Hoja de actividades: La matriz de una transformación lineal

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo determinar la matriz de una transformación lineal y cómo describir la transformación geométricamente.

P1:

Considera la transformación lineal que lleva (1,1) a (3,7) y (2,0) a (2,6).

Determina la matriz 𝐴 que representa esta transformación.

  • A𝐴=3143
  • B𝐴=2314
  • C𝐴=1234
  • D𝐴=1234
  • E𝐴=3241

¿Dónde lleva esta transformación los puntos (1,0) y (0,1)?

  • A(1,0)(3,2), (0,1)(4,1)
  • B(1,0)(1,3), (0,1)(2,4)
  • C(1,0)(3,1), (0,1)(4,3)
  • D(1,0)(1,3), (0,1)(3,4)
  • E(1,0)(2,3), (0,1)(1,4)

P2:

Supongamos que la transformación lineal 𝐿 manda (1,0) en (1,5) y (1,1) en (6,6). ¿Cuál es el valor absoluto del determinante de la matriz que representa 𝐿?

P3:

Un cuadrado de area 1 sufre una transformación lineal. Dado que el área de la imagen es también 1, ¿qué puedes decir acerca de la matriz de transformación?

  • Atiene determinante 1 o 1
  • Bpreserva ángulos
  • Cpreserva distancias
  • Des una rotación o una reflexión

P4:

Cierta matriz de 2×2 tiene determinante 1. ¿Cuál es el área de la imagen de un cuadrado unitario bajo la transformación que representa dicha matriz?

P5:

Una transformación lleva los puntos 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 en los puntos 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 tal como se muestra en la figura.

Usando las áreas de la figura original y la figura imagen, y tomando en cuenta sus orientaciones, encuentra el determinante de la matriz que representa esta transformación.

  • A85
  • B95
  • C65
  • D65
  • E85

P6:

Usando la siguiente figura, encuentra la matriz de transformación que lleva los puntos 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 en 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 respectivamente.

  • A951115351715
  • B951115351715
  • C591511351715
  • D951115351715
  • E95351151715

P7:

¿Cuál es la matriz 𝑀 que envía los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 en 𝐴, 𝐵 y 𝐶 como se muestra en la figura?

  • A𝑀=1131
  • B𝑀=2341
  • C𝑀=1234
  • D𝑀=3124
  • E𝑀=1341

P8:

Supongamos que la matriz 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔𝑖 representa una transformación que envía el vector 001 en sí mismo y envía cada vector en el plano 𝑥𝑦 a otro vector (quizá distinto) del plano 𝑥𝑦. ¿Qué puede decirse de las entradas de 𝐴?

  • A𝑐=1, 𝑓=1, 𝑔=1, =1, 𝑖=0
  • B𝑐=0, 𝑓=0, 𝑔=0, =0, 𝑖=1
  • C𝑐=1, 𝑓=1, 𝑔=0, =0, 𝑖=1
  • D𝑏=1, =1, 𝑑=1, 𝑓=1, 𝑒=0
  • E𝑏=0, =0, 𝑑=0, 𝑓=0, 𝑒=1

P9:

Considera el espacio vectorial de polinomios cuyo máximo grado es 3. El operador de diferenciación 𝐷 es una transformación lineal en este espacio vectorial. Encuentra la matriz que representa la transformación lineal 𝐿=𝐷+2𝐷+1 con respecto a la base 1,𝑥,𝑥,𝑥.

  • A1100011000110001
  • B1120011600110001
  • C1000010000100001
  • D1100012000130001
  • E1220014600160001

P10:

Considera el espacio vectorial de polinomios cuyo grado es a lo sumo tres. El operador de diferenciación 𝐷 es una transformación lineal en este espacio vectorial. Encuentra la matriz que representa la transformación lineal 𝐿=𝐷+5𝐷+4 con respecto de la base 1,𝑥,𝑥,𝑥.

  • A1100012000130001
  • B4000040000400004
  • C4100042000430004
  • D410004100004150004
  • E452004106004150004

P11:

Sea 𝐿 la transformación producida por una matriz no nula con determinante igual a cero. ¿Cuál es la imagen de un cuadrado unitario bajo 𝐿?

  • Aun solo punto
  • Bun segmento de recta que contiene al origen
  • Cun paralelogramo
  • Dun rombo
  • Eotro cuadrado

P12:

Sea 𝐿 una transformación lineal de en si mismo con la propiedad de que 𝐿64=22 y 𝐿2112=33.

Usando el hecho que 64=64, encuentra 𝐿64.

  • A22
  • B22
  • C22
  • D64
  • E64

Usa el hecho que 128=264, para encontrar 𝐿128.

  • A126
  • B44
  • C44
  • D2844
  • E22

Halla un vector 𝑣, tal que 𝐿(𝑣)=11.

  • A32
  • B32
  • C12
  • D21
  • E22

Calcula 𝐿(4𝑣+𝑤), donde 𝑣=64 y 𝑤=2112?

  • A158
  • B511
  • C1129
  • D420
  • E1014

Considerando combinaciones lineales de 64 y 214, encuentra 𝐿10 y 𝐿10.

  • A12, 35
  • B35, 12
  • C35, 35
  • D13, 25
  • E12, 12

Encuentra la matriz 𝑀 que representa la transformación 𝐿.

  • A𝑀=1212
  • B𝑀=3535
  • C𝑀=1235
  • D𝑀=1325
  • E𝑀=3512

P13:

La matriz que codifica los vértices de cierto cuadrado unitario está dada por: 1212121232525232.

Determina la matriz que codifica los vértices de la imagen producida al aplicar la transformación lineal representada por la matriz 1221. Además, expresa qué figura geométrica representa la imagen de la figura transformada.

  • A72112925252723212, un rombo
  • B527211292321252112, un paralelogramo
  • C527211292321252112, un rectángulo
  • D72112925252723212, un cuadrado

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