Hoja de actividades de la lección: Sucesiones convergentes y divergentes Matemáticas

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo determinar si una secuencia es convergente o divergente.

P1:

Usando la gráfica de 𝑦=1𝑥 en la figura, definimos 𝑎 como el área que está coloreada. De esta forma obtenemos un término de la secuencia 𝑎.

Usa una integral para dar una expresión exacta para 𝑎.

  • A(1+2++𝑛)+(𝑛+1)ln
  • B(1+2++𝑛)(𝑛+1)ln
  • C1+12++1𝑛(𝑛+1)ln
  • D1+12++1𝑛(𝑛1)ln
  • E1+12++1𝑛+(𝑛+1)ln

La secuencia 𝑎 es claramente creciente. ¿Qué nos dice el rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 sobre el tamaño de 𝑎?

  • A𝑎<45
  • B𝑎>45
  • C𝑎=45
  • D𝑎1

¿Cuál es, entonces, la cota superior para todo 𝑎?

¿Qué podemos concluir sobre la secuencia 𝑎?

  • ANo podemos concluir nada.
  • BEs divergente.
  • CSus términos son finalmente mayores que 1.
  • DEs convergente.
  • EConverge a 1.

P2:

Considera la función 𝑁(𝑥)=𝑥+32𝑥.

Sea 𝑁(𝑥)=𝑁(𝑥) redondeado a 6 cifras decimales. Sea también 𝑥=1, 𝑥=𝑁(𝑥)=2.000000, 𝑥=𝑁(𝑥)=1.750000, etcétera. La sucesión {𝑥} es eventualmente constante. ¿En qué valor ocurre esto?

Con 𝑁(𝑥)=𝑁(𝑥) redondeado a 10 cifras decimales, ¿cuál es el límite, cuando 𝑛, de la sucesión dada por 𝑥=1 y 𝑥=𝑁(𝑥) para 𝑛1?

Si 𝑎𝑧 cuando 𝑛, entonces por continuidad de 𝑁, 𝑎=𝑁(𝑎)𝑁(𝑧). Por lo tanto, 𝑁(𝑧)=𝑧. ¿Para qué valor de 𝑧 ocurre esto?

  • A5
  • B2
  • C3

P3:

Usando el método de inducción, demuestra que la sucesión 1,2,7,37+1,337+1+1, es creciente y acotada, y halla el límite de la sucesión.

  • A3+52
  • B3+132

P4:

Considera la sucesión (𝑎) dada por 𝑎=2𝑛+35𝑛+6𝑛.

Determina los primeros 5 términos de la sucesión. Si es necesario, redondea las respuestas a 3 cifras decimales.

  • A0, 0.455, 0.183, 0.124, 0.095
  • B0.205, 0.17, 0.159, 0.153, 0.15
  • C0.455, 0.318, 0.273, 0.25, 0.236
  • D0.455, 0.183, 0.124, 0.095, 0.077
  • E0, 0.205, 0.17, 0.159, 0.153

Halla, si existe, el límite de la sucesión.

P5:

La sucesión 𝑎=(2𝑛+1)(2𝑛1)loglog es convergente. ¿Cuál es su límite?

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