Hoja de actividades: La esperanza y la varianza de una variable aleatoria discreta

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo calcular la esperanza y la varianza de una variable aleatoria discreta a partir de una tabla y de un gráfico.

P1:

Determina el valor esperado de la variable aleatoria 𝑋 cuya distribución de probabilidad se muestra a continuación.

P2:

Esta tabla de frecuencias muestra los coches que poseen 65 familias:

Número de coches 1 2 3 4
Frecuencia 10 35 15 5

Calcula la media de coches por familia.

  • A 2 2 9
  • B 1 3 2
  • C 2 9 2
  • D 1 3 2 9
  • E 2 9 1 3

Con los datos se puede construir una distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta 𝑋. ¿Cuánto valen 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑?

𝑥 1 2 3 4
𝑝 ( ) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
  • A 𝑎 = 2 1 3 , 𝑏 = 7 1 3 , 𝑐 = 9 1 3 , 𝑑 = 1 1 3
  • B 𝑎 = 1 1 0 , 𝑏 = 2 3 5 , 𝑐 = 1 5 , 𝑑 = 4 5
  • C 𝑎 = 2 1 3 , 𝑏 = 7 1 3 , 𝑐 = 9 1 3 , 𝑑 = 4 1 3
  • D 𝑎 = 2 1 3 , 𝑏 = 7 1 3 , 𝑐 = 3 1 3 , 𝑑 = 1 1 3
  • E 𝑎 = 1 1 1 3 , 𝑏 = 6 1 3 , 𝑐 = 1 0 1 3 , 𝑑 = 1 2 1 3

Calcula la esperanza de 𝑋.

  • A 2 9 1 3
  • B 2 9 2
  • C 2 2 9
  • D 1 3 2
  • E 1 3 2 9

P3:

La tabla muestra la distribución de probabilidad de un dado. Calcula 𝐸(𝑋).

𝑋 1 2 3 4 5 6
𝑝 ( ) 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6

P4:

Un experimento aleatorio tiene asociada una variable aleatoria discreta 𝑋 con la distribución de probabilidad que se muestra. Si el experimento se repite muchísimas veces, ¿cuál sería probablemente la media de todos los resultados?

𝑥 2 3 4 5
𝑝 ( 𝑥 ) 0,1 0,3 0,2 0,4

P5:

Determina el valor esperado de la variable aleatoria 𝑋 cuya distribución de probabilidad se muestra a continuación.

P6:

La función representada por la siguiente tabla es una función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 𝑋. Dado que el valor esperado de 𝑋 es 4, halla los valores de 𝑎 y 𝑏.

𝑥 1 3 𝑏 5 6
𝑓 ( 𝑥 ) 0,2 0,2 𝑎 0,2 0,3
  • A 𝑎 = 0 , 1 , 𝑏 = 3
  • B 𝑎 = 0 , 𝑏 = 3
  • C 𝑎 = 0 , 1 , 𝑏 = 4
  • D 𝑎 = 0 , 2 , 𝑏 = 5

P7:

Un experimento que produce la variable aleatoria 𝑋 tiene la siguiente distribución de probabilidad.

𝑥 2 3 4 5
𝑝 ( 𝑥 ) 0.1 0.3 0.2 0.4

Calcula 𝐸(𝑋).

Calcula 𝐸𝑋.

La varianza 𝑋 puede calcularse usando la fórmula Var(𝑋)=𝐸𝑋𝐸(𝑋). Calcula Var(𝑋) con una precisión de dos decimales.

P8:

La función que se muestra en la siguiente tabla es la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 𝑋. Halla la esperanza de 𝑋.

𝑋 0 1 2 3 4
𝑝 ( 𝑋 ) 0,1 𝑎 0,1 0,4 0,2

P9:

La variable aleatoria discreta 𝑋 tiene la siguiente distribución de probabilidad:

𝑥 1 2 3 4
𝑝 ( ) 𝑘 1 𝑘 2 𝑘 3 𝑘 4

¿Cuánto vale 𝑘?

  • A 1 1 0
  • B 1 2 1 3
  • C 6 1 1
  • D 2 5 1 2
  • E 1 2 2 5

Por lo tanto, calcula la esperanza matemática de 𝑋.

  • A 2 4 1 1
  • B 4 8 1 3
  • C 2 5 3
  • D 2 5
  • E 4 8 2 5

P10:

Una variable aleatoria 𝑋 tiene una distribución de probabilidad uniforme de tal manera que 𝑃(𝑋=𝑥)=111, donde 𝑥{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Determina 𝐸(𝑋).

P11:

En un experimento, Aitana va a girar una pirinola de cuatro lados con los números del 1 al 4. Maribel dice que el valor esperado del experimento es 2.5. Aitana no está de acuerdo ya que es imposible obtener 2.5 y sugiere que el valor esperado es en realidad 3. ¿Quién está en lo correcto?

  • AMaribel está en lo correcto ya que el valor esperado es el promedio de los resultados de muchos experimentos, lo cual es 2.5 en este caso.
  • BAitana está en lo correcto ya que el valor esperado es el promedio del resultado de muchos experimentos, lo cual es 2.5 en este caso. Sin embargo, este resultado no se puede obtener en la pirinola, por lo tanto, se debe redondear al entero más cercano, el cual es 3.

P12:

En un experimento, Teresa lanza dos dados normales y suma los números de la cara superior. La distribución de probabilidad del experimento se muestra a continuación.

𝑥 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
𝑝 ( ) 1 3 6 2 3 6 𝑎 4 3 6 𝑏 𝑐 5 3 6 𝑑 3 3 6 2 3 6 1 3 6

Encuentra el valor de 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑.

  • A 𝑎 = 3 3 6 , 𝑏 = 5 3 6 , 𝑐 = 1 3 6 , 𝑑 = 4 3 6
  • B 𝑎 = 3 3 6 , 𝑏 = 5 3 6 , 𝑐 = 6 3 6 , 𝑑 = 7 3 6
  • C 𝑎 = 3 3 6 , 𝑏 = 5 3 6 , 𝑐 = 1 3 6 , 𝑑 = 3 3 6
  • D 𝑎 = 5 3 6 , 𝑏 = 3 3 6 , 𝑐 = 6 3 6 , 𝑑 = 4 3 6
  • E 𝑎 = 3 3 6 , 𝑏 = 5 3 6 , 𝑐 = 6 3 6 , 𝑑 = 4 3 6

¿Cuál es el valor esperado del experimento?

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