Hoja de actividades: Determinar la matriz de la transformación lineal representada por una simetría de eje dado

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo encuentre la matriz de la transformación lineal de los vectores reflectantes a través de un eje dado.

P1:

ΒΏCuΓ‘les de las siguientes ecuaciones en π‘Ž, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 son las condiciones necesarias y suficientes para que la matriz ο€Όπ‘Žπ‘π‘π‘‘οˆ represente una simetrΓ­a axial?

  • A𝑏=𝑐, 𝑑=βˆ’π‘Ž, π‘Žβˆ’π‘=1
  • B𝑏=βˆ’π‘, 𝑑=βˆ’π‘Ž, π‘Žβˆ’π‘=1
  • C𝑏=βˆ’π‘, 𝑑=βˆ’π‘Ž, π‘Ž+𝑐=1
  • D𝑏=𝑐, 𝑑=π‘Ž, π‘Ž+𝑐=1
  • E𝑏=𝑐, 𝑑=βˆ’π‘Ž, π‘Ž+𝑐=1

P2:

Una reflexiΓ³n respecto a una recta que pasa por el origen envΓ­a el vector ο€Ό34 en ο€Ό4βˆ’3. Encuentra la matriz que representa esta reflexiΓ³n.

  • AβŽ›βŽœβŽœβŽ2425725βˆ’7252425⎞⎟⎟⎠
  • BβŽ›βŽœβŽœβŽ453535βˆ’45⎞⎟⎟⎠
  • CβŽ›βŽœβŽœβŽ4535βˆ’3545⎞⎟⎟⎠
  • Dο€Ό0110
  • EβŽ›βŽœβŽœβŽ2425725725βˆ’2425⎞⎟⎟⎠

P3:

Considera una reflexiΓ³n respecto a la recta 𝑦=12π‘₯.

Encuentra una matriz que represente esta transformaciΓ³n.

  • AβŽ›βŽœβŽœβŽ35454535⎞⎟⎟⎠
  • BβŽ›βŽœβŽœβŽ12βˆ’121212⎞⎟⎟⎠
  • CβŽ›βŽœβŽœβŽ354545βˆ’35⎞⎟⎟⎠
  • DβŽ›βŽœβŽœβŽ453535βˆ’45⎞⎟⎟⎠
  • EβŽ›βŽœβŽœβŽ121212βˆ’12⎞⎟⎟⎠

ΒΏCuΓ‘l es la imagen de punto (12,5) bajo esta reflexiΓ³n?

  • Aο€Ό172,72
  • Bο€Ό565,335
  • Cο€Ό72,172
  • Dο€Ό565,635
  • Eο€Ό635,165

P4:

Considera la transformaciΓ³n lineal que convierte un punto en su simΓ©trico respecto al eje 𝑋.

Determina la matriz 𝐴 asociada a esta transformación lineal.

  • A𝐴=ο€Ό10βˆ’11
  • B𝐴=ο€Ό1001
  • C𝐴=ο€Όβˆ’101βˆ’1
  • D𝐴=ο€Ό1101
  • E𝐴=ο€Ό100βˆ’1

ΒΏQuΓ© punto es el transformado de (2,βˆ’3)?

  • A(βˆ’2,3)
  • B(2,3)
  • C(βˆ’2,3)
  • D(βˆ’2,βˆ’3)
  • E(2,βˆ’3)

P5:

Considera la siguiente figura.

Los puntos 𝑂(0,0), 𝐴(1,0), 𝐡(1,1) y 𝐢(0,1) son las esquinas de un cuadrado unitario. Este cuadrado es reflejado sobre la recta 𝑂𝐷 con ecuaciΓ³n 𝑦=12π‘₯ para formar la imagen π‘‚π΄π΅πΆβˆ—βˆ—βˆ—.

Como π΄βˆ— es la imagen de la reflexiΓ³n de 𝐴 respecto a la recta que pasa por 𝑂 y 𝐷, βˆ π΄π‘‚π΄=2βˆ π·π‘‚π΄βˆ—. Usa este hecho y la identidad tgtgtg2πœƒ=2πœƒ1βˆ’πœƒοŠ¨ para encontrar la pendiente y con esto la ecuaciΓ³n de βƒ–οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©βƒ—π‘‚π΄βˆ— a partir de la pendiente de ⃖⃗𝑂𝐷.

