Hoja de actividades: Derivadas direccionales y el vector gradiente

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo calcular derivadas direccionales y el vector gradiente de funciones de 2 o 3 variables.

P1:

Halla la derivada de ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=๐‘ฅ+๐‘ฆโˆ’1๏Šจ๏Šจ en el punto (1,1) respecto a la direcciรณn del vector ๐‘ฃ=๏€ฟ1โˆš2,1โˆš2๏‹.

  • A2โˆš2
  • B4
  • C4โˆš2
  • D3โˆš2
  • Eโˆš2

P2:

Halla la derivada de ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=๐‘ฅ๐‘’๏Šจ๏˜ en el punto (1,1) y en la direcciรณn del vector ๐‘ฃ=๏€ฟ1โˆš2,1โˆš2๏‹.

  • A2๐‘’โˆš2๏Šจ
  • B2โˆš2๐‘’
  • C2๐‘’โˆš2
  • D3๐‘’โˆš2
  • E3๐‘’โˆš2๏Šจ

P3:

Halla la derivada direccional de ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)=๐‘ฅ๐‘’๏Šจ๏˜๏™ en el punto (1,1,1) en la direcciรณn de ๐‘ฃ=๏€ฟ1โˆš3,1โˆš3,1โˆš3๏‹.

  • A4๐‘’
  • B4๐‘’โˆš3
  • C๐‘’โˆš3
  • D3๐‘’โˆš3
  • E2๐‘’โˆš3

P4:

Halla la derivada direccional de ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)=๐‘ฅ๐‘ฆ๐‘งsen en el punto (1,1,1) en la direcciรณn de v=๏€ฟ1โˆš3,1โˆš3,1โˆš3๏‹.

  • A3โˆš31cos
  • Bcos1โˆš3
  • Cโˆš31cos
  • Dโˆš3
  • E3โˆš3

P5:

Encuentra la derivada direccional de ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=1๐‘ฅ+๐‘ฆ๏Šจ๏Šจ en el punto (1,1) en la direcciรณn de ๐‘ฃ=๏€ฟ1โˆš2,1โˆš2๏‹.

  • Aโˆš22
  • Bโˆ’3โˆš22
  • Cโˆ’โˆš22
  • Dโˆ’โˆš2
  • Eโˆš2

P6:

Calcula la derivada de la funciรณn ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=โˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+4๏Šจ๏Šจ en el punto (1,1) y en la direcciรณn de ๐‘ฃ=๏€ฟ1โˆš2,1โˆš2๏‹.

  • Aโˆš33
  • Bโˆš3
  • C3โˆš22
  • Dโˆš22
  • E2โˆš33

P7:

Calcula el gradiente de ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=โˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+4๏Šจ๏Šจ.

  • A๏€ฟ2๐‘ฅโˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+4,2๐‘ฆโˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+4๏‹๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ
  • B๏€ฟ๐‘ฆโˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+4,๐‘ฅโˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+4๏‹๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ
  • C๏€ฟ๐‘ฅโˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+4,๐‘ฆโˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+4๏‹๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ
  • D๏€ป๐‘ฅโˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+4,๐‘ฆโˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+4๏‡๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ
  • E๏€ฟ2๐‘ฆโˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+4,2๐‘ฅโˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+4๏‹๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ

P8:

En un sรณlido, la temperatura ๐‘‡ varรญa de un punto a otro y viene dada por la funciรณn ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)=๐‘’+๐‘’+๐‘’๏Šฑ๏—๏Šฑ๏Šจ๏˜๏Šช๏™, donde ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘ง son coordenadas cartesianas con el origen en el centro del sรณlido. ยฟEn quรฉ direcciรณn desde el punto (3,1,2) disminuye la temperatura mรกs rรกpidamente?

  • A๐‘‡ disminuye mรกs rรกpidamente en la direcciรณn de ๏€นโˆ’๐‘’,โˆ’2๐‘’,4๐‘’๏…๏Šฑ๏Šฉ๏Šฑ๏Šจ๏Šฎ.
  • B๐‘‡ disminuye mรกs rรกpidamente en la direcciรณn de ๏€น๐‘’,2๐‘’,โˆ’4๐‘’๏…๏Šฑ๏Šง๏Šฑ๏Šฌ๏Šฎ.
  • C๐‘‡ disminuye mรกs rรกpidamente en la direcciรณn de ๏€น๐‘’,2๐‘’,โˆ’4๐‘’๏…๏Šฑ๏Šฉ๏Šฑ๏Šจ๏Šฎ.
  • D๐‘‡ disminuye mรกs rรกpidamente en la direcciรณn de ๏€นโˆ’๐‘’,โˆ’2๐‘’,4๐‘’๏…๏Šฑ๏Šง๏Šฑ๏Šฌ๏Šฎ.

