Hoja de actividades: El teorema del emparedado

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo usar el teorema del emparedado, que se aplica cuando el valor de una función está acotado por arriba y por abajo por los valores de otras dos funciones, para calcular límites.

P1:

Considera el siguiente arco de un círculo unitario, en donde el rayo 𝑂𝑃 está inclinado a 𝜃 radianes.

¿Cuáles, en términos de 𝜃, son las coordenadas de 𝑃?

  • A(1,𝜃)cotg
  • B(1,𝜃)cos
  • C(1,𝜃)sen
  • D(1,𝜃)tg

Escribe las siguientes desigualdades en términos de sen𝜃, 𝜃, y cos𝜃: 𝑄𝑅<𝑇𝑄<𝑇𝑃.longituddearcodea

  • Acossencos𝜃<𝜃<𝜃𝜃
  • Bsencotg𝜃<𝜃<𝜃
  • Csensencos𝜃<𝜃<𝜃𝜃
  • Dsencoscos𝜃𝜃<𝜃<𝜃

Dividiendo primero las desigualdades de arriba por sen𝜃, y usando luego el teorema del emparedado y el hecho de que limcos𝜃=1, ¿cuál de las siguientes conclusiones puedes sacar?

  • Alimsen𝜃𝜃 no existe.
  • Blimsen𝜃𝜃=0
  • Climsen𝜃𝜃=1

P2:

Calcula limcos𝑥2𝑥 usando el teorema del emparedado.

P3:

La figura muestra las gráficas de las funciones 𝐴 y 𝐵 con 𝐴(𝑥)𝐵(𝑥) para 𝑥 entre 2 y 3.8.

¿Qué dice el teorema del emparedado acerca de cualquier función continua 𝑓 cuya gráfica esté en la región sombreada sobre el intervalo (2,3.8)?

  • Alim𝑓(𝑥)=2
  • Blim𝑓(𝑥)=1
  • Clim𝑓(𝑥)=12
  • Dlim𝑓(𝑥)=3
  • EEl límite no existe.

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