Hoja de actividades: Series geométricas

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo derivar la fórmula para calcular sumas finitas de series geométricas y cómo usarla para resolver problemas prácticos.

P1:

A la suma de términos de una sucesión se le llama serie.

Una serie geométrica es la suma de una sucesión geométrica; una serie geométrica de 𝑛 términos puede escribirse como 𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟,() donde 𝑎 es el primer término y 𝑟 es la razón (el número por el que debes multiplicar un término de la sucesión para encontrar el siguiente, 𝑟1).

Encuentra la suma de los primeros 6 términos de la serie geométrica con 𝑎=24 y 𝑟=12.

  • A1158
  • B812
  • C4714
  • D204
  • E2314

P2:

Una serie geométrica tiene como primer término 3 y su razón es 5. Encuentra la suma de los primeros 6 términos.

P3:

Calcula, con una precisión de dos decimales, la suma de la siguiente serie geométrica: 20+20(1.01)+20(1.01)++20(1.01).

P4:

Vamos a obtener una fórmula para la suma de una serie geométrica. Considera la siguiente serie geométrica 𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟.

Multiplica la expresión 𝑆 por la razón 𝑟, the common ratio.

  • A𝑟𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟
  • B𝑟𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟
  • C𝑟𝑆=𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟
  • D𝑟𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟
  • E𝑟𝑆=𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟

De esta manera, obtendrás 𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟 and 𝑟𝑆=𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟.

El lado derecho de ambas ecuaciones son muy similares. Identifica los términos en los que difieren.

  • A𝑎,𝑎𝑟
  • B𝑎,𝑎𝑟
  • C𝑎,𝑎𝑟
  • D𝑎𝑟,𝑎𝑟
  • E𝑎𝑟,𝑎𝑟

Ahora, considera la diferencia 𝑆𝑟𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟.

Usa la respuesta anterior para simplificar 𝑆𝑟𝑆.

  • A𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑎𝑟
  • B𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑟𝑎𝑟
  • C𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑟𝑎𝑟
  • D𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑎𝑟
  • E𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑎𝑟

Factoriza ambos lados de la ecuación.

  • A𝑆(1𝑟)=𝑎𝑟(1𝑟)
  • B𝑆(1𝑟)=𝑎1𝑟
  • C𝑆(1𝑟)=𝑎𝑟𝑟
  • D𝑆(1𝑟)=𝑎(1𝑟)
  • E𝑆(1𝑟)=𝑎1𝑟

Despeja 𝑆 de la ecuación anterior.

  • A𝑆=𝑎(1𝑟)1𝑟
  • B𝑆=𝑎1𝑟1𝑟
  • C𝑆=𝑎𝑟(1𝑟)1𝑟
  • D𝑆=𝑎𝑟𝑟1𝑟
  • E𝑆=𝑎1𝑟1𝑟

P5:

Hay dos series geométricas cuyo primer término es 3 y cuyos tres primeros términos suman 21.

¿Cuál es la razón de estas series?

  • A2, 3
  • B2, 3
  • C3, 7
  • D2, 3
  • E3, 7

Escribe una expresión para la suma de los primeros 𝑛 términos de una sucesión cuyo primer término es 3 y tiene razón 2.

  • A32
  • B231
  • C2(13)
  • D321
  • E23

P6:

En un progresión geométrica, 𝑎 es el primer término y 𝑟 es la razón.

Halla la suma de los primeros 3 términos de una progresión geométrica con 𝑎=328 y 𝑟=14.

  • A5332
  • B410
  • C8612
  • D3692

P7:

Halla una progresión geométrica finita sabiendo que el primer término es 324, el último término es 4 y la suma de todos los términos es 484.

  • A324,972,2916,,4
  • B324,972,2916,,4
  • C324,108,36,,4
  • D324,108,36,,4

P8:

Halla el cuarto término de una progresión geométrica sabiendo que 𝑆=1,0242, donde 𝑆 es la suma de sus primeros 𝑛 términos.

P9:

Halla los tres primeros términos positivos de una progresión geométrica sabiendo que su suma es 14 y que la suma de sus inversos multiplicativos es 6332.

