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Hoja de actividades: Raíces reales y complejas de polinomios

P1:

Si 𝑎 + 𝑏 𝑖 es la raíz de un polinomio 𝑓 ( 𝑥 ) , ¿cuál es el valor de 𝑓 ( 𝑎 + 𝑏 𝑖 ) ?

P2:

El polinomio 𝑎 𝑧 + 𝑏 𝑧 + 𝑐 𝑧 + 𝑑 𝑧 + 𝑒 𝑧 + 𝑓 5 4 3 2 , cuyos coeficientes son todos reales y 𝑎 es no nulo, ¿tiene al menos una raíz real?

  • A falta información
  • B no
  • C

P3:

Si 𝑎 + 𝑏 𝑖 es una raíz de la ecuación 𝑓 ( 𝑥 ) = 0 , donde 𝑓 ( 𝑥 ) es un polinomio con coeficientes reales, ¿qué otro número complejo debe ser una raíz también?

  • A 𝑎 𝑏 𝑖
  • B 𝑎 + 𝑏 𝑖
  • C 𝑏 2 𝑎 𝑖
  • D 𝑎 𝑏 𝑖
  • E 𝑏 + 𝑎 𝑖

P4:

¿Es posible que un polinomio con coeficientes reales tenga exactamente 3 raíces complejas (no reales)?

  • A no
  • B

P5:

¿Cuántas raíces tiene el polinomio ( 3 𝑥 1 ) ( 𝑥 + 4 𝑥 2 ) 2 3 ?

P6:

¿Cuántas raíces reales puede tener el polinomio 𝑝 ( 𝑥 ) = 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 𝑥 + 𝑑 𝑥 + 𝑒 𝑥 + 𝑓 dado que todos sus coeficientes 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , 𝑑 , 𝑒 y 𝑓 son reales?

  • A solo 1
  • B 4 o 2
  • C solo 2
  • D 5, 3 o 1
  • E4, 2 o 1

P7:

¿Es cierto que la ecuación 3 𝑥 + 2 4 𝑥 + 4 8 = 0 2 tiene dos soluciones reales diferentes?

  • Ano
  • B

P8:

Sabiendo que un cero de la función 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 2 es 3 4 𝑖 y que 𝑓 ( 0 ) = 1 0 0 , determina el valor de 𝑎 , 𝑏 y 𝑐 .

  • A 𝑎 = 3 , 𝑏 = 4 , 𝑐 = 1 0 0
  • B 𝑎 = 1 4 , 2 9 , 𝑏 = 8 5 , 7 4 , 𝑐 = 1 0 0
  • C 𝑎 = 4 , 𝑏 = 2 4 , 𝑐 = 8 0
  • D 𝑎 = 4 , 𝑏 = 2 4 , 𝑐 = 1 0 0
  • E 𝑎 = 1 4 , 2 9 , 𝑏 = 8 5 , 7 4 , 𝑐 = 1 0 0

P9:

Sea 𝜔 una raíz cúbica compleja de la unidad. Escribe una ecuación cuadrática cuyos ceros sean 1 ( 1 + 𝜔 ) 1 1 y 1 1 + 𝜔 2 1 1 .

  • A 𝑥 𝑥 1 = 0 2
  • B 𝑥 + 𝑥 + 1 = 0 2
  • C 𝑥 + 𝑥 1 = 0 2
  • D 𝑥 𝑥 + 1 = 0 2
  • E 𝑥 + 2 𝑥 1 = 0 2