Hoja de actividades: Usar derivadas en problemas de optimización

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo utilizar derivadas para identificar la ubicación de los valores máximo y mínimo en problemas de optimización.

P1:

Calcula los dos números cuya suma es 96 y cuyo producto es lo más grande posible.

  • A 1 9 2 , 288
  • B 4 8 , 144
  • C192, 9 6
  • D48, 48

P2:

Halla dos números cuya suma sea 156 y que la suma de cuyos cuadrados tenga el menor valor posible.

  • A 4 5 2 , 608
  • B 3 4 4 , 500
  • C148, 8
  • D78, 78

P3:

¿Cuál es el volumen máximo de un cilindro recto con un área de 2 4 𝜋 cm2? Expresa la respuesta en términos de 𝜋 .

  • A 4 𝜋 cm3
  • B 8 𝜋 cm3
  • C 16 cm3
  • D 1 6 𝜋 cm3

P4:

La suma de las aristas de un prisma de base cuadrada es 12 cm. Determina las dimensiones del prisma que maximizan su volumen

  • A 1 cm, 2 cm, 2 cm.
  • B 2 cm, 2 cm, 2 cm.
  • C 4 cm, 2 cm, 6 cm.
  • D 1 cm, 1 cm, 1 cm.

P5:

Un granjero quiere cercar un campo rectangular en su tierra, usando una pared ya existente para cerrar un lado. Halla el área máxima que el granjero puede cercar, aproximando la respuesta al milésimo, si tiene 177 metros de cerca para rodear los otros tres lados.

P6:

Sabiendo que el volumen de un globo aeroestático aumenta según la fórmula 𝑓 ( 𝑡 ) = 7 0 0 0 𝑡 𝑡 + 4 9 + 4 0 0 0 , en la que el tiempo se mide en horas, halla su máximo volumen.

P7:

Una ventana tiene un perímetro de 30 m. La ventana está formada por un semicírculo sobre un rectángulo, siendo el diámetro del semicírculo igual a la anchura del rectángulo. Determina el radio del semicírculo que maximiza el área de la ventana.

  • A 2 + 𝜋 𝜋 m
  • B 1 4 + 𝜋 m
  • C 3 0 2 + 𝜋 m
  • D 3 0 4 + 𝜋 m
  • E 4 + 𝜋 3 0 m

P8:

Halla los puntos en la curva 𝑦 = 2 𝑥 + 2 1 que están más cerca del punto ( 6 , 0 ) .

  • A 7 , 3 5 , 7 , 3 5
  • B 5 , 3 1 , 5 , 3 1
  • C 4 , 1 3 , 4 , 1 3
  • D 7 , 7 , 7 , 7

P9:

Una pieza rectangular de cartón tiene dimensiones de 10 cm por 16 cm. Si el mismo cuadrado de lado 𝑥 cm es recortado de cada una de sus cuatro esquinas, y luego los extremos son doblados hacia arriba para formar una caja abierta, calcula las dimensiones de la caja formada cuando su volumen es el máximo posible.

  • A 2 cm, 8 cm, 14 cm
  • B 6 cm, 2 cm, 4 cm
  • C 6 cm, 4 cm, 10 cm
  • D 2 cm, 6 cm, 12 cm

P10:

¿Cuál es el área máxima de un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 47 cm? Expresa la respuesta redondeada a la centésima más cercana.

P11:

Sabiendo que la suma de las áreas de una esfera y de un cilindro recto es 1 0 0 0 𝜋 cm2 , y que la esfera y el cilindro tienen el mismo radio, determina el radio que hace máxima la suma de sus volúmenes.

P12:

Un misil es lanzado. Su altura, en metros, en función del tiempo viene dada por ( 𝑡 ) = 4 , 9 𝑡 + 2 2 9 𝑡 + 2 3 4 . Encuentra la altura máxima que alcanza el misil.

P13:

Halla las dimensiones del ortoedro que posee un volumen de 1 0 0 0 metros cúbicos y tiene la mínima área superficial posible.

  • Aancho = 20 cm, alto = 10 cm, profundidad = 5 cm
  • Bancho = 5 cm, alto = 10 cm, profundidad = 20 cm
  • Cancho = 5 cm, alto = 8 cm, profundidad = 25 cm
  • Dancho = 10 cm, alto = 10 cm, profundidad = 10 cm
  • Eancho = 25 cm, alto = 5 cm, profundidad = 8 cm

P14:

Una escalera está apoyada contra un edificio de modo que justo toca lo alto de una valla. Si la valla mide 6 m de altura y se encuentra a 6,25 m del edificio, ¿cuál es la longitud mínima de la escalera? Expresa la respuesta redondeada a la milésima más cercana.

P15:

Una caja tiene base cuadrada. Si la suma de la medida de todas sus aristas es igual a 792 cm, calcula las medidas de la caja que harán que su volumen sea máximo.

  • A 33 cm, 33 cm, 132 cm
  • B 198 cm, 198 cm, 99 cm
  • C 99 cm, 99 cm, 66 cm
  • D 66 cm, 66 cm, 66 cm

P16:

Un patio tiene forma de rectángulo con dos semicírculos en sus extremos. Sabiendo que el perímetro del patio mide 594 m, calcula su área máxima.

  • A 88‎ ‎209 m2
  • B 1 7 6 4 1 8 𝜋 m2
  • C 176‎ ‎418 m2
  • D 8 8 2 0 9 𝜋 m2

P17:

Un cilindro recto sin tapa tiene un volumen de 50 metros cúbicos. Si el área del cilindro es mínima, ¿cuál es su radio?

P18:

Un rectángulo se hace con un cable de 41 cm de longitud. ¿Qué dimensiones maximizan su área?

  • A 4 1 5 cm, 1 2 3 1 0 cm
  • B 4 1 3 cm, 4 1 6 cm
  • C 4 1 3 cm, 8 2 3 cm
  • D 4 1 4 cm, 4 1 4 cm
  • E 4 1 2 cm, 4 1 2 cm

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