Hoja de actividades de la lección: Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes Matemáticas

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden y de orden superior con coeficientes constantes.

P1:

Supongamos que hay funciones derivables 𝐢 y 𝑆, definidas para todos los nΓΊmeros reales, y que satisfacen 𝐢=π‘†οŽ˜ y 𝑆=𝐢.

A partir de las derivadas, ΒΏquΓ© puedes concluir sobre πΆβˆ’π‘†οŠ¨οŠ¨?

  • AπΆβˆ’π‘†οŠ¨οŠ¨ es una funciΓ³n constante.
  • BπΆβˆ’π‘†οŠ¨οŠ¨ es una funciΓ³n exponencial.
  • CπΆβˆ’π‘†οŠ¨οŠ¨ es una funciΓ³n hiperbΓ³lica.
  • DπΆβˆ’π‘†οŠ¨οŠ¨ siempre es igual a 0.
  • EπΆβˆ’π‘†οŠ¨οŠ¨ es una funciΓ³n trigonomΓ©trica.

Se sabe que cada funciΓ³n que satisface 𝑦′′=𝑦 es una combinaciΓ³n π‘Žπ‘’+π‘π‘’ο—οŠ±ο— para unas constantes π‘Ž y 𝑏. Halla todas las funciones 𝐢 que satisfacen 𝐢(0)=5 y πΆβˆ’π‘†=24, donde 𝑆=𝐢′.

  • A𝐢(π‘₯)=2π‘’βˆ’3π‘’ο—οŠ±ο— y 𝐢(π‘₯)=βˆ’3𝑒+2π‘’ο—οŠ±ο—
  • B𝐢(π‘₯)=βˆ’2π‘’βˆ’3π‘’ο—οŠ±ο— y 𝐢(π‘₯)=βˆ’3π‘’βˆ’2π‘’ο—οŠ±ο—
  • C𝐢(π‘₯)=βˆ’2𝑒+3π‘’ο—οŠ±ο— y 𝐢(π‘₯)=3π‘’βˆ’2π‘’ο—οŠ±ο—
  • D𝐢(π‘₯)=2𝑒+3π‘’ο—οŠ±ο— y 𝐢(π‘₯)=3𝑒+2π‘’ο—οŠ±ο—
  • E𝐢(π‘₯)=5𝑒+5π‘’ο—οŠ±ο— y 𝐢(π‘₯)=βˆ’5π‘’βˆ’5π‘’ο—οŠ±ο—

Al dibujar las grΓ‘ficas de la funciones de arriba vemos que 𝐢(π‘₯)=𝐴(π‘₯βˆ’π‘˜)cosh para unas constantes 𝐴 y π‘˜. Halla estas constantes, donde π‘˜>0.

  • A𝐴=2√6, π‘˜=32ln
  • B𝐴=2√6, π‘˜=3βˆ’22lnln
  • C𝐴=5, π‘˜=32ln
  • D𝐴=5, π‘˜=22ln
  • E𝐴=5, π‘˜=3βˆ’22lnln

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