Hoja de actividades: Potencias y raíces de números complejos

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo calcular potencias y raíces de números complejos y cómo usar la fórmula de Moivre para simplificar los cálculos de potencias y raíces.

P1:

Calcula (1โˆ’2๐‘–)๏Šช.

  • A4โˆ’8๐‘–
  • B1โˆ’2๐‘–
  • C5+10๐‘–
  • Dโˆ’7+24๐‘–
  • Eโˆ’3โˆ’4๐‘–

P2:

Utilizando la fรณrmula de Moivre, calcula las dos raรญces cuadradas de 9๏€ผ2๐œ‹3+๐‘–2๐œ‹3๏ˆcossen, y expresa el resultado en forma binรณmica.

  • A๏ฏ32+3โˆš32๐‘–,โˆ’32โˆ’3โˆš32๐‘–๏ป
  • B๏ฏโˆš32โˆ’12๐‘–,โˆ’โˆš32+12๐‘–๏ป
  • C๏ฌโˆ’12โˆ’12๐‘–,12+12๐‘–๏ธ
  • D{โˆ’3,3}
  • E๏ฏ32+3โˆš32๐‘–,โˆ’32+3โˆš32๐‘–๏ป

P3:

Si ๐‘=๐‘Ÿ(๐œƒ+๐‘–๐œƒ)cossen, halla ๐‘๏Š.

  • A๐‘Ÿ(๐‘›๐œƒ+๐‘–๐‘›๐œƒ)๏Šcossen
  • B๐‘Ÿ(๐‘›๐œƒ+๐‘–๐‘›๐œƒ)cossen
  • C๐‘Ÿ(๐œƒ+๐‘–๐œƒ)๏Šcossen
  • D๐‘Ÿ๏€ฝ๐œƒ๐‘›+๐‘–๐œƒ๐‘›๏‰cossen

P4:

Calcula (1+๐‘–)๏Šง๏Šฆ.

  • A1+๐‘–
  • B32๐‘–
  • C2+2๐‘–
  • D10๐‘–
  • E2

P5:

Calcula (โˆ’1โˆ’3๐‘–)๏Šช.

  • Aโˆ’4โˆ’12๐‘–
  • Bโˆ’1โˆ’3๐‘–
  • Cโˆ’10+30๐‘–
  • Dโˆ’8+6๐‘–
  • E28โˆ’96๐‘–

P6:

Utilizando la fรณrmula de Moivre, calcula las dos raรญces cuadradas de cossen๐œ‹3+๐‘–๐œ‹3, y expresa el resultado en forma binรณmica.

  • A{๐‘–,โˆ’๐‘–}
  • B๏ฏโˆš32+12๐‘–,๐‘–๏ป
  • C๏ฌ12+โˆš2๐‘–,โˆ’12โˆ’โˆš2๐‘–๏ธ
  • D๏ฏโˆš32+12๐‘–,โˆ’โˆš32โˆ’12๐‘–๏ป
  • E๏ฏ12โˆ’โˆš32๐‘–,โˆ’12+โˆš32๐‘–๏ป

P7:

Utilizando la fรณrmula de Moivre, calcula las dos raรญces cuadradas de 9๏€ป๐œ‹3+๐‘–๐œ‹3๏‡cossen, y expresa el resultado en forma binรณmica.

  • A{3๐‘–,โˆ’3๐‘–}
  • B๏ฏ3โˆš32+32๐‘–,3๐‘–๏ป
  • C๏ฌ12+โˆš2๐‘–,โˆ’12โˆ’โˆš2๐‘–๏ธ
  • D๏ฏ3โˆš32+32๐‘–,โˆ’3โˆš32โˆ’32๐‘–๏ป
  • E{โˆ’1,1}

P8:

Calcula (โˆ’1+๐‘–)๏Šฎ.

