.

  • A𝑄(π‘₯)=π‘₯βˆ’7π‘₯βˆ’11π‘₯βˆ’29, 𝑅=βˆ’46
  • B𝑄(π‘₯)=π‘₯βˆ’11π‘₯+25π‘₯βˆ’57, 𝑅=102
  • C𝑄(π‘₯)=π‘₯+7π‘₯βˆ’11π‘₯+15, 𝑅=βˆ’42
  • D𝑄(π‘₯)=π‘₯βˆ’7π‘₯βˆ’11π‘₯βˆ’29, 𝑅=βˆ’70
  • E𝑄(π‘₯)=π‘₯βˆ’11π‘₯+25π‘₯βˆ’57, 𝑅=126

Halla 𝑃(βˆ’2).

P8:

Usa el teorema del resto para hallar el valor de 𝑃(20) sabiendo que 𝑃(π‘₯)=0.06π‘₯βˆ’0.14π‘₯βˆ’3.1π‘₯+5.4οŠͺ.

P9:

Considera la funciΓ³n 𝑓(π‘₯)=π‘₯+5π‘₯βˆ’8π‘₯+9οŠͺ.

ΒΏQuΓ© nos dice de 𝑓(3) el teorema del residuo?

  • A𝑓(3) es el residuo cuando dividimos 𝑓(π‘₯) entre π‘₯.
  • B𝑓(3) es el residuo cuando dividimos 𝑓(π‘₯) entre π‘₯βˆ’3.
  • C𝑓(3) es el residuo cuando dividimos 𝑓(π‘₯) entre 3π‘₯βˆ’3.
  • D𝑓(3) es el residuo cuando dividimos 𝑓(π‘₯) entre π‘₯+3.

Usa la divisiΓ³n sintΓ©tica para hallar 𝑓(3).

P10:

Halla el valor de π‘Ž dado que 2π‘₯+π‘Žπ‘₯βˆ’21π‘₯βˆ’36 es divisible entre (π‘₯+4).

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