Hoja de actividades: Inversa de una matriz de orden 3

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo hallar la inversa de una matriz cuadrada de orden tres.

P1:

Considera la siguiente matriz: 123021310 Determina si la matriz es invertible revisando si el determinante es cero o no. Si el determinante no se anula, encuentra su inversa usando la fórmula que involucra la matriz de cofactores.

  • ATiene una inversa, la cual es 12532562532592515425125225
  • BTiene una inversa, la cual es 12532542532592512562515225
  • CTiene una inversa, la cual es 113313413313913113613513213
  • DNo tiene inversa
  • ETiene una inversa, la cual es 113313613313913513413113213

P2:

Encuentra la inversa de la siguiente matriz: 𝑒𝑡𝑡𝑒𝑡𝑡𝑒𝑡𝑡.cossensencoscossen

  • A12𝑒12(𝑡+𝑡)12(𝑡𝑡)0𝑡𝑡12𝑒12(𝑡𝑡)12(𝑡+𝑡)sencossencossencossencossencos
  • B𝑒(𝑡+𝑡)(𝑡𝑡)02𝑡2𝑡𝑒(𝑡𝑡)(𝑡+𝑡)sencossencossencossencossencos
  • C12𝑒012𝑒12(𝑡+𝑡)𝑡𝑡12(𝑡𝑡)𝑡12(𝑡+𝑡)sencossencossencoscossencos
  • D12𝑒012𝑒12(𝑡+𝑡)𝑡12(𝑡𝑡)12(𝑡𝑡)𝑡12(𝑡+𝑡)sencossensencossencoscossencos
  • E𝑒0𝑒(𝑡+𝑡)2𝑡(𝑡𝑡)(𝑡𝑡)2𝑡(𝑡+𝑡)sencossensencossencoscossencos

P3:

Halla la inversa de la siguiente matriz: 𝐴=332161312.

  • A𝐴=174134151125191215
  • B𝐴=174134151125191215
  • C𝐴=180134151125191215
  • D𝐴=180131194121215515
  • E𝐴=180134151125191215

P4:

Usando tecnología, halla la inversa de la matriz 𝐴=110103052.

  • A𝐴=1171523223551
  • B𝐴=1131523223551
  • C𝐴=1131525225331
  • D𝐴=1131523223551
  • E𝐴=1171523223551

P5:

Considera la siguiente matriz: 𝐴=1𝑎𝑏01𝑐001 Halla su inversa sabiendo que es de la forma 𝐴=1𝑝𝑞01𝑟001, siendo 𝑝, 𝑞 y 𝑟 expresiones con 𝑎, 𝑏 y 𝑐 que han de ser determinadas.

  • A𝐴=1𝑎𝑎𝑐01𝑐001
  • B𝐴=1𝑎𝑎𝑐𝑏01𝑐001
  • C𝐴=1𝑎𝑏01𝑐001
  • D𝐴=1𝑎𝑎𝑐𝑏01𝑐001
  • E𝐴=1𝑎𝑎𝑐01𝑐001

P6:

Considera la matriz siguiente: 𝐴=𝐾𝑎𝑏0𝐿𝑐00𝑀.

Halla su inversa, sabiendo que es de la forma 𝐴=𝑋𝑝𝑞0𝑌𝑟00𝑍, con 𝑋, 𝑌, 𝑍, 𝑝, 𝑞 y 𝑟 expresiones en 𝐾, 𝐿, 𝑀, 𝑎, 𝑏 y 𝑐 que han de ser determinadas.

  • A𝐴=𝐿𝑀𝑎𝑀(𝑎𝑐+𝑏𝐿)0𝐾𝑀𝑐𝐾00𝐾𝐿,𝐾𝐿𝑀0 (es decir, ninguno de 𝐾,𝐿, o 𝑀 es cero)
  • B𝐴=1𝑎𝐿(𝑎𝑐𝑏𝐿)𝐿𝑀0𝐾𝐿𝑐𝐾𝐿𝑀00𝐾𝑀,𝐿𝑀0 (es decir, ninguno de 𝐿 o 𝑀 es cero)
  • C𝐴=1𝐾𝑎𝐾𝐿(𝑎𝑐𝑏𝐿)𝐾𝐿𝑀01𝐿𝑐𝐿𝑀001𝑀,𝐾𝐿𝑀0 (es decir, ninguno de 𝐾,𝐿, o 𝑀 es cero)
  • D𝐴=𝐿𝑀𝑎𝑀(𝑎𝑐𝑏𝐿)0𝐾𝑀𝑐𝐾00𝐾𝐿,𝐾𝐿𝑀0 (es decir, ninguno de 𝐾,𝐿, o 𝑀 es cero)
  • E𝐴=1𝐾𝑎𝐾𝐿(𝑎𝑐+𝑏𝐿)𝐾𝐿𝑀01𝐿𝑐𝐿𝑀001𝑀,𝐾𝐿𝑀0 (es decir, ninguno de 𝐾,𝐿, o 𝑀 es cero)

P7:

Usando operaciones elementales por filas, halla 𝐴, si es posible, para la matriz 𝐴=3585123124721353.

