Hoja de actividades: Series geométricas

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo derivar la fórmula para calcular sumas finitas de series geométricas y cómo usarla para resolver problemas prácticos.

P1:

A la suma de términos de una sucesión se le llama serie.

Una serie geométrica es la suma de una sucesión geométrica; una serie geométrica de 𝑛 términos puede escribirse como 𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟,() donde 𝑎 es el primer término y 𝑟 es la razón (el número por el que debes multiplicar un término de la sucesión para encontrar el siguiente, 𝑟1).

Encuentra la suma de los primeros 6 términos de la serie geométrica con 𝑎=24 y 𝑟=12.

  • A 1 1 5 8
  • B 8 1 2
  • C 4 7 1 4
  • D204
  • E 2 3 1 4

P2:

Una serie geométrica tiene como primer término 3 y su razón es 5. Encuentra la suma de los primeros 6 términos.

P3:

Calcula, con una precisión de dos decimales, la suma de la siguiente serie geométrica: 20+20(1.01)+20(1.01)++20(1.01).

P4:

Vamos a obtener una fórmula para la suma de una serie geométrica. Considera la siguiente serie geométrica 𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟.

Multiplica la expresión 𝑆 por la razón 𝑟, the common ratio.

  • A 𝑟 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟
  • B 𝑟 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟
  • C 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟
  • D 𝑟 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟
  • E 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟

De esta manera, obtendrás 𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟 and 𝑟𝑆=𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟.

El lado derecho de ambas ecuaciones son muy similares. Identifica los términos en los que difieren.

  • A 𝑎 , 𝑎 𝑟
  • B 𝑎 , 𝑎 𝑟
  • C 𝑎 , 𝑎 𝑟
  • D 𝑎 𝑟 , 𝑎 𝑟
  • E 𝑎 𝑟 , 𝑎 𝑟

Ahora, considera la diferencia 𝑆𝑟𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟.

Usa la respuesta anterior para simplificar 𝑆𝑟𝑆.

  • A 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑎 𝑟
  • B 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑟 𝑎 𝑟
  • C 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑟 𝑎 𝑟
  • D 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑎 𝑟
  • E 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑎 𝑟

Factoriza ambos lados de la ecuación.

  • A 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 𝑟 ( 1 𝑟 )
  • B 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 1 𝑟
  • C 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 𝑟 𝑟
  • D 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 ( 1 𝑟 )
  • E 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 1 𝑟

Despeja 𝑆 de la ecuación anterior.

  • A 𝑆 = 𝑎 ( 1 𝑟 ) 1 𝑟
  • B 𝑆 = 𝑎 1 𝑟 1 𝑟
  • C 𝑆 = 𝑎 𝑟 ( 1 𝑟 ) 1 𝑟
  • D 𝑆 = 𝑎 𝑟 𝑟 1 𝑟
  • E 𝑆 = 𝑎 1 𝑟 1 𝑟

P5:

Hay dos series geométricas cuyo primer término es 3 y cuyos tres primeros términos suman 21.

¿Cuál es la razón de estas series?

  • A2, 3
  • B 2 , 3
  • C3, 7
  • D 2 , 3
  • E 3 , 7

Escribe una expresión para la suma de los primeros 𝑛 términos de una sucesión cuyo primer término es 3 y tiene razón 2.

  • A 3 2
  • B 2 3 1
  • C 2 ( 1 3 )
  • D 3 2 1
  • E 2 3

P6:

En un progresión geométrica, 𝑎 es el primer término y 𝑟 es la razón.

Halla la suma de los primeros 3 términos de una progresión geométrica con 𝑎=328 y 𝑟=14.

  • A 5 3 3 2
  • B410
  • C 8 6 1 2
  • D 3 6 9 2

P7:

Halla una progresión geométrica finita sabiendo que el primer término es 324, el último término es 4 y la suma de todos los términos es 484.

  • A 3 2 4 , 9 7 2 , 2 9 1 6 , , 4
  • B 3 2 4 , 9 7 2 , 2 9 1 6 , , 4
  • C 3 2 4 , 1 0 8 , 3 6 , , 4
  • D 3 2 4 , 1 0 8 , 3 6 , , 4

P8:

Halla el cuarto término de una progresión geométrica sabiendo que 𝑆=10242, donde 𝑆 es la suma de sus primeros 𝑛 términos.

  • A32
  • B64
  • C16
  • D96
  • E48

P9:

Halla los tres primeros términos positivos de una progresión geométrica sabiendo que su suma es 14 y que la suma de sus inversos multiplicativos es 6332.

  • A 3 2 , 3 8 , y 332
  • B 2 3 , 1 6 , y 124
  • C 3 2 , 6, y 24
  • D 2 3 , 8 3 , y 323

P10:

Halla, en términos de 𝑙 y 𝑚, la razón de una progresión geométrica sabiendo que la suma de los primeros diez términos es 24𝑙 y la suma de los siguientes diez términos es 91𝑚.

  • A 9 1 𝑚 2 4 𝑙
  • B 9 1 𝑚 2 4 𝑙
  • C 2 4 𝑙 9 1 𝑚
  • D 2 4 𝑙 9 1 𝑚
  • E 2 4 𝑚 9 1 𝑙

P11:

Halla una progresión geométrica y la suma de sus primeros seis términos sabiendo que el segundo término es cuatro veces el cuarto, que la suma del cuarto y séptimo términos es 2 y que todos los términos son positivos.

