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Hoja de actividades: Derivadas direccionales y el vector gradiente

P1:

En un sólido, la temperatura varía de un punto a otro y viene dada por la función , donde , , son coordenadas cartesianas con el origen en el centro del sólido. ¿En qué dirección desde el punto disminuye la temperatura más rápidamente?

  • A disminuye más rápidamente en la dirección de .
  • B disminuye más rápidamente en la dirección de .
  • C disminuye más rápidamente en la dirección de .
  • D disminuye más rápidamente en la dirección de .

P2:

Halla la derivada direccional de 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) = 𝑥 𝑒 2 𝑦 𝑧 en el punto ( 1 , 1 , 1 ) en la dirección de 𝑣 = 1 3 , 1 3 , 1 3 .

  • A 4 𝑒
  • B 3 𝑒 3
  • C 2 𝑒 3
  • D 4 𝑒 3
  • E 𝑒 3

P3:

Calcula el gradiente de 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 𝑥 + 𝑦 + 4 2 2 .

  • A 2 𝑥 𝑥 + 𝑦 + 4 , 2 𝑦 𝑥 + 𝑦 + 4 2 2 2 2
  • B 𝑦 𝑥 + 𝑦 + 4 , 𝑥 𝑥 + 𝑦 + 4 2 2 2 2
  • C 2 𝑦 𝑥 + 𝑦 + 4 , 2 𝑥 𝑥 + 𝑦 + 4 2 2 2 2
  • D 𝑥 𝑥 + 𝑦 + 4 , 𝑦 𝑥 + 𝑦 + 4 2 2 2 2
  • E 𝑥 𝑥 + 𝑦 + 4 , 𝑦 𝑥 + 𝑦 + 4 2 2 2 2

P4:

Halla la derivada de 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 𝑥 𝑒 2 𝑦 en el punto ( 1 , 1 ) y en la dirección del vector 𝑣 = 1 2 , 1 2 .

  • A 2 𝑒 2 2
  • B 2 𝑒 2
  • C 3 𝑒 2 2
  • D 3 𝑒 2
  • E 2 2 𝑒

P5:

Encuentra la derivada direccional de en el punto en la dirección de .

  • A
  • B
  • C
  • D
  • E

P6:

Calcula la derivada de la función 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 𝑥 + 𝑦 + 4 2 2 en el punto ( 1 , 1 ) y en la dirección de 𝑣 = 1 2 , 1 2 .

  • A 3
  • B 2 3 3
  • C 2 2
  • D 3 3
  • E 3 2 2

P7:

Halla la derivada de 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 𝑥 + 𝑦 1 2 2 en el punto ( 1 , 1 ) respecto a la dirección del vector 𝑣 = 1 2 , 1 2 .

  • A 3 2
  • B 4 2
  • C 2
  • D 2 2
  • E4

P8:

¿En qué dirección la función 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 2 3 crece más rápido en el punto ( 2 , 3 ) ? ¿En qué dirección decrece más rápido? Da tus respuestas usando vectores unitarios.

  • A 𝑓 crece más rápido en la dirección de 2 9 9 4 1 , 1 0 9 4 1 y decrece más rápido en la dirección de 2 9 9 4 1 , 1 0 9 4 1
  • B 𝑓 crece más rápido en la dirección de 9 9 7 , 4 9 7 y decrece más rápido en la dirección de 9 9 7 , 4 9 7
  • C 𝑓 crece más rápido en la dirección de 2 9 9 4 1 , 1 0 9 4 1 y decrece más rápido en la dirección de 2 9 9 4 1 , 1 0 9 4 1
  • D 𝑓 crece más rápido en la dirección de 9 9 7 , 4 9 7 y decrece más rápido en la dirección de 9 9 7 , 4 9 7

P9:

Halla la derivada direccional de 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) = 𝑥 𝑦 𝑧 s e n en el punto ( 1 , 1 , 1 ) en la dirección de v = 1 3 , 1 3 , 1 3 .

  • A c o s 1 3
  • B 3 3 1 c o s
  • C 3
  • D 3 1 c o s
  • E 3 3