  • A𝐴=3215252302101101
  • BLa matriz no tiene inversa.
  • C𝐴=143215252302101101
  • D𝐴=2523321502101101
  • E𝐴=1432152166208401211

P8:

Halla la matriz de cofactores de 𝐴=758372048.

  • A758372048
  • B48241285628463864
  • C48241285628463864
  • D48846245638122864

P9:

Sabiendo que 𝐴=587601548, determina el valor de 𝐴.

P10:

Calcula, si existe, la inversa de la matriz 120021311.

  • A172727371717675727
  • B173767271757271727
  • C15356525151251525
  • D15252535151565125
  • E173767271757271727

P11:

Considera la matriz 133241011. Determina si la matriz tiene inversa calculando su determinante y observando si es nulo o no. Si el determinante no es nulo, halla la matriz inversa aplicando la fórmula de la matriz de cofactores.

  • ATiene inversa, y vale 123230131335323.
  • BNo tiene inversa.
  • CTiene inversa, y vale 34121201414945412.
  • DTiene inversa, y vale 34094121454121412.
  • ETiene inversa, y vale 103231353231323.

P12:

Considera la siguiente matriz: 103101310. Decide si esta matriz tiene inversa examinando si el determinante es distinto de cero o no. Si el determinante es distinto de cero, encuentra la inversa de esta matriz usando la fórmula para la inversa que involucra la matriz de cofactores.

  • ANo tiene inversa ya que su determinante es cero.
  • BSí tiene inversa, la cual es 123212329212010.
  • CSí tiene inversa, la cual es 123203292112120.
  • DSí tiene inversa, la cual es 131391020.
  • ESí tiene inversa, la cual es 130392110.

P13:

Considera la matriz 123021267 Determina si tiene inversa calculando su determinante y observando si es nulo o no. Si el determinante no es nulo, calcula la inversa aplicando la fórmula que hace uso de la matriz de cofactores.

  • ANo hay inversa puesto que el determinante es nulo.
  • B824412412
  • C824412412
  • D844211422
  • E844211422

P14:

Usa la fórmula de la matriz inversa en términos de la matriz de cofactores y halla la inversa de la matriz siguiente: 𝑒000𝑒𝑡𝑒𝑡0𝑒𝑡𝑒𝑡𝑒𝑡+𝑒𝑡.cossencossencossen

  • A𝑒000𝑒(𝑡+𝑡)𝑒𝑡𝑡0𝑒𝑡𝑒𝑡cossencossensencos
  • B𝑒000𝑒(𝑡+𝑡)𝑒𝑡0𝑒(𝑡𝑡)𝑒𝑡cossensencossencos
  • C𝑒000𝑒(𝑡+𝑡)𝑒𝑡0𝑒(𝑡𝑡)𝑒𝑡cossensencossencos
  • D𝑒000𝑒(𝑡+𝑡)𝑒𝑡0𝑒(𝑡𝑡)𝑒𝑡cossensencossencos
  • E𝑒000𝑒(𝑡+𝑡)𝑒𝑡0𝑒(𝑡𝑡)𝑒𝑡cossensencossencos

P15:

¿Hay algún valor de 𝑡 para el cual la matriz 𝑒𝑒cos𝑡𝑒sen𝑡𝑒𝑒cos𝑡𝑒sen𝑡𝑒sen𝑡+𝑒cos𝑡𝑒2𝑒sen𝑡2𝑒cos𝑡 no tenga inversa?

  • Así, 𝑡=1
  • Bsí, 𝑡=0
  • Cno
  • Dsí, 𝑡=2
  • Esí, 𝑡=1

P16:

Dada la matriz 1𝑡𝑡012𝑡𝑡02, ¿Existe un valor de 𝑡 para el cual la matriz deja de tener inversa?

  • ASí existe un valor, cuando 𝑡=2.
  • BSí existe un valor, cuando 𝑡=2.
  • CSí existe un valor, cuando 𝑡=1.
  • DSí existe un valor, cuando 𝑡=23.
  • ESí existe un valor, cuando 𝑡=23.

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