  • Aโˆ’1+๐‘–
  • B16
  • Cโˆ’8+8๐‘–
  • Dโˆ’8๐‘–
  • E2

P9:

Sabiendo que ๐‘ฅ+๐‘ฆ๐‘–=๏€ผ1โˆ’1๐‘–๏ˆ๏Šฌ, en donde ๐‘ฅ y ๐‘ฆ son nรบmeros reales, calcula los valores de ๐‘ฅ y de ๐‘ฆ.

  • A๐‘ฅ=0, ๐‘ฆ=โˆ’2
  • B๐‘ฅ=0, ๐‘ฆ=โˆ’8
  • C๐‘ฅ=0, ๐‘ฆ=2
  • D๐‘ฅ=0, ๐‘ฆ=8

P10:

Simplifica 18(โˆ’๐‘–+1)(๐‘–+1)๏Šฉ๏Šฏ๏Šช๏Šง.

P11:

Considera el nรบmero complejo ๐‘ง=3โˆ’๐‘–.

Calcula el mรณdulo de ๐‘ง.

  • A1
  • Bโˆš2
  • Cโˆš8
  • Dโˆš10
  • E3

Usa el resultado para calcular el mรณdulo de ๐‘ง๏Šซ.

  • A243
  • Bโˆš10
  • C10โˆš10
  • D100โˆš10
  • E10

P12:

Simplifica (โˆ’1โˆ’๐‘–)๏Šฌ, y expresa la respuesta en la forma trigonomรฉtrica.

  • A8(90+๐‘–90)cossenโˆ˜โˆ˜
  • B8(270+๐‘–270)cossenโˆ˜โˆ˜
  • C8(180+๐‘–180)sencosโˆ˜โˆ˜
  • D8(270+๐‘–270)sencosโˆ˜โˆ˜
  • Eโˆ’8(270+๐‘–270)cossenโˆ˜โˆ˜

P13:

Considera el nรบmero complejo ๐‘ง=1+โˆš3๐‘–.

Calcula el mรณdulo de ๐‘ง.

Calcula el argumento de ๐‘ง.

  • A2
  • B๐œ‹6
  • C๐œ‹3
  • Dโˆš10
  • E2๐œ‹3

Usa esa informaciรณn, y las propiedades de la multiplicaciรณn de nรบmeros complejos en forma polar, y calcula el mรณdulo y el argumento de ๐‘ง๏Šฉ.

  • Amรณdulo = 8, argumento = ๐œ‹
  • Bmรณdulo = โˆš10, argumento = ๐œ‹
  • Cmรณdulo = 8, argumento = ๐œ‹2
  • Dmรณdulo = โˆš3, argumento = ๐œ‹
  • Emรณdulo = โˆš10, argumento = ๐œ‹2

Ahora, escribe ๐‘ง๏Šฉ en forma binรณmica.

P14:

Siendo ๐‘ง=7(315+๐‘–315)sencosโˆ˜โˆ˜, halla ๐‘ง๏Šจ, y expresa el resultado en forma exponencial.

  • A49๐‘’๏Žฆ๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ
  • B49๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ
  • C7๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žก๏ƒ
  • D14๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žก๏ƒ
  • E49๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žก๏ƒ

P15:

Siendo ๐‘ง=3โˆš2(225โˆ’๐‘–225)cossenโˆ˜โˆ˜, halla ๐‘ง๏Šจ, y expresa la respuesta en forma exponencial.

  • A6โˆš2๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žก๏ƒ
  • B18๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žก๏ƒ
  • C18๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ
  • D3โˆš2๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žก๏ƒ

P16:

Si ๐‘ง=6(225+๐‘–225)๏Šงโˆ˜โˆ˜cossen, ๐‘ง=90+๐‘–90๏Šจโˆ˜โˆ˜cossen y ๐‘ง=270+๐‘–270๏Šฉโˆ˜โˆ˜cossen, ยฟcuรกl es la forma exponencial de (๐‘ง๐‘ง๐‘ง)๏Šง๏Šจ๏Šฉ๏Šจ?

