Nagwa usa cookies para asegurarse de que disfrutes de la mejor experiencia en nuestro sitio web. Descubrir más acerca de nuestra Política de privacidad.

Comenzar a practicar

Hoja de actividades: Series geométricas

P1:

A la suma de términos de una sucesión se le llama serie.

Una serie geométrica es la suma de una sucesión geométrica; una serie geométrica de 𝑛 términos puede escribirse como donde 𝑎 es el primer término y 𝑟 es la razón (el número por el que debes multiplicar un término de la sucesión para encontrar el siguiente, 𝑟 1 ).

Encuentra la suma de los primeros 6 términos de la serie geométrica con 𝑎 = 2 4 y 𝑟 = 1 2 .

  • A204
  • B 2 3 1 4
  • C 8 1 2
  • D 4 7 1 4
  • E 1 1 5 8

P2:

Vamos a obtener una fórmula para la suma de una serie geométrica. Considera la siguiente serie geométrica 𝑆 𝑛 :

Multiplica la expresión 𝑆 𝑛 por la razón 𝑟 .

  • A 𝑟 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟 𝑛 2 3 𝑛
  • B 𝑟 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟 𝑛 2 3 𝑛 1
  • C 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟 𝑛 2 3 4 𝑛 1
  • D 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟 𝑛 2 3 4 𝑛
  • E 𝑟 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟 𝑛 2 3 4 𝑛 1

De esta manera, obtendrás y

El lado derecho de ambas ecuaciones son muy similares. Identifica los términos en los que difieren.

  • A 𝑎 , 𝑎 𝑟 𝑛
  • B 𝑎 , 𝑎 𝑟 4
  • C 𝑎 𝑟 , 𝑎 𝑟 𝑛 1 𝑛
  • D 𝑎 , 𝑎 𝑟 𝑛 1
  • E 𝑎 𝑟 , 𝑎 𝑟 4 𝑛 1

Ahora, considera la diferencia 𝑆 𝑟 𝑆 𝑛 𝑛 , como sigue:

Usa la respuesta anterior para simplificar 𝑆 𝑟 𝑆 𝑛 𝑛 .

  • A 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑟 𝑎 𝑟 𝑛 𝑛 𝑛 1 4
  • B 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑎 𝑟 𝑛 𝑛 𝑛 1
  • C 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑎 𝑟 𝑛 𝑛 𝑛
  • D 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑟 𝑎 𝑟 𝑛 𝑛 𝑛 1 𝑛
  • E 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑎 𝑟 𝑛 𝑛 4

Factoriza ambos lados de la ecuación.

  • A 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 ( 1 𝑟 ) 𝑛 𝑛
  • B 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 𝑟 𝑟 𝑛 𝑛 1 4
  • C 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 1 𝑟 𝑛 4
  • D 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 1 𝑟 𝑛 𝑛 1
  • E 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 𝑟 ( 1 𝑟 ) 𝑛 𝑛 1

Despeja 𝑆 𝑛 de la ecuación anterior.

  • A 𝑆 = 𝑎 1 𝑟 1 𝑟 𝑛 4
  • B 𝑆 = 𝑎 𝑟 ( 1 𝑟 ) 1 𝑟 𝑛 𝑛 1 𝑛
  • C 𝑆 = 𝑎 1 𝑟 1 𝑟 𝑛 𝑛 1
  • D 𝑆 = 𝑎 ( 1 𝑟 ) 1 𝑟 𝑛 𝑛
  • E 𝑆 = 𝑎 𝑟 𝑟 1 𝑟 𝑛 𝑛 1 4

P3:

El monto prestado y el pago mensual para pagar el préstamo están relacionados por la fórmula: donde es el monto prestado, es el pago mensual, es la tasa de interés mensual y es el número de meses en los que el préstamo será pagado. Un vendedor de cocinas está ofreciendo préstamos de 6 años con una tasa de interés mensual del .

Usa esta fórmula para calcular, el pago mensual por una cocina que costó , sin anticipo. Redondea tu respuesta al centavo más cercano.

Un cliente desea comprar una cocina y puede hacer pagos de $ 250 mensuales. Calcula el anticipo que debe dar para que haga los pagos mensuales de acuerdo a su capacidad de pago. Da tu respuesta con la precisión que sea necesaria.

  • A
  • B
  • C
  • D
  • E

P4:

Una sucesión geométrica es una lista de términos que se pueden escribir en la forma donde 𝑎 es el primer término y 𝑟 es la razón (el número por el cual debes multiplicar un término de la sucesión para obtener el siguiente 𝑟 1 ).

Identifica 𝑎 y 𝑟 en la siguiente sucesión 4 , 1 2 , 3 6 , 1 0 8 , .

  • A 𝑎 = 3 , 𝑟 = 4
  • B 𝑎 = 4 , 𝑟 = 8
  • C 𝑎 = 8 , 𝑟 = 4
  • D 𝑎 = 4 , 𝑟 = 3
  • E 𝑎 = 2 , 𝑟 = 3

P5:

Una serie geométrica tiene como primer término 3 y su razón es 5. Encuentra la suma de los primeros 6 términos.

