Hoja de actividades: El teorema de Green

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo aplicar el teorema de Green para convertir integrales curvilíneas en el plano en integrales de área.

P1:

Sea 𝐶 el círculo con ecuación 𝑥 + 𝑦 = 1 . Utiliza el teorema de Green para calcular 2 𝑦 𝑥 3 𝑥 𝑦 d d , donde 𝐶 se recorre en sentido antihorario.

  • A 5 𝜋
  • B 1 0 𝜋
  • C 1 0 𝜋
  • D 5 𝜋
  • E 𝜋

P2:

Usa el teorema de Green para calcular la integral 𝑥 𝑦 d 𝑥 + 2 𝑥 𝑦 d 𝑦 , donde la curva 𝐶 es el borde de la región 𝑅 = ( 𝑥 , 𝑦 ) 0 𝑥 1 , 𝑥 𝑦 𝑥 , que ha de ser recorrido en sentido antihorario.

  • A 1 1 2
  • B0
  • C 5 1 2
  • D 1 1 2
  • E 5 1 2

P3:

Sea 𝐶 el borde del triángulo d vértices ( 0 , 0 ) , ( 4 , 0 ) y ( 0 , 4 ) . Utiliza el teorema d Green para calcular 𝑒 + 𝑦 d 𝑥 + 𝑒 + 𝑥 d 𝑦 , donde 𝐶 se recorre en sentido antihorario.

P4:

Evalúa 𝑥 + 𝑦 d 𝑥 + 2 𝑥 𝑦 d 𝑦 , donde 𝐶 : 𝑥 = c o s 𝑡 , 𝑦 = s e n 𝑡 , 0 𝑡 2 𝜋 .

P5:

Calcula 𝑥 𝑥 + 𝑦 𝑦 𝐶 d d , donde 𝐶 𝑥 = 2 𝑡 , 𝑦 = 3 𝑡 , 0 𝑡 2 𝜋 : c o s s e n .

P6:

Sea 𝐶 el borde d un rectángulo d vértices ( 1 , 1 ) , ( 1 , 1 ) , ( 1 , 1 ) y ( 1 , 1 ) . Utiliza el teorema d Green y calcula 𝑒 s e n 𝑦 d 𝑥 + 𝑦 + 𝑒 c o s 𝑦 d 𝑦 , donde 𝐶 se recorre en sentido antihorario.

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