Hoja de actividades de la lección: Regiones en el plano complejo definidas mediante el módulo Matemáticas

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo hallar las regiones del plano complejo definidas por una ecuación complicada a partir del módulo.

P1:

Un número complejo 𝑧 satisface |𝑧2+4𝑖|=|𝑧+2+2𝑖|.

Describe el lugar geométrico de 𝑧 y da su ecuación cartesiana.

  • ALa mediatriz del segmento de recta entre 2+4𝑖 y 2+2𝑖, ecuación: 𝑦=2𝑥+3
  • BLa recta que une 24𝑖 y 22𝑖, ecuación: 𝑦=12𝑥3
  • CLa mediatriz del segmento de recta entre 24𝑖 y 22𝑖, ecuación: 𝑦=2𝑥3
  • DLa circunferencia con centro (2,+4) y radio 1, ecuación: (𝑥+2)+(𝑦4)=1
  • ELa recta que une 2+4𝑖 y 2+2𝑖, ecuación: 𝑦=12𝑥+3

¿Cuál es el valor mínimo de |𝑧|?

  • A355
  • B5
  • C358
  • D6105
  • E853

P2:

La figura muestra un lugar geométrico de 𝑧 en el plano complejo , el cual es una elipse con focos en 𝑃 y 𝑄 y eje mayor 𝐴𝐵. 𝑃 representa el número 1, 𝑄 el número 32132𝑖, 𝐴 el número 12+2𝑖 y 𝐵 el número 42142𝑖. Usando las propiedades de una elipse, escribe una ecuación para el lugar geométrico de 𝑧 en términos de 𝑧.

  • A||𝑧+122𝑖||+||𝑧32+1+32𝑖||=6
  • B|𝑧+1|+||𝑧32+1+32𝑖||=10
  • C|𝑧+1|+||𝑧32+1+32𝑖||=6
  • D||𝑧+1+22𝑖||+||𝑧42+1+42𝑖||=6
  • E||𝑧+1+22𝑖||+||𝑧42+1+42𝑖||=10

P3:

Un número complejo 𝑧 satisface 2|𝑧+3𝑖|=3|𝑧+1𝑖|. Halla la ecuación cartesiana del lugar geométrico de 𝑧 y descríbelo geométricamente.

  • A(𝑥6)+𝑦=25, la circunferencia de centro (6,0) y radio 5
  • B𝑦=1, la mediatriz del segmento de recta que une (3,1) y (1,1)
  • C(𝑥3)+𝑦=23, la circunferencia de centro (3,0) y radio 23
  • D𝑦=1, la mediatriz del segmento de recta que une (3,1) y (1,1)
  • E𝑥35+(𝑦1)=14425, la circunferencia de centro 35,1 y radio 125

P4:

Dos lugares geométricos están dados por las ecuaciones |𝑧|=|𝑧+4𝑖| y |𝑧|=3.

Los números complejos 𝑤 y 𝑢 satisfacen las dos ecuaciones. Escribe estos números en la forma 𝑎+𝑖𝑏, donde 𝑎 y 𝑏 son números reales.

  • A𝑤=5+2𝑖,𝑢=52𝑖
  • B𝑤=25𝑖,𝑢=2+5𝑖
  • C𝑤=52𝑖,𝑢=52𝑖
  • D𝑤=5+2𝑖,𝑢=52𝑖
  • E𝑤=52𝑖,𝑢=52𝑖

P5:

𝑧 es un número complejo tal que 𝑧+23𝑖𝑧45𝑖 es un número real. Halla la ecuación cartesiana del lugar geométrico de 𝑧 y descríbelo geométricamente.

  • A(𝑥1)+(𝑦4)=6, una circunferencia de centro (1,4) y radio 6
  • B(𝑥1)+(𝑦4)=10, una circunferencia de centro (1,4) y radio 10
  • C𝑥𝑦4𝑥𝑦+1=0
  • D𝑦=13𝑥13, una recta de pendiente 13 que interseca el eje 𝑦 en 13
  • E𝑦=13𝑥+113, una recta de pendiente 13 que interseca el eje 𝑦 en 113

P6:

Describe el lugar geométrico de 𝑧 tal que |𝑧+4𝑖|=5, y da su ecuación cartesiana.

