Hoja de actividades: Usar derivadas en problemas de optimización

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo utilizar derivadas para identificar la ubicación de los valores máximo y mínimo en problemas de optimización.

P1:

Calcula los dos números cuya suma es 96 y cuyo producto es lo más grande posible.

  • A48, 144
  • B192, 288
  • C192, 96
  • D48, 48

P2:

Halla dos números cuya suma sea 156 y que la suma de cuyos cuadrados tenga el menor valor posible.

  • A452, 608
  • B78, 78
  • C344, 500
  • D148, 8

P3:

¿Cuál es el volumen máximo de un cilindro recto con un área de 24𝜋 cm2? Expresa la respuesta en términos de 𝜋.

  • A8𝜋 cm3
  • B16 cm3
  • C4𝜋 cm3
  • D16𝜋 cm3

P4:

La suma de las aristas de un prisma de base cuadrada es 12 cm. Determina las dimensiones del prisma que maximizan su volumen

  • A2 cm, 2 cm, 2 cm.
  • B1 cm, 1 cm, 1 cm.
  • C4 cm, 2 cm, 6 cm.
  • D1 cm, 2 cm, 2 cm.

P5:

Un granjero quiere cercar un campo rectangular en su tierra, usando una pared ya existente para cerrar un lado. Halla el área máxima que el granjero puede cercar, aproximando la respuesta al milésimo, si tiene 177 metros de cerca para rodear los otros tres lados.

P6:

Sabiendo que el volumen de un globo aeroestático aumenta según la fórmula 𝑓(𝑡)=7000𝑡𝑡+49+4000, en la que el tiempo se mide en horas, halla su máximo volumen.

P7:

Una ventana tiene un perímetro de 30 m. La ventana está formada por un semicírculo sobre un rectángulo, siendo el diámetro del semicírculo igual a la anchura del rectángulo. Determina el radio del semicírculo que maximiza el área de la ventana.

  • A304+𝜋 m
  • B4+𝜋30 m
  • C2+𝜋𝜋 m
  • D302+𝜋 m
  • E14+𝜋 m

P8:

Halla los puntos en la curva 𝑦=2𝑥+21 que están más cerca del punto (6,0).

  • A5,31, 5,31
  • B4,13, 4,13
  • C7,7, 7,7
  • D7,35, 7,35

P9:

Una pieza rectangular de cartón tiene dimensiones de 10 cm por 16 cm. Si el mismo cuadrado de lado 𝑥 cm es recortado de cada una de sus cuatro esquinas, y luego los extremos son doblados hacia arriba para formar una caja abierta, calcula las dimensiones de la caja formada cuando su volumen es el máximo posible.

  • A2 cm, 6 cm, 12 cm
  • B6 cm, 4 cm, 10 cm
  • C6 cm, 2 cm, 4 cm
  • D2 cm, 8 cm, 14 cm

P10:

Un sector circular tiene un área de 16 cm2. Calcula la longitud del radio 𝑟 que minimiza su perímetro, y seguidamente halla, en radianes, la amplitud del ángulo correspondiente 𝜃.

  • A𝑟=4cm, 𝜃=116rad
  • B𝑟=4cm, 𝜃=2rad
  • C𝑟=4cm, 𝜃=12rad
  • D𝑟=16cm, 𝜃=18rad
  • E𝑟=8cm, 𝜃=12rad

P11:

Un silo cilíndrico vertical de 384𝜋 m3 de capacidad techado con una cúpula semiesférica va a ser construido. Si pintar un metro cuadrado de la cúpula cuesta tres veces tanto como pintar un metro cuadrado de la pared vertical, ¿qué dimensiones minimizarán el costo de la pintura?

  • Ar = 6 m, h = 36 m
  • Br = 8 m, h = 24 m
  • Cr = 5 m, h = 8 m
  • Dr = 4 m, h = 24 m
  • Er = 3 m, h = 30 m

P12:

¿Cuál es el área máxima de un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 47 cm? Expresa la respuesta redondeada a la centésima más cercana.

P13:

Sabiendo que la suma de las áreas de una esfera y de un cilindro recto es 1000𝜋 cm2 , y que la esfera y el cilindro tienen el mismo radio, determina el radio que hace máxima la suma de sus volúmenes.

P14:

Una escalera está apoyada contra un edificio de modo que justo toca lo alto de una valla. Si la valla mide 6 m de altura y se encuentra a 6.25 m del edificio, ¿cuál es la longitud mínima de la escalera? Expresa la respuesta redondeada a la milésima más cercana.

P15:

Una caja tiene base cuadrada. Si la suma de la medida de todas sus aristas es igual a 792 cm, calcula las medidas de la caja que harán que su volumen sea máximo.

  • A99 cm, 99 cm, 66 cm
  • B198 cm, 198 cm, 99 cm
  • C33 cm, 33 cm, 132 cm
  • D66 cm, 66 cm, 66 cm

P16:

Un patio tiene forma de rectángulo con dos semicírculos en sus extremos. Sabiendo que el perímetro del patio mide 594 m, calcula su área máxima.

  • A88209𝜋 m2
  • B176‎ ‎418 m2
  • C176418𝜋 m2
  • D88‎ ‎209 m2

P17:

Un rectángulo se hace con un cable de 41 cm de longitud. ¿Qué dimensiones maximizan su área?

  • A412 cm, 412 cm
  • B415 cm, 12310 cm
  • C414 cm, 414 cm
  • D413 cm, 823 cm
  • E413 cm, 416 cm

P18:

Un tronco cilíndrico de 67 cm de diámetro se recorta hasta obtener un bloque de madera en forma de prisma rectangular. La resistencia de este bloque es proporcional a la anchura y al cuadrado de la longitud de su base. ¿Qué dimensiones dan la máxima resistencia?

  • A6733 cm, 6763 cm
  • B676 cm, 676 cm
  • C673 cm, 676 cm
  • D6736 cm, 6766 cm

P19:

Un paralelepípedo rectangular tiene una altura de dos veces la anchura de la base. Si su volumen es 7‎ ‎375, ¿qué dimensiones minimizarán su superficie?

  • A17.69, 35.38, 11.78
  • B14.04, 28.08, 18.71
  • C22.28, 44.56, 7.43

P20:

Una caja sin tapa se construyó recortando un cuadrado de las mismas dimensiones en cada una de las esquinas de una cartulina cuadrada de 12 cm de lado, y alzando luego los lados. Halla la longitud de lado de los cuadrados removidos que maximiza el volumen de la caja.

P21:

Sabiendo que la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 33.5 cm, calcula, a la milésima más cercana, las longitudes de sus catetos para que el área del triángulo sea máxima.

  • A23.688 cm, 41.029 cm
  • B16.750 cm, 16.750 cm
  • C23.688 cm, 7.089 cm
  • D23.688 cm, 23.688 cm

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