  • A𝑦=43π‘₯
  • B𝑦=βˆ’23π‘₯
  • C𝑦=34π‘₯
  • D𝑦=βˆ’43π‘₯
  • E𝑦=23π‘₯

Usa el hecho que βƒ–οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©βƒ—π‘‚πΆβˆ— es perpendicular a βƒ–οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©βƒ—π‘‚π΄βˆ— para encontrar la ecuaciΓ³n de βƒ–οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©βƒ—π‘‚πΆβˆ—.

  • A𝑦=βˆ’43π‘₯
  • B𝑦=βˆ’32π‘₯
  • C𝑦=43π‘₯
  • D𝑦=34π‘₯
  • E𝑦=βˆ’34π‘₯

Usando que 𝑂𝐢=𝑂𝐴=1βˆ—βˆ—, encuentra las coordenadas de πΆβˆ— y π΄βˆ—.

  • A𝐢=ο€Ό1625,βˆ’925οˆβˆ—, 𝐴=ο€Ό925,1625οˆβˆ—
  • B𝐢=ο€Όβˆ’35,βˆ’45οˆβˆ—, 𝐴=ο€Ό45,35οˆβˆ—
  • C𝐢=ο€Ό45,βˆ’35οˆβˆ—, 𝐴=ο€Ό35,45οˆβˆ—
  • D𝐢=ο€Ό47,βˆ’37οˆβˆ—, 𝐴=ο€Ό37,47οˆβˆ—
  • E𝐢=ο€Όβˆ’37,47οˆβˆ—, 𝐴=ο€Ό47,37οˆβˆ—

Usando el hecho que la reflexiΓ³n respecto a una recta que pasa por el origen es una transformaciΓ³n lineal, encuentra la matriz que representa una reflexiΓ³n respecto a la recta 𝑦=12π‘₯.

  • AβŽ›βŽœβŽœβŽ453535βˆ’45⎞⎟⎟⎠
  • BβŽ›βŽœβŽœβŽ473737βˆ’47⎞⎟⎟⎠
  • CβŽ›βŽœβŽœβŽ92516251625βˆ’925⎞⎟⎟⎠
  • DβŽ›βŽœβŽœβŽ354545βˆ’35⎞⎟⎟⎠
  • EβŽ›βŽœβŽœβŽ374747βˆ’37⎞⎟⎟⎠

P6:

Considera la matriz 𝑀=ο€»π›Όπ›Όπ›Όβˆ’π›Όο‡ con 𝛼=√22.

Halla π‘€οŠ¨.

  • Aο€Ό100βˆ’1
  • Bο€Ό1001
  • Cο€Όβˆ’1001
  • Dο€Ό1111
  • EβŽ›βŽœβŽœβŽ12121212⎞⎟⎟⎠

Calcula det(𝑀).

  • A2
  • B1
  • C12
  • D0
  • Eβˆ’1

AplΓ­cala a una figura geomΓ©trica sencilla e identifica la transformaciΓ³n representada por esta matriz.

  • Auna proyecciΓ³n sobre la recta 𝑦=π‘₯
  • Bun giro en sentido horario de 45∘ alrededor del punto (1,0)
  • Cuna simetrΓ­a con respecto al eje 𝑦=(22.5)π‘₯tg∘
  • Dun giro en sentido horario de 45∘ alrededor del origen
  • Euna simetrΓ­a con respecto al eje 𝑦=π‘₯

P7:

Considera la siguiente figura.

Los puntos 𝑂(0,0), 𝐴(1,0), 𝐡(1,1) y 𝐢(0,1) son las esquinas de un cuadrado unitario. Este cuadro es reflejado sobre la recta 𝑂𝐷 con ecuaciΓ³n 𝑦=π‘˜π‘₯ para formar la imagen π‘‚π΄π΅πΆβˆ—βˆ—βˆ—.

Como π΄βˆ— es la imagen de 𝐴 respecto a la recta que pasa por 𝑂 y 𝐷 tenemos que βˆ π΄π‘‚π΄=2βˆ π·π‘‚π΄βˆ—. Usa esta informaciΓ³n y la identidad tgtgtg2πœƒ=2πœƒ1βˆ’πœƒοŠ¨ para encontrar la pendiente y por ende la ecuaciΓ³n de βƒ–οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©βƒ—π‘‚π΄βˆ— a partir de la pendiente de ⃖⃗𝑂𝐷.