  • A 𝑎 = 1 2 8 9 , 6 4 9 , 3 2 9 , , 𝑆 = 2 8
  • B 𝑎 = 1 3 6 , 1 1 8 , 1 9 , , 𝑆 = 3 1 3 6
  • C 𝑎 = 2 5 6 9 , 1 2 8 9 , 6 4 9 , , 𝑆 = 5 6
  • D 𝑎 = 1 3 6 , 1 1 8 , 1 9 , , 𝑆 = 7 4
  • E 𝑎 = 1 2 8 9 , 6 4 9 , 3 2 9 , , 𝑆 = 2 4 8 9

P12:

Calcula la suma de los primeros 20 términos de la progresión geométrica 1,1,07,1,07,1,07,. Redondea la respuesta a dos cifras decimales.

P13:

Calcula 322122+16611782, sabiendo que son términos consecutivos de una progresión geométrica.

  • A 2 4 9 1 1
  • B 6 1 5 9 4
  • C 9 1 8 9 1
  • D 8 7 2 2

P14:

Calcula la suma de los siguientes términos de una progresión geométrica: 176+88+44++11.

P15:

Determina una progresión geométrica, y la suma de sus primeros six términos, sabiendo que la suma de los términos second y fourth es 68 y que la suma de los términos third y fifth es 272.

  • A 𝑎 = ( 2 5 6 , 6 4 , 1 6 , ) , 𝑆 = 1 3 6 5 4
  • B 𝑎 = ( 2 5 6 , 6 4 , 1 6 , ) , 𝑆 = 3 4 1
  • C 𝑎 = 1 4 , 1 , 4 , , 𝑆 = 1 3 6 5 4
  • D 𝑎 = ( 1 , 4 , 1 6 , ) , 𝑆 = 1 3 6 5
  • E 𝑎 = ( 1 , 4 , 1 6 , ) , 𝑆 = 3 4 1

P16:

Halla la suma de los primeros 7 términos de la progresión geométrica que verifica 𝑎=8𝑎 y 𝑎+𝑎=64.

  • A 1 3 7 6 5
  • B 1 7 2 5
  • C 1 3 4 4 5
  • D 1 6 8 5
  • E 3 4 4 5

P17:

¿Cuántos términos de la progresión geométrica 𝑎=96×2 has de sumar para obtener 93?

P18:

De una progresión geométrica se sabe que su primer término es 1 y que el cuarto término es 125. Determina el número de términos que se han de sumar para obtener 7‎ ‎143.

P19:

De un tramo de una progresión geométrica, el primer término es 𝑎, la razón es 𝑟, y el último término es 𝑙.

Halla la suma de todos los términos de un tramo de una progresión geométrica con 𝑎=1408, 𝑟=12 y 𝑙=88.

P20:

Halla una progresión geométrica y la suma de sus primeros siete términos sabiendo que 15𝑎6𝑎=9𝑎, 𝑎=9 y que todos los términos son positivos.

  • A 𝑎 = 1 2 7 , 1 9 , 1 3 , , 𝑆 = 1 0 9 3 2 7
  • B 𝑎 = ( 2 8 8 , 1 4 4 , 7 2 , ) , 𝑆 = 5 6 7
  • C 𝑎 = 1 8 1 , 1 2 7 , 1 9 , , 𝑆 = 1 0 9 3 8 1
  • D 𝑎 = ( 2 8 8 , 1 4 4 , 7 2 , ) , 𝑆 = 1 1 4 3 2
  • E 𝑎 = 1 2 7 , 1 9 , 1 3 , , 𝑆 = 3 6 4 2 7

P21:

Halla la suma de los 6 primeros términos de la serie geométrica 12+14+18+116+.

  • A 3 1 1 2
  • B 3 1 3 2
  • C 1 5 1 2
  • D 6 3 6 4

P22:

Halla una progresión geométrica y la suma de sus primeros cinco términos sabiendo que la suma de los primeros tres términos es 1 y que la suma de los tres términos siguientes es 27.

  • A 𝑎 = 9 1 3 , 3 1 3 , 1 1 3 , , 𝑆 = 4 0 3 9
  • B 𝑎 = 1 1 3 , 3 1 3 , 9 1 3 , , 𝑆 = 1 2 1 1 3
  • C 𝑎 = 1 1 3 , 3 1 3 , 9 1 3 , , 𝑆 = 4 0 1 3
  • D 𝑎 = 9 1 3 , 3 1 3 , 1 1 3 , , 𝑆 = 1 2 1 1 1 7
  • E 𝑎 = 2 7 1 3 , 8 1 1 3 , 2 4 3 1 3 , , 𝑆 = 3 2 6 7 1 3

P23:

Halla el número de términos de la sucesión geométrica (23,69,207,) para los cuales la suma es igual a 2‎ ‎783.

P24:

Halla la suma de los primeros 6 términos de la progresión geométrica (405,135,45,).

  • A 1 8 2 0 3
  • B 1 8 2 5 6
  • C 1 6 0 3
  • D605

P25:

Halla la suma de la sucesión geométrica (16,32,64,,256).

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