P6:

Vamos a calcular el monto total en una cuenta de ahorro estructurada, donde la persona deposita una cantidad regular a intervalos regulares y se considera el deposito mensual de manera separada. Para hacerlo, consideremos el caso de una persona que hace un depósito mensual el último día del mes y el interés es calculado precisamente ese día. Sea el depósito regular y sea el interés mensual (una tasa de interés del correspondería a un valor de ). El día en que el -ésimo depósito es realizado, el primer depósito ha generado interés durante meses, por lo tanto su valor es de . Asimismo, el día que el -ésimo depósito es realizado, el segundo depósito ha generado durante meses, por lo tanto su valor es de . Este patrón continúa hasta que consideramos el -ésimo depósito el cual no ha generado ningún interés y por tanto su valor es . Para calcular el monto total, el día que el -ésimo depósito es realizado, necesitamos sumar los valores de los depósitos individuales. Comenzando con el -ésimo deposito, obtenemos:

¿Qué tipo de serie observas en el lado derecho de la ecuación?

  • AFibonacci
  • Baritmética
  • Carmónica
  • Dgeométrica

Usando la fórmula para la suma de los primeros términos de la serie geométrica, escribe una fórmula para , el monto total en la cuenta.

  • A
  • B
  • C
  • D
  • E

P7:

Calcula, con una precisión de dos decimales, la suma de la siguiente serie geométrica: 2 0 + 2 0 ( 1 . 0 1 ) + 2 0 ( 1 . 0 1 ) + + 2 0 ( 1 . 0 1 ) .

P8:

Una pareja quiere comprar un departamento por . El pago de la hipoteca puede ser calculado usando la fórmula:

donde es el pago mensual, es el monto prestado, es la tasa de interés mensual, es el número de meses en los que la hipoteca debe ser pagada.

El banco ofrece una hipoteca a 20 años con una tasa de interés del mensual y un anticipo de . Calcula el pago mensual redondeando tu respuesta al centavo más cercano.

¿Cuál debería ser el anticipo si la pareja solo puede pagar un máximo de mensuales? Redondea tu respuesta a la centena más cercana.

En lugar de aumentar el anticipo la pareja ha decidido extender el tiempo en el que la hipoteca debe ser pagada. Suponiendo que la tasa de interés se mantiene constante y tomando en cuenta el pago máximo mensual que pueden permitirse, ¿es posible que paguen la casa con una hipoteca de 25 años?

  • Ano
  • B

P9:

Rafael ahorra cada mes en una cuenta que paga un interés compuesto mensual del .

¿Cuánto tendrá Rafael en su cuenta después de 4 años de depositar sus ahorros de manera regular? Calcula tu respuesta al centavo más cercano.

Si en lugar de ser interés compuesto mensual fuera interés compuesto trimestral, ¿cuánto tendría en su cuenta después de 4 años?

P10:

En un progresión geométrica, 𝑎 es el primer término y 𝑟 es la razón.

Halla la suma de los primeros 3 términos de una progresión geométrica con 𝑎 = 3 2 8 y 𝑟 = 1 4 .

  • A 3 6 9 2
  • B 5 3 3 2
  • C410
  • D 8 6 1 2

P11:

Una sucesión geométrica es una lista de términos que pueden ser escritos de la forma donde 𝑎 es el primer término y 𝑟 es la razón (el número por el cual debes multiplicar un término de la sucesión para obtener el siguiente 𝑟 1 ).

Identifica 𝑎 y 𝑟 en la siguiente sucesión: 2 5 0 , 5 0 , 1 0 , 2 , .

  • A 𝑎 = 2 5 0 , 𝑟 = 5
  • B 𝑎 = 5 0 , 𝑟 = 5
  • C 𝑎 = 5 0 , 𝑟 = 1 0
  • D 𝑎 = 2 5 0 , 𝑟 = 1 5
  • E 𝑎 = 2 0 0 , 𝑟 = 4 5

P12:

El monto y el pago mensual de un préstamo están relacionados por la fórmula: donde es el monto del préstamo, es el pago mensual, es la tasa de interés mensual y es el número de meses en los que se deben pagar el préstamo y sus intereses. Una oferta en una agencia automotriz ofrece préstamos por 4 años con una tasa de interés del . Usa la fórmula anterior para calcular el pago mensual de un auto que cuesta y que no requiere anticipo.

P13:

Cuando Alfredo se mudó a su departamento, la renta era de $ 1 3 2 0 0 al año. Cada año, el dueño ha incrementado la renta en un 3 % . Alfredo ha vivido en el mismo departamento por 17 años. Usando que el total de la renta puede ser calculado con una serie geométrica, calcula el monto total de renta que Alfredo ha pagado durante estos 17 años. Redondea tu respuesta al dólar más cercano.

P14:

Soraya fue al gimnasio. En la caminadora, corre 250 m en el primer minuto y la distancia que corre decrece un 1 0 % en cada minuto subsiguiente.

¿Qué distancia habra corrido en 10 minutos? Redondea tu respuesta al metro más cercano

P15:

Hay dos series geométricas cuyo primer término es 3 y cuyos tres primeros términos suman 21.

¿Cuál es la razón de estas series?

  • A3, 7
  • B 2 , 3
  • C 2 , 3
  • D2, 3
  • E 3 , 7

Escribe una expresión para la suma de los primeros 𝑛 términos de una sucesión cuyo primer término es 3 y tiene razón 2.

  • A 3 2 𝑛 1
  • B 3 2 1 𝑛 1
  • C 2 ( 1 3 ) 𝑛
  • D 2 3 𝑛 1
  • E 2 3 1 𝑛 1