  • AUna circunferencia centrada en 4𝑖 con radio 5, 𝑥+(𝑦4)=25
  • BUna circunferencia centrada en 4𝑖 con radio 5, 𝑥+(𝑦+4)=5
  • CUna circunferencia centrada en 4𝑖 con radio 5, 𝑥+(𝑦+4)=5
  • DUna circunferencia centrada en 4𝑖 con radio 5, 𝑥+(𝑦+4)=25
  • EUna circunferencia centrada en 4𝑖 con radio 5, 𝑥+(𝑦4)=25

P7:

Describe el lugar geométrico de 𝑧 tal que |𝑧2|=3, y da su ecuación cartesiana.

  • AUna circunferencia centrada en (2,0) con radio 3, (𝑥2)+𝑦=9
  • BUna circunferencia centrada en (2,0) con radio 3, (𝑥2)+𝑦=3
  • CUna circunferencia centrada en (3,0) con radio 2, (𝑥3)+𝑦=4
  • DUna circunferencia centrada en (2,0) con radio 3, (𝑥2)+𝑦=3
  • EUna circunferencia centrada en (2,0) con radio 3, (𝑥2)+𝑦=9

P8:

Describe el lugar geométrico de 𝑧 tal que |𝑧|=4, y da su ecuación cartesiana.

  • AUna circunferencia centrada en el origen con radio 2, 𝑥+𝑦=2
  • BUna circunferencia centrada en el origen con radio 4, 𝑥+𝑦=4
  • CUna circunferencia centrada en el punto (4,0) con radio 2, (𝑥4)+𝑦=2
  • DUna circunferencia centrada en el origen con radio 4, 𝑥+𝑦=16
  • EUna circunferencia centrada en el origen con radio 2, 𝑥+𝑦=4

P9:

Considera el punto 𝑧 en el plano complejo.

Halla algebraicamente el lugar geométrico de los puntos 𝑧 tales que |𝑧1|=|𝑧+𝑖|.

  • AEs la recta de ecuación 𝑦=𝑥.
  • BEs la circunferencia de ecuación (𝑥1)+(𝑦+1)=1.
  • CEs la recta de ecuación 𝑦=𝑥.
  • DEs la recta de ecuación 𝑦=2𝑥.
  • EEs la circunferencia de ecuación (𝑥+1)+(𝑦1)=1.

¿Cuál de las siguientes es una descripción geométrica correcta del lugar geométrico de los puntos 𝑧 tales que |𝑧1|=|𝑧+𝑖|?

  • AEs la circunferencia de centro (1,1) y radio 1.
  • BEs la circunferencia de centro (1,1) y radio 1.
  • CEs la mediatriz del segmento que une 1 y 𝑖.
  • DEs la mediatriz del segmento que une 1 y 𝑖.

P10:

Considera el punto 𝑧 en el plano complejo.

Halla algebraicamente el lugar geométrico de los puntos 𝑧 tales que |𝑧|=|𝑧4|.

  • AEs la recta de ecuación 𝑥=2.
  • BEs la recta de ecuación 𝑥=2.
  • CEs la recta de ecuación 𝑦=2.
  • DEs la circunferencia de ecuación (𝑥2)+𝑦=16.
  • EEs la recta de ecuación 𝑦=2.

¿Cuál de las siguientes es la descripción geométrica correcta de los puntos 𝑧 tales que |𝑧|=|𝑧4|?

  • AEs la mediatriz del segmento que une (0,0) y (0,4).
  • BEs la mediatriz del segmento que une (0,0) y (4,0).
  • CEs la circunferencia de centro (2,0) y radio 4.
  • DEs la mediatriz del segmento que une (0,0) y (0,4).
  • EEs la mediatriz del segmento que une (0,0) y (4,0).

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