P9:

ยฟEn quรฉ direcciรณn la funciรณn ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=๐‘ฅ+๐‘ฅ๐‘ฆ๏Šจ๏Šฉ crece mรกs rรกpido en el punto (2,3)? ยฟEn quรฉ direcciรณn decrece mรกs rรกpido? Da tus respuestas usando vectores unitarios.

  • A๐‘“ crece mรกs rรกpido en la direcciรณn de ๏€ฟโˆ’29โˆš941,โˆ’10โˆš941๏‹ y decrece mรกs rรกpido en la direcciรณn de ๏€ฟ29โˆš941,10โˆš941๏‹
  • B๐‘“ crece mรกs rรกpido en la direcciรณn de ๏€ฟ29โˆš941,10โˆš941๏‹ y decrece mรกs rรกpido en la direcciรณn de ๏€ฟโˆ’29โˆš941,โˆ’10โˆš941๏‹
  • C๐‘“ crece mรกs rรกpido en la direcciรณn de ๏€ฟ9โˆš97,4โˆš97๏‹ y decrece mรกs rรกpido en la direcciรณn de ๏€ฟโˆ’9โˆš97,โˆ’4โˆš97๏‹
  • D๐‘“ crece mรกs rรกpido en la direcciรณn de ๏€ฟโˆ’9โˆš97,โˆ’4โˆš97๏‹ y decrece mรกs rรกpido en la direcciรณn de ๏€ฟ9โˆš97,4โˆš97๏‹

P10:

Calcula el gradiente de la funciรณn ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=2๐‘ฅ+5๐‘ฆ

  • A๏€ผ15,12๏ˆ
  • B๏€ผ12,15๏ˆ
  • C(2๐‘ฅ,5๐‘ฆ)
  • D(2,5)
  • E(5,2)

P11:

Halla el gradiente de ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=๐‘ฅ+๐‘ฆโˆ’1๏Šจ๏Šจ.

  • A(๐‘ฅ,๐‘ฆ)
  • B(2๐‘ฆโˆ’1,2๐‘ฅโˆ’1)
  • C(2๐‘ฅโˆ’1,2๐‘ฆโˆ’1)
  • D(2๐‘ฆ,2๐‘ฅ)
  • E(2๐‘ฅ,2๐‘ฆ)

P12:

Encuentra el gradiente de ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=๐‘ฅ๐‘ฆ.ln

  • A๏€ฝ1๐‘ฅ๐‘ฆ,1๐‘ฅ๐‘ฆ๏‰
  • B(๐‘ฅ,๐‘ฆ)lnln
  • C(๐‘ฅ,๐‘ฆ)
  • D๏€ฝ1๐‘ฆ,1๐‘ฅ๏‰
  • E๏€ฝ1๐‘ฅ,1๐‘ฆ๏‰

P13:

Calcula el gradiente de la funciรณn ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=๐‘ฅ๐‘’๏Šจ๏˜.

  • A(2๐‘’,๐‘ฅ)๏˜๏˜
  • B๏€น๐‘ฅ๐‘’,2๐‘ฅ๐‘’๏…๏Šจ๏˜๏˜
  • C๏€น2๐‘ฅ๐‘’,๐‘ฆ๐‘’๏…๏˜๏Šจ๏˜
  • D(๐‘ฅ,2๐‘’)๏˜๏˜
  • E๏€น2๐‘ฅ๐‘’,๐‘ฅ๐‘’๏…๏˜๏Šจ๏˜

P14:

Encuentra el gradiente de ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=1๐‘ฅ+๐‘ฆ๏Šจ๏Šจ.