  • A𝑦=2π‘˜1βˆ’π‘˜π‘₯
  • B𝑦=2π‘˜1+π‘˜π‘₯
  • C𝑦=2π‘˜π‘˜βˆ’1π‘₯
  • D𝑦=π‘˜π‘˜βˆ’1π‘₯
  • E𝑦=π‘˜1βˆ’π‘˜π‘₯

Usando el hecho que βƒ–οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©βƒ—π‘‚πΆβˆ— es perpendicular a βƒ–οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©βƒ—π‘‚π΄βˆ—, encuentra la ecuaciΓ³n de βƒ–οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©βƒ—π‘‚πΆβˆ—.

  • A𝑦=π‘˜βˆ’12π‘˜π‘₯
  • B𝑦=1βˆ’π‘˜2π‘˜π‘₯
  • C𝑦=2π‘˜1βˆ’π‘˜π‘₯
  • D𝑦=π‘˜βˆ’12π‘˜π‘₯
  • E𝑦=2π‘˜π‘˜βˆ’1π‘₯

Usando el hecho que 𝑂𝐢=𝑂𝐴=1βˆ—βˆ—, encuentra las coordenadas de πΆβˆ— y π΄βˆ—.

  • A𝐢=ο€Ύ2π‘˜1+π‘˜,π‘˜βˆ’11+π‘˜οŠβˆ—οŠ¨, 𝐴=ο€Ύ1βˆ’π‘˜1+π‘˜,2π‘˜1+π‘˜οŠβˆ—οŠ¨
  • B𝐢=ο€Ύπ‘˜βˆ’11+π‘˜,2π‘˜1+π‘˜οŠβˆ—οŠ¨οŠ¨οŠ¨, 𝐴=ο€Ύ2π‘˜1+π‘˜,1βˆ’π‘˜1+π‘˜οŠβˆ—οŠ¨οŠ¨οŠ¨
  • C𝐢=ο€Ύπ‘˜1+π‘˜,π‘˜βˆ’11+π‘˜οŠβˆ—οŠ¨οŠ¨οŠ¨, 𝐴=ο€Ύ1βˆ’π‘˜1+π‘˜,π‘˜1+π‘˜οŠβˆ—οŠ¨οŠ¨οŠ¨
  • D𝐢=ο€Ύ2π‘˜1+π‘˜,π‘˜βˆ’11+π‘˜οŠβˆ—οŠ¨οŠ¨οŠ¨, 𝐴=ο€Ύ1βˆ’π‘˜1+π‘˜,2π‘˜1+π‘˜οŠβˆ—οŠ¨οŠ¨οŠ¨
  • E𝐢=ο€Ύπ‘˜βˆ’11+π‘˜,2π‘˜1+π‘˜οŠβˆ—οŠ¨, 𝐴=ο€Ύ2π‘˜1+π‘˜,1βˆ’π‘˜1+π‘˜οŠβˆ—οŠ¨

Usando el hecho que una reflexiΓ³n respecto a una recta que pasa por el origen es una transformaciΓ³n lineal, encuentra la matriz que representa una reflexiΓ³n respecto a la recta 𝑦=π‘˜π‘₯.

  • AβŽ›βŽœβŽœβŽ1βˆ’π‘˜1+π‘˜2π‘˜1+π‘˜2π‘˜1+π‘˜π‘˜βˆ’11+π‘˜βŽžβŽŸβŽŸβŽ οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨
  • BβŽ›βŽœβŽœβŽ1βˆ’π‘˜1+π‘˜2π‘˜1+π‘˜2π‘˜1+π‘˜π‘˜βˆ’11+π‘˜βŽžβŽŸβŽŸβŽ οŠ¨οŠ¨
  • CβŽ›βŽœβŽœβŽ1βˆ’π‘˜1+π‘˜2π‘˜1+π‘˜2π‘˜1+π‘˜1βˆ’π‘˜1+π‘˜βŽžβŽŸβŽŸβŽ οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨
  • DβŽ›βŽœβŽœβŽ1+π‘˜1βˆ’π‘˜1+π‘˜2π‘˜1+π‘˜2π‘˜1+π‘˜π‘˜βˆ’1⎞⎟⎟⎠
  • EβŽ›βŽœβŽœβŽ1βˆ’π‘˜1+π‘˜2π‘˜1+π‘˜βˆ’2π‘˜1+π‘˜1βˆ’π‘˜1+π‘˜βŽžβŽŸβŽŸβŽ οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨

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