Hoja de actividades de la lección: Suma de una progresión geométrica finita Matemáticas

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo derivar la fórmula para calcular sumas finitas de series geométricas.

P1:

A la suma de términos de una sucesión se le llama serie.

Una serie geométrica es la suma de una sucesión geométrica; una serie geométrica de 𝑛 términos puede escribirse como 𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟,() donde 𝑎 es el primer término y 𝑟 es la razón (el número por el que debes multiplicar un término de la sucesión para encontrar el siguiente, 𝑟1).

Encuentra la suma de los primeros 6 términos de la serie geométrica con 𝑎=24 y 𝑟=12.

  • A812
  • B4714
  • C2314
  • D204
  • E1158

P2:

Una serie geométrica tiene como primer término 3 y su razón es 5. Encuentra la suma de los primeros 6 términos.

P3:

Calcula, con una precisión de dos decimales, la suma de la siguiente serie geométrica: 20+20(1.01)+20(1.01)++20(1.01).

P4:

Vamos a obtener una fórmula para la suma de una serie geométrica. Considera la siguiente serie geométrica 𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟.

Multiplica la expresión 𝑆 por la razón 𝑟, the common ratio.

  • A𝑟𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟
  • B𝑟𝑆=𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟
  • C𝑟𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟
  • D𝑟𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟
  • E𝑟𝑆=𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟

De esta manera, obtendrás 𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟 and 𝑟𝑆=𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟.

El lado derecho de ambas ecuaciones son muy similares. Identifica los términos en los que difieren.

  • A𝑎𝑟,𝑎𝑟
  • B𝑎,𝑎𝑟
  • C𝑎,𝑎𝑟
  • D𝑎,𝑎𝑟
  • E𝑎𝑟,𝑎𝑟

Ahora, considera la diferencia 𝑆𝑟𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟.

Usa la respuesta anterior para simplificar 𝑆𝑟𝑆.

  • A𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑟𝑎𝑟
  • B𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑎𝑟
  • C𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑟𝑎𝑟
  • D𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑎𝑟
  • E𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑎𝑟

Factoriza ambos lados de la ecuación.

  • A𝑆(1𝑟)=𝑎𝑟(1𝑟)
  • B𝑆(1𝑟)=𝑎1𝑟
  • C𝑆(1𝑟)=𝑎𝑟𝑟
  • D𝑆(1𝑟)=𝑎1𝑟
  • E𝑆(1𝑟)=𝑎(1𝑟)

Despeja 𝑆 de la ecuación anterior.

  • A𝑆=𝑎𝑟(1𝑟)1𝑟
  • B𝑆=𝑎1𝑟1𝑟
  • C𝑆=𝑎1𝑟1𝑟
  • D𝑆=𝑎𝑟𝑟1𝑟
  • E𝑆=𝑎(1𝑟)1𝑟

P5:

Hay dos series geométricas cuyo primer término es 3 y cuyos tres primeros términos suman 21.

¿Cuál es la razón de estas series?

  • A3, 7
  • B2, 3
  • C2, 3
  • D2, 3
  • E3, 7

Escribe una expresión para la suma de los primeros 𝑛 términos de una sucesión cuyo primer término es 3 y tiene razón 2.

  • A321
  • B32
  • C2(13)
  • D23
  • E231

P6:

En un progresión geométrica, 𝑎 es el primer término y 𝑟 es la razón.

Halla la suma de los primeros 3 términos de una progresión geométrica con 𝑎=328 y 𝑟=14.

  • A3692
  • B410
  • C5332
  • D8612

P7:

Halla una progresión geométrica finita sabiendo que el primer término es 324, el último término es 4 y la suma de todos los términos es 484.

  • A324,972,2916,,4
  • B324,972,2916,,4
  • C324,108,36,,4
  • D324,108,36,,4

P8:

Halla el cuarto término de una progresión geométrica sabiendo que 𝑆=10242, donde 𝑆 es la suma de sus primeros 𝑛 términos.

P9:

Halla los tres primeros términos positivos de una progresión geométrica sabiendo que su suma es 14 y que la suma de sus inversos multiplicativos es 6332.

  • A32, 6, y 24
  • B32, 38, y 332
  • C23, 83, y 323
  • D23, 16, y 124

P10:

Halla, en términos de 𝑙 y 𝑚, la razón de una progresión geométrica sabiendo que la suma de los primeros diez términos es 24𝑙 y la suma de los siguientes diez términos es 91𝑚.

  • A24𝑙91𝑚
  • B24𝑙91𝑚
  • C91𝑚24𝑙
  • D24𝑚91𝑙
  • E91𝑚24𝑙

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