  • A๏€ฝ2๐‘ฅ(๐‘ฅ+๐‘ฆ),2๐‘ฆ(๐‘ฅ+๐‘ฆ)๏‰๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ
  • B๏€ฟโˆ’2๐‘ฅ(๐‘ฅ+๐‘ฆ),โˆ’2๐‘ฆ(๐‘ฅ+๐‘ฆ)๏‹๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ
  • C๏€ฟโˆ’๐‘ฅ(๐‘ฅ+๐‘ฆ),โˆ’๐‘ฆ(๐‘ฅ+๐‘ฆ)๏‹๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ
  • D๏€ฝโˆ’2๐‘ฅ(๐‘ฅ+๐‘ฆ),2๐‘ฆ(๐‘ฅ+๐‘ฆ)๏‰๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ
  • E๏€ฟ2๐‘ฅ(๐‘ฅ+๐‘ฆ),โˆ’2๐‘ฆ(๐‘ฅ+๐‘ฆ)๏‹๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ

P15:

Calcula el gradiente de ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)=๐‘ฅ+๐‘ฆ+๐‘ง.๏Šจ๏Šจ๏Šจ

  • A(2๐‘ฅ,2๐‘ง,2๐‘ฆ)
  • B(2๐‘ฆ,2๐‘ฅ,2๐‘ง)
  • C(2,2,2)
  • D(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)
  • E(2๐‘ฅ,2๐‘ฆ,2๐‘ง)

P16:

Determina el gradiente de ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)=๐‘ฅ๐‘’.๏Šจ๏˜๏™

  • A๏€น๐‘ฅ๐‘ง๐‘’,2๐‘ฅ๐‘’,๐‘ฅ๐‘ฆ๐‘’๏…๏Šจ๏˜๏™๏˜๏™๏Šจ๏˜๏™
  • B๏€น๐‘ฅ๐‘ฆ๐‘’,๐‘ฅ๐‘ง๐‘’,2๐‘ฅ๐‘’๏…๏Šจ๏˜๏™๏Šจ๏˜๏™๏˜๏™
  • C๏€น๐‘ฅ๐‘ง๐‘’,๐‘ฅ๐‘ฆ๐‘’,2๐‘ฅ๐‘’๏…๏Šจ๏˜๏™๏Šจ๏˜๏™๏˜๏™
  • D๏€น2๐‘ฅ๐‘’,๐‘ฅ๐‘ง๐‘’,๐‘ฅ๐‘ฆ๐‘’๏…๏˜๏™๏Šจ๏˜๏™๏Šจ๏˜๏™
  • E๏€น2๐‘ฆ๐‘’,๐‘ฆ๐‘ง๐‘’,๐‘ฆ๐‘’๏…๏—๏™๏Šจ๏—๏™๏Šจ๏—๏™

P17:

Calcula el gradiente de ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)=๐‘ฅ๐‘ฆ๐‘ง.sen

  • A(๐‘ฆ๐‘ง๐‘ฅ๐‘ฆ๐‘ง,๐‘ฅ๐‘ง๐‘ฅ๐‘ฆ๐‘ง,๐‘ฅ๐‘ฆ๐‘ฅ๐‘ฆ๐‘ง)coscoscos
  • B(๐‘ฆ๐‘ง,๐‘ฅ๐‘ง,๐‘ฅ๐‘ฆ)
  • C(๐‘ฅ๐‘ง,๐‘ฆ๐‘ง,๐‘ฅ๐‘ฆ)
  • D(๐‘ฆ๐‘ง๐‘ฅ๐‘ฆ๐‘ง,๐‘ฅ๐‘ฆ๐‘ฅ๐‘ฆ๐‘ง,๐‘ฅ๐‘ง๐‘ฅ๐‘ฆ๐‘ง)coscoscos
  • E(๐‘ฅ๐‘ง๐‘ฅ๐‘ฆ๐‘ง,๐‘ฆ๐‘ง๐‘ฅ๐‘ฆ๐‘ง,๐‘ฅ๐‘ฆ๐‘ฅ๐‘ฆ๐‘ง)coscoscos

P18:

Calcula el gradiente de ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)=โˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+๐‘ง.๏Šจ๏Šจ๏Šจ

  • A๏€ฟ๐‘ฅโˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+๐‘ง,๐‘ฆโˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+๐‘ง,๐‘งโˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+๐‘ง๏‹๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ
  • B๏€ฝ๐‘ฅ๐‘ฅ+๐‘ฆ+๐‘ง,๐‘ฆ๐‘ฅ+๐‘ฆ+๐‘ง,๐‘ง๐‘ฅ+๐‘ฆ+๐‘ง๏‰๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ
  • C๏€ฟ๐‘ฅโˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+๐‘ง,๐‘งโˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+๐‘ง,๐‘ฆโˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+๐‘ง๏‹๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ
  • D๏€ฟ๐‘ฆโˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+๐‘ง,๐‘ฅโˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+๐‘ง,๐‘งโˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+๐‘ง๏‹๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ
  • E๏€ฟ1โˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+๐‘ง,1โˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+๐‘ง,1โˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+๐‘ง๏‹๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ

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