  • A32, 38, y 332
  • B23, 16, y 124
  • C32, 6, y 24
  • D23, 83, y 323

P10:

Halla, en términos de 𝑙 y 𝑚, la razón de una progresión geométrica sabiendo que la suma de los primeros diez términos es 24𝑙 y la suma de los siguientes diez términos es 91𝑚.

  • A91𝑚24𝑙
  • B91𝑚24𝑙
  • C24𝑙91𝑚
  • D24𝑙91𝑚
  • E24𝑚91𝑙

P11:

Halla una progresión geométrica y la suma de sus primeros seis términos sabiendo que el segundo término es cuatro veces el cuarto, que la suma del cuarto y séptimo términos es 2 y que todos los términos son positivos.

  • A𝑎=1289,649,329,, 𝑆=28
  • B𝑎=136,118,19,, 𝑆=3136
  • C𝑎=2569,1289,649,, 𝑆=56
  • D𝑎=136,118,19,, 𝑆=74
  • E𝑎=1289,649,329,, 𝑆=2489

P12:

Calcula la suma de los primeros 20 términos de la progresión geométrica 1,1,07,1,07,1,07,. Redondea la respuesta a dos cifras decimales.

P13:

Calcula 322122+16611782, sabiendo que son términos consecutivos de una progresión geométrica.

  • A24911
  • B61594
  • C91891
  • D8722

P14:

Calcula la suma de los siguientes términos de una progresión geométrica: 176+88+44++11.

P15:

Determina una progresión geométrica, y la suma de sus primeros six términos, sabiendo que la suma de los términos second y fourth es 68 y que la suma de los términos third y fifth es 272.

  • A𝑎=(256,64,16,), 𝑆=13654
  • B𝑎=(256,64,16,), 𝑆=341
  • C𝑎=14,1,4,, 𝑆=13654
  • D𝑎=(1,4,16,), 𝑆=1365
  • E𝑎=(1,4,16,), 𝑆=341

P16:

Halla la suma de los primeros 7 términos de la progresión geométrica que verifica 𝑎=8𝑎 y 𝑎+𝑎=64.

  • A13765
  • B1725
  • C13445
  • D1685
  • E3445

P17:

¿Cuántos términos de la progresión geométrica 𝑎=96×2 has de sumar para obtener 93?

P18:

De una progresión geométrica se sabe que su primer término es 1 y que el cuarto término es 125. Determina el número de términos que se han de sumar para obtener 7‎ ‎143.

P19:

De un tramo de una progresión geométrica, el primer término es 𝑎, la razón es 𝑟, y el último término es 𝑙.

Halla la suma de todos los términos de un tramo de una progresión geométrica con 𝑎=1408, 𝑟=12 y 𝑙=88.

P20:

Halla una progresión geométrica y la suma de sus primeros siete términos sabiendo que 15𝑎6𝑎=9𝑎, 𝑎=9 y que todos los términos son positivos.

  • A𝑎=127,19,13,, 𝑆=109327
  • B𝑎=(288,144,72,), 𝑆=567
  • C𝑎=181,127,19,, 𝑆=109381
  • D𝑎=(288,144,72,), 𝑆=11432
  • E𝑎=127,19,13,, 𝑆=36427

P21:

Halla la suma de los 6 primeros términos de la serie geométrica 12+14+18+116+.

  • A3112
  • B3132
  • C1512
  • D6364

P22:

Halla una progresión geométrica y la suma de sus primeros cinco términos sabiendo que la suma de los primeros tres términos es 1 y que la suma de los tres términos siguientes es 27.

  • A𝑎=913,313,113,, 𝑆=4039
  • B𝑎=113,313,913,, 𝑆=12113
  • C𝑎=113,313,913,, 𝑆=4013
  • D𝑎=913,313,113,, 𝑆=121117
  • E𝑎=2713,8113,24313,, 𝑆=326713

P23:

Halla el número de términos de la sucesión geométrica (23,69,207,) para los cuales la suma es igual a 2‎ ‎783.

P24:

Halla la suma de los primeros 6 términos de la progresión geométrica (405,135,45,).

  • A18203
  • B18256
  • C1603
  • D605

P25:

Halla la suma de la sucesión geométrica (16,32,64,,256).

Nagwa usa cookies para asegurarse de que disfrutes de la mejor experiencia en nuestro sitio web. Descubrir más acerca de nuestra Política de privacidad.