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Hoja de actividades: Determinar la matriz de la transformación lineal representada por una simetría de eje dado

P1:

¿Cuáles de las siguientes ecuaciones en 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 y 𝑑 son las condiciones necesarias y suficientes para que la matriz 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 represente una simetría axial?

  • A 𝑏 = 𝑐 , 𝑑 = 𝑎 , 𝑎 𝑐 = 1 2 2
  • B 𝑏 = 𝑐 , 𝑑 = 𝑎 , 𝑎 + 𝑐 = 1 2 2
  • C 𝑏 = 𝑐 , 𝑑 = 𝑎 , 𝑎 + 𝑐 = 1 2 2
  • D 𝑏 = 𝑐 , 𝑑 = 𝑎 , 𝑎 + 𝑐 = 1 2 2
  • E 𝑏 = 𝑐 , 𝑑 = 𝑎 , 𝑎 𝑐 = 1 2 2

P2:

Sea 𝑇 la transformación linear asociada a la simetría axial de vectores en 2 con respecto al eje 𝑋 . Representa 𝑇 como una matriz y halla sus autovalores y sus vectores propios.

  • A 𝑇 = 1 1 1 2 5 . Sus autovalores son 2 , con vector propio correspondiente 1 1 , y 2, con vector propio correspondiente 1 1 .
  • B 𝑇 = 0 4 2 1 . Sus autovalores son 2, con vector propio correspondiente 2 1 , y 4, con vector propio correspondiente 1 1 .
  • C 𝑇 = 1 0 0 1 . Sus autovalores son 1 , con vector propio correspondiente 0 1 , y 1, con vector propio correspondiente 1 1 .
  • D 𝑇 = 1 0 0 1 . Sus autovalores son 1 , con vector propio correspondiente 0 1 , y 1, con vector propio correspondiente 1 0 .
  • E 𝑇 = 0 4 2 1 . Sus autovalores son 2, con vector propio correspondiente 2 3 , y 4, con vector propio correspondiente 1 1 .

P3:

Un vector en 2 ha sido rotado en sentido contrario a las manecillas del reloj en un ángulo de 2 𝜋 3 , luego, es reflejado respecto al eje 𝑋 . Determina, respecto a la base estándar, la matriz que representa esta transformación combinada.

  • A 1 2 3 2 3 2 1 2
  • B 3 2 1 2 3 2 1 2
  • C 1 2 3 2 3 2 1 2
  • D 1 2 3 2 3 2 1 2
  • E 3 2 1 2 1 2 3 2

P4:

Considera la transformación lineal que convierte un punto en su simétrico respecto al eje 𝑋 .

Determina la matriz 𝐴 asociada a esta transformación lineal.

  • A 𝐴 = 1 0 0 1
  • B 𝐴 = 1 0 1 1
  • C 𝐴 = 1 0 1 1
  • D 𝐴 = 1 0 0 1
  • E 𝐴 = 1 1 0 1

¿Qué punto es el transformado de ( 2 , 3 ) ?

  • A ( 2 , 3 )
  • B ( 2 , 3 )
  • C ( 2 , 3 )
  • D ( 2 , 3 )
  • E ( 2 , 3 )

P5:

Una reflexión respecto a una recta que pasa por el origen envía el vector 3 4 en 4 3 . Encuentra la matriz que representa esta reflexión.

  • A 4 5 3 5 3 5 4 5
  • B 2 4 2 5 7 2 5 7 2 5 2 4 2 5
  • C 0 1 1 0
  • D 2 4 2 5 7 2 5 7 2 5 2 4 2 5
  • E 4 5 3 5 3 5 4 5

P6:

Considera una reflexión respecto a la recta 𝑦 = 1 2 𝑥 .

Encuentra una matriz que represente esta transformación.

  • A 3 5 4 5 4 5 3 5
  • B 4 5 3 5 3 5 4 5
  • C 1 2 1 2 1 2 1 2
  • D 3 5 4 5 4 5 3 5
  • E 1 2 1 2 1 2 1 2

¿Cuál es la imagen de punto ( 1 2 , 5 ) bajo esta reflexión?

  • A 5 6 5 , 3 3 5
  • B 1 7 2 , 7 2
  • C 5 6 5 , 6 3 5
  • D 6 3 5 , 1 6 5
  • E 7 2 , 1 7 2

P7:

Supongamos que 𝐴 y 𝐵 son matrices de 2 × 2 , donde 𝐴 representa una rotación (en sentido antihorario) de 3 0 respecto al origen y 𝐵 representa una reflexión en el eje 𝑋 . ¿Qué es lo que representa la matriz 𝐵 𝐴 ?

  • Auna reflexión respecto a la recta que pasa por el origen con una inclinación de 7 5
  • Buna reflexión respecto a la recta que pasa por el origen con una inclinación de 1 5
  • Cuna reflexión respecto a la recta que pasa por el origen con una inclinación de 7 5
  • Duna reflexión respecto a la recta que pasa por el origen con una inclinación de 1 5
  • Euna reflexión respecto a la recta que pasa por el origen con una inclinación de 4 5