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Hoja de actividades de la lección: Matriz de una transformación lineal Matemáticas

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo encontrar la matriz de una transformación lineal y la imagen de un vector por la transformación.

P1:

Considera la transformación lineal que lleva (1,1) a (3,7) y (2,0) a (2,6).

Determina la matriz 𝐴 que representa esta transformación.

  • A𝐴=1234
  • B𝐴=3143
  • C𝐴=3241
  • D𝐴=2314
  • E𝐴=1234

¿Dónde lleva esta transformación los puntos (1,0) y (0,1)?

  • A(1,0)(1,3), (0,1)(2,4)
  • B(1,0)(3,1), (0,1)(4,3)
  • C(1,0)(3,2), (0,1)(4,1)
  • D(1,0)(2,3), (0,1)(1,4)
  • E(1,0)(1,3), (0,1)(3,4)

P2:

Supongamos que la transformación lineal 𝐿 manda (1,0) en (1,5) y (1,1) en (6,6). ¿Cuál es el valor absoluto del determinante de la matriz que representa 𝐿?

P3:

Un cuadrado de area 1 sufre una transformación lineal. Dado que el área de la imagen es también 1, ¿qué puedes decir acerca de la matriz de transformación?

  • Apreserva ángulos
  • Btiene determinante 1 o 1
  • Ces una rotación o una reflexión
  • Dpreserva distancias

P4:

Cierta matriz de 2×2 tiene determinante 1. ¿Cuál es el área de la imagen de un cuadrado unitario bajo la transformación que representa dicha matriz?

P5:

Una transformación lleva los puntos 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 en los puntos 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 tal como se muestra en la figura.

Usando las áreas de la figura original y la figura imagen, y tomando en cuenta sus orientaciones, encuentra el determinante de la matriz que representa esta transformación.

  • A65
  • B85
  • C65
  • D95
  • E85

P6:

Usando la siguiente figura, halla la matriz de la transformación que lleva los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 a 𝐴, 𝐵 y 𝐶 respectivamente.

  • A951115351715
  • B951115351715
  • C591511351715
  • D951115351715
  • E95351151715

P7:

¿Cuál es la matriz 𝑀 que envía los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 en 𝐴, 𝐵 y 𝐶 como se muestra en la figura?

  • A𝑀=1234
  • B𝑀=3124
  • C𝑀=1341
  • D𝑀=2341
  • E𝑀=1131

P8:

La matriz 𝐴 representa una transformación lineal que traslada el vector 10 a 𝑝𝑞. ¿Qué podemos afirmar sobre la matriz 𝐴?

  • ASu primera columna es 𝑝𝑞.
  • BSu primera fila es (𝑝𝑞).
  • CSu segunda columna es 𝑝𝑞.
  • DSu segunda fila es (𝑝𝑞).

P9:

Supongamos que la matriz 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔𝑖 representa una transformación que envía el vector 001 en sí mismo y envía cada vector en el plano 𝑥𝑦 a otro vector (quizá distinto) del plano 𝑥𝑦. ¿Qué puede decirse de las entradas de 𝐴?

  • A𝑏=1, =1, 𝑑=1, 𝑓=1, 𝑒=0
  • B𝑐=0, 𝑓=0, 𝑔=0, =0, 𝑖=1
  • C𝑐=1, 𝑓=1, 𝑔=0, =0, 𝑖=1
  • D𝑏=0, =0, 𝑑=0, 𝑓=0, 𝑒=1
  • E𝑐=1, 𝑓=1, 𝑔=1, =1, 𝑖=0

P10:

Supón que la matriz 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔𝑖 representa una transformación que transforma el vector 010 en sí mismo y transforma cada vector en el plano 𝑋𝑍 a un vector (posiblemente diferente) en el plano 𝑋𝑍. ¿Qué podemos afirmar sobre los elementos de 𝐴?

  • A𝑏=0, =1, 𝑑=0, 𝑓=0, 𝑒=0
  • B𝑏=1, =1, 𝑑=1, 𝑓=1, 𝑒=0
  • C𝑏=0, =0, 𝑑=0, 𝑓=0, 𝑒=1
  • D𝑐=0, 𝑓=0, 𝑔=0, =0, 𝑖=1
  • E𝑏=0, =0, 𝑑=0, 𝑓=0, 𝑒=0

Esta lección incluye 3 preguntas adicionales para suscriptores.

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