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Hoja de actividades: El teorema de Green

P1:

Sea 𝐶 el círculo con ecuación 𝑥 + 𝑦 = 1 2 2 . Utiliza el teorema de Green para calcular  2 𝑦 𝑥 − 3 𝑥 𝑦 𝐶 d d , donde 𝐶 se recorre en sentido antihorario.

  • A 5 𝜋
  • B − 1 0 𝜋
  • C 1 0 𝜋
  • D − 5 𝜋
  • E 𝜋

P2:

Sea 𝐶 el borde del triángulo de vértices ( 0 , 0 ) , ( 4 , 0 ) y ( 0 , 4 ) . Utiliza el teorema de Green para calcular   𝑒 + 𝑦  𝑥 +  𝑒 + 𝑥  𝑦 𝐶 𝑥 2 𝑦 2 2 2 d d , donde 𝐶 se recorre en sentido antihorario.

P3:

Calcula  𝑥 𝑥 + 𝑦 𝑦 𝐶 d d , donde 𝐶 𝑥 = 2 𝑡 , 𝑦 = 3 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2 𝜋 : c o s s e n .

P4:

Sea 𝐶 el borde de un rectángulo de vértices ( 1 , − 1 ) , ( 1 , 1 ) , ( − 1 , 1 ) y ( − 1 , − 1 ) . Utiliza el teorema de Green y calcula  𝑒 𝑦 𝑥 +  𝑦 + 𝑒 𝑦  𝑦 𝐶 𝑥 3 𝑥 s e n d c o s d , donde 𝐶 se recorre en sentido antihorario.

P5:

Usa el teorema de Green para calcular la integral  𝑥 𝑦 𝑥 + 2 𝑥 𝑦 𝑦 𝐶 2 d d , donde la curva 𝐶 es el borde de la región 𝑅 =  ( 𝑥 , 𝑦 ) ∶ 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 , 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥  2 , que ha de ser recorrido en sentido antihorario.

  • A − 1 1 2
  • B0
  • C − 5 1 2
  • D 1 1 2
  • E 5 1 2

P6:

Evalúa   𝑥 + 𝑦  𝑥 + 2 𝑥 𝑦 𝑦 𝐶 2 2 d d , donde 𝐶 𝑥 = 𝑡 , 𝑦 = 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2 𝜋 : c o s s e n .