  • A36๐‘’๏‘ฝ๏Žก๏ƒ
  • B36๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ
  • C6๐‘’๏‘ฝ๏Žก๏ƒ
  • D6๐‘’๏Žก๏‘ฝ๏Žข๏ƒ
  • E36๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žก๏ƒ

P17:

Sabiendo que ๐‘ง=2โˆš3(240+๐‘–240)cossenโˆ˜โˆ˜, halla ๐‘ง๏Šจ en forma exponencial.

  • A๐‘ง=12๐‘’๏Šจ๏ƒ๏Žฃ๏‘ฝ๏Žข
  • B๐‘ง=2โˆš3๐‘’๏Šจ๏ƒ๏Žก๏‘ฝ๏Žข
  • C๐‘ง=12๐‘’๏Šจ๏ƒ๏Žฆ๏‘ฝ๏Žฅ
  • D๐‘ง=4โˆš3๐‘’๏Šจ๏ƒ๏Žก๏‘ฝ๏Žข
  • E๐‘ง=12๐‘’๏Šจ๏ƒ๏Žก๏‘ฝ๏Žข

P18:

Sabiendo que ๐‘ง=3(45+๐‘–45)cossenโˆ˜โˆ˜, determina ๐‘ง๏Šจ.

  • A6๏€น45+๐‘–45๏…cossen๏Šจโˆ˜๏Šจโˆ˜
  • B9(45+๐‘–45)cossenโˆ˜โˆ˜
  • C6(90+๐‘–90)cossenโˆ˜โˆ˜
  • D3๏€น45+๐‘–45๏…cossen๏Šจโˆ˜๏Šจโˆ˜
  • E9(90+๐‘–90)cossenโˆ˜โˆ˜

P19:

Siendo ๐‘ง=โˆš32โˆ’32๐‘–, halla ๐‘ง๏Šซ, y expresa el resultado en forma exponencial.

  • A9โˆš3๐‘’๏‘ฝ๏Žฅ๏ƒ
  • B9โˆš3๐‘’๏‘ฝ๏Žข๏ƒ
  • Cโˆš3๐‘’๏‘ฝ๏Žข๏ƒ
  • D5โˆš3๐‘’๏‘ฝ๏Žข๏ƒ

P20:

Sabiendo que ๐‘ง=8(240+๐‘–240)๏Šงโˆ˜โˆ˜cossen, ๐‘ง=4๏€ผ5๐œ‹4+๐‘–5๐œ‹4๏ˆ๏Šจcossen y ๐‘ง=8(45+๐‘–45)๏Šฉโˆ˜โˆ˜cossen, calcula ๐‘ง๐‘ง๐‘ง๏Šง๏Šฌ๏Šจ๏Šช๏Šฉ, y expresa el resultado en forma exponencial.

  • A4๐‘’๏Ž ๏Ž ๏‘ฝ๏Žฅ๏ƒ
  • B8๐‘’๏‘ฝ๏Žข๏ƒ
  • C8๐‘’๏Ž ๏Ž ๏‘ฝ๏Žฅ๏ƒ
  • D32768๐‘’๏Ž ๏Ž ๏‘ฝ๏Žฅ๏ƒ
  • E8๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Žฅ๏ƒ

P21:

Sabiendo que ๐‘ง=8๏€ผ๏€ผ19๐œ‹12๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ19๐œ‹12๏ˆ๏ˆ๏Šง๏Šจcossen y ๐‘ง=3๐‘’๏Šจ๏ƒ๏Ž ๏Ž ๏‘ฝ๏Žฅ, donde ๐‘–=โˆ’1๏Šจ, expresa ๐‘ง=๐‘ง๐‘ง๏Šง๏Šจ๏Šจ en su forma trigonomรฉtrica.

  • A๐‘ง=72๏€ป๏€ปโˆ’๐œ‹2๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹2๏‡๏‡cossen
  • B๐‘ง=72๏€ป๏€ป๐œ‹2๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹2๏‡๏‡cossen
  • C๐‘ง=๏€ป๏€ป๐œ‹2๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹2๏‡๏‡cossen
  • D๐‘ง=๏€ป๏€ปโˆ’๐œ‹2๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹2๏‡๏‡cossen

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