Hoja de actividades: Valores propios de una matriz

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo determinar los valores propios de una matriz cuadrada no nula hallando los valores escalares que satisfacen su ecuación característica.

P1:

ΒΏEs posible que el ΓΊnico valor propio de una matriz no nula, sea cero?

  • ASΓ­
  • BNo

P2:

Sea 𝑇 la transformaciΓ³n linear asociada a la simetrΓ­a axial de vectores en β„οŠ¨ con respecto al eje π‘₯. Representa 𝑇 como una matriz y halla sus autovalores y sus vectores propios.

  • A 𝑇 = ο€Ό 1 0 0 βˆ’ 1  . Sus autovalores son βˆ’1, con vector propio correspondiente ο€Ό01, y 1, con vector propio correspondiente ο€Ό1βˆ’1.
  • B 𝑇 = ο€Ό 1 0 0 βˆ’ 1  . Sus autovalores son βˆ’1, con vector propio correspondiente ο€Ό01, y 1, con vector propio correspondiente ο€Ό10.
  • C 𝑇 = ο€Ό 0 4 2 βˆ’ 1  . Sus autovalores son 2, con vector propio correspondiente ο€Ό21, y 4, con vector propio correspondiente ο€Ό11.
  • D 𝑇 = ο€Ό 1 βˆ’ 1 1 2 βˆ’ 5  . Sus autovalores son βˆ’2, con vector propio correspondiente ο€Όβˆ’11, y 2, con vector propio correspondiente ο€Όβˆ’11.
  • E 𝑇 = ο€Ό 0 4 2 βˆ’ 1  . Sus autovalores son 2, con vector propio correspondiente ο€Ό23, y 4, con vector propio correspondiente ο€Ό11.

P3:

Sea 𝑇 la transformaciΓ³n lineal que refleja todos los vectores de β„οŠ© en el plano π‘‹π‘Œ. Representa 𝑇 como una matriz y halla sus valores y vectores propios.

  • A 𝑇 =  1 0 0 0 1 0 0 0 1  . Su ΓΊnico valor propio es 1, con los correspondientes vectores propios 010 y 100.
  • B 𝑇 =  1 0 0 0 βˆ’ 1 0 0 0 βˆ’ 1  . Sus valores propios son βˆ’1, con el correspondiente vector propio 001, y 1, con los correspondientes vectores propios 010 y 100.
  • C 𝑇 =  1 0 0 0 1 0 0 0 1  . Su ΓΊnico valor propio es 1, con los correspondientes vectores propios 010 y 111.
  • D 𝑇 =  1 0 0 0 1 0 0 0 βˆ’ 1  . Sus valores propios son βˆ’1, con el correspondiente vector propio 001, y 1, con los correspondientes vectores propios 010 y 100.
  • E 𝑇 =  1 0 0 0 1 0 0 0 βˆ’ 1  . Sus valores propios son βˆ’1, con el correspondiente vector propio 001, y 1, con los correspondientes vectores propios 011 y 100.

P4:

Encuentra una base ortonormal de vectores propios para la siguiente matriz: 𝑐000π‘Žβˆ’π‘0π‘π‘Žο.

  • A   0 βˆ’ 𝑖 1   ⟷ π‘Ž + 𝑖 𝑏 ,   0 𝑖 1   ⟷ π‘Ž βˆ’ 𝑖 𝑏 ,   1 0 0   ⟷ 𝑐
  • B   0 𝑖 1   ⟷ π‘Ž + 𝑖 𝑏 ,   0 𝑖 1   ⟷ π‘Ž βˆ’ 𝑖 𝑏 ,   1 0 0   ⟷ 𝑐
  • C   0 𝑖 1   ⟷ π‘Ž βˆ’ 𝑖 𝑏 ,   0 𝑖 1   ⟷ π‘Ž + 𝑖 𝑏 ,   1 0 0   ⟷ 𝑐
  • D   0 𝑖 1   ⟷ π‘Ž βˆ’ 𝑖 𝑏 ,   0 𝑖 βˆ’ 1   ⟷ π‘Ž + 𝑖 𝑏 ,   βˆ’ 1 0 0   ⟷ 𝑐
  • E   0 βˆ’ 𝑖 1   ⟷ π‘Ž βˆ’ 𝑖 𝑏 ,   0 𝑖 1   ⟷ π‘Ž + 𝑖 𝑏 ,   1 0 0   ⟷ 𝑐

P5:

Encuentra los vectores y valores propios de la matriz 𝑐0000βˆ’π‘0𝑏0,, donde 𝑏 y 𝑐 son nΓΊmeros reales.

  • ASus valores y vectores propios son: 𝑐 con vector propio 100, 𝑖𝑏 con vector propio 0βˆ’π‘–1 y βˆ’π‘–π‘ con vector propio 0𝑖1.
  • BSus valores y vectores propios son: 𝑐 con vector propio 100, βˆ’π‘–π‘ con vector propio 0βˆ’π‘–1 y 𝑖𝑏 con vector propio 0𝑖1.
  • CSus valores y vectores propios son: 𝑐 con vector propio 100, βˆ’π‘–π‘ con vector propio 0βˆ’π‘–1 y 𝑖𝑏 con vector propio 0βˆ’π‘–1.
  • DSus valores y vectores propios son: βˆ’π‘ con vector propio ο€βˆ’100, βˆ’π‘–π‘ con vector propio 0βˆ’π‘–1 y 𝑖𝑏 con vector propio 0𝑖1.
  • ESus valores y vectores propios son: 1 con vector propio 𝑐00, βˆ’π‘– con vector propio 0βˆ’π‘–π‘π‘ο y 𝑖 con vector propio 0𝑖𝑏𝑏.

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