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Hoja de actividades: La matriz de una transformación lineal

P1:

Considera la transformación lineal que lleva ( 1 , 1 ) a ( 3 , 7 ) y ( 2 , 0 ) a ( 2 , 6 ) .

Determina la matriz 𝐴 que representa esta transformación.

  • A 𝐴 = 3 1 4 3
  • B 𝐴 = 1 2 3 4
  • C 𝐴 = 2 3 1 4
  • D 𝐴 = 1 2 3 4
  • E 𝐴 = 3 2 4 1

¿Dónde lleva esta transformación los puntos ( 1 , 0 ) y ( 0 , 1 ) ?

  • A ( 1 , 0 ) ( 1 , 3 ) , ( 0 , 1 ) ( 2 , 4 )
  • B ( 1 , 0 ) ( 2 , 3 ) , ( 0 , 1 ) ( 1 , 4 )
  • C ( 1 , 0 ) ( 3 , 1 ) , ( 0 , 1 ) ( 4 , 3 )
  • D ( 1 , 0 ) ( 1 , 3 ) , ( 0 , 1 ) ( 3 , 4 )
  • E ( 1 , 0 ) ( 3 , 2 ) , ( 0 , 1 ) ( 4 , 1 )

P2:

Supongamos que la transformación lineal 𝐿 manda ( 1 , 0 ) en ( 1 , 5 ) y ( 1 , 1 ) en ( 6 , 6 ) . ¿Cuál es el valor absoluto del determinante de la matriz que representa 𝐿 ?

P3:

Un cuadrado de area 1 sufre una transformación lineal. Dado que el área de la imagen es también 1, ¿qué puedes decir acerca de la matriz de transformación?

  • Apreserva ángulos
  • Bes una rotación o una reflexión
  • Cpreserva distancias
  • Dtiene determinante 1 o 1

P4:

Cierta matriz de 2 × 2 tiene determinante 1 . ¿Cuál es el área de la imagen de un cuadrado unitario bajo la transformación que representa dicha matriz?

P5:

Considera la transformación lineal para la cual v , la imagen de 1 0 , y w , la imagen de 0 1 , son vectores unitarios. Sea 𝐿 la transformación lineal que tiene la propiedad adicional de que el área del paralelogramo con vértices en 0 , v , w y v w + es tan grande como sea posible. ¿Cuáles son los posibles valores para el ángulo entre v y w para esta transformación 𝐿 ?

  • Asolo 2 7 0
  • Bsolo 9 0
  • C 0
  • Dsolo 9 0 y 2 7 0
  • E 1 8 0

P6:

Una transformación lleva los puntos 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 y 𝐷 en los puntos 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 y 𝐷 tal como se muestra en la figura.

Usando las áreas de la figura original y la figura imagen, y tomando en cuenta sus orientaciones, encuentra el determinante de la matriz que representa esta transformación.

  • A 6 5
  • B 8 5
  • C 6 5
  • D 8 5
  • E 9 5

P7:

Usando la siguiente figura, encuentra la matriz de transformación que lleva los puntos 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 y 𝐷 en 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 y 𝐷 respectivamente.

  • A 9 5 1 1 1 5 3 5 1 7 1 5
  • B 9 5 1 1 1 5 3 5 1 7 1 5
  • C 5 9 1 5 1 1 3 5 1 7 1 5
  • D 9 5 1 1 1 5 3 5 1 7 1 5
  • E 9 5 3 5 1 1 5 1 7 1 5

P8:

¿Cuál es la matriz 𝑀 que envía los puntos 𝐴 , 𝐵 y 𝐶 en 𝐴 , 𝐵 y 𝐶 como se muestra en la figura?

  • A 𝑀 = 1 2 3 4
  • B 𝑀 = 1 1 3 1
  • C 𝑀 = 3 1 2 4
  • D 𝑀 = 1 3 4 1
  • E 𝑀 = 2 3 4 1

P9:

Cierta transformación lineal consiste en una rotación de cada vector de 2 en un ángulo de 𝜋 4 , y luego una reflexión del vector resultante respecto al eje 𝑋 . Halla la matriz asociada a esta transformación lineal.

  • A 2 2 2 2 2 2 2 2
  • B 2 2 2 2 2 2 2 2
  • C 2 2 0 0 2 2
  • D 2 2 2 2 2 2 2 2
  • E 2 2 2 2 2 2 2 2

P10:

Una transformación lineal en el plano lleva el vector 1 0 en 𝑝 𝑞 . Si la transformación es una rotación ¿a dónde lleva al vector 0 1 ?

  • A 𝑞 𝑝
  • B 𝑞 𝑝
  • C 𝑝 𝑞
  • D 𝑞 𝑝
  • E 𝑞 𝑝

P11:

Supongamos que la matriz 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑖 representa una transformación que envía el vector 0 0 1 en sí mismo y envía cada vector en el plano 𝑥 𝑦 a otro vector (quizá distinto) del plano 𝑥 𝑦 . ¿Qué puede decirse de las entradas de 𝐴 ?

  • A 𝑏 = 0 , = 0 , 𝑑 = 0 , 𝑓 = 0 , 𝑒 = 1
  • B 𝑐 = 1 , 𝑓 = 1 , 𝑔 = 1 , = 1 , 𝑖 = 0
  • C 𝑏 = 1 , = 1 , 𝑑 = 1 , 𝑓 = 1 , 𝑒 = 0
  • D 𝑐 = 0 , 𝑓 = 0 , 𝑔 = 0 , = 0 , 𝑖 = 1
  • E 𝑐 = 1 , 𝑓 = 1 , 𝑔 = 0 , = 0 , 𝑖 = 1