Hoja de actividades: Hallar una función polinómica a partir de sus ceros en números complejos usando propiedades de la factorización lineal

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo obtener una función polinómica con coeficientes reales a partir de sus ceros, utilizando propiedades de la factorización lineal y de los complejos conjugados.

P1:

Escribe en forma estΓ‘ndar una funciΓ³n polinΓ³mica del menor grado posible y con coeficientes reales sabiendo que tiene βˆ’4 y 2𝑖 (multiplicidad 2) como ceros.

  • A𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’4π‘₯βˆ’8π‘₯+32π‘₯+16π‘₯βˆ’64οŠͺ
  • B𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’4π‘₯+8π‘₯βˆ’32π‘₯+16π‘₯βˆ’64οŠͺ
  • C𝑓(π‘₯)=π‘₯+4π‘₯+8π‘₯+32π‘₯+16π‘₯+64οŠͺ
  • D𝑓(π‘₯)=π‘₯+4π‘₯βˆ’8π‘₯βˆ’32π‘₯+16π‘₯+64οŠͺ

P2:

Escribe en su forma estΓ‘ndar una funciΓ³n polinΓ³mica del menor grado posible con coeficientes reales, sabiendo que tiene √5+2, βˆ’βˆš5+2 y 3βˆ’π‘– como ceros.

  • A𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’10π‘₯+33π‘₯βˆ’34π‘₯βˆ’10οŠͺ
  • B𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’10π‘₯+13π‘₯+46π‘₯+10οŠͺ
  • C𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’10π‘₯+35π‘₯βˆ’46π‘₯+10οŠͺ
  • D𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’2π‘₯βˆ’15π‘₯+46π‘₯βˆ’10οŠͺ
  • E𝑓(π‘₯)=π‘₯+10π‘₯+33π‘₯+34π‘₯βˆ’10οŠͺ

P3:

Considera 𝑔(π‘₯)=π‘₯βˆ’7π‘₯+11π‘₯βˆ’41π‘₯+180οŠͺ.

Escribe 𝑔(π‘₯) como el producto de sus factores lineales y sus factores cuadrΓ‘ticos irreducibles.

  • A𝑔(π‘₯)=(π‘₯+4)(π‘₯+5)(π‘₯+2π‘₯+9)
  • B𝑔(π‘₯)=(π‘₯βˆ’4)(π‘₯βˆ’5)(π‘₯+π‘₯+4)
  • C𝑔(π‘₯)=(π‘₯βˆ’4)(π‘₯βˆ’5)(π‘₯+2π‘₯+9)
  • D𝑔(π‘₯)=(π‘₯+4)(π‘₯+5)(π‘₯+π‘₯+4)

Escribe 𝑔(π‘₯) como el producto de sus factores lineales.

  • A𝑔(π‘₯)=(π‘₯βˆ’4)(π‘₯βˆ’5)ο€»π‘₯+1βˆ’2√2𝑖π‘₯+1+2√2𝑖
  • B𝑔(π‘₯)=(π‘₯+4)(π‘₯+5)ο€Ώπ‘₯+12βˆ’βˆš152𝑖π‘₯+12+√152𝑖
  • C𝑔(π‘₯)=(π‘₯βˆ’4)(π‘₯βˆ’5)ο€Ώπ‘₯+12βˆ’βˆš152𝑖π‘₯+12+√152𝑖
  • D𝑔(π‘₯)=(π‘₯+4)(π‘₯+5)ο€»π‘₯+1βˆ’2√2𝑖π‘₯+1+2√2𝑖

Lista todos los ceros de 𝑔(π‘₯).

  • A4,5,βˆ’12βˆ’βˆš152𝑖,βˆ’12+√152𝑖
  • Bβˆ’5,βˆ’4,βˆ’1+2√2𝑖,βˆ’1βˆ’2√2𝑖
  • C4,5,βˆ’1+2√2𝑖,βˆ’1βˆ’2√2𝑖
  • Dβˆ’5,βˆ’4,βˆ’12βˆ’βˆš152𝑖,βˆ’12+√152𝑖

P4:

Considera la funciΓ³n β„Ž(π‘₯)=5π‘₯βˆ’4π‘₯βˆ’81π‘₯+134π‘₯+30οŠͺ.

Escribe la funciΓ³n β„Ž(π‘₯) como el producto de sus factores lineales y cuadrΓ‘ticos irreducibles.

  • Aβ„Ž(π‘₯)=(π‘₯+3)(5π‘₯βˆ’1)(π‘₯+2π‘₯βˆ’10)
  • Bβ„Ž(π‘₯)=(π‘₯βˆ’3)(5π‘₯+1)(π‘₯+1+√11)(π‘₯+1βˆ’βˆš11)
  • Cβ„Ž(π‘₯)=(π‘₯βˆ’3)(5π‘₯+1)(π‘₯+2π‘₯βˆ’10)
  • Dβ„Ž(π‘₯)=(π‘₯βˆ’3)(5π‘₯+1)(π‘₯βˆ’1+√11)(π‘₯βˆ’1βˆ’βˆš11)
  • Eβ„Ž(π‘₯)=(π‘₯+3)(5π‘₯βˆ’1)(π‘₯+1+√11)(π‘₯+1βˆ’βˆš11)

Lista todos los ceros de la funciΓ³n β„Ž(π‘₯).

  • A3,βˆ’15,βˆ’1βˆ’βˆš11,√11βˆ’1
  • B3,βˆ’15,1βˆ’βˆš11,1+√11
  • Cβˆ’3,15,βˆ’1βˆ’βˆš11,√11βˆ’1
  • Dβˆ’3,15
  • E3,βˆ’15

P5:

Considera π‘˜(π‘₯)=βˆ’3π‘₯βˆ’7π‘₯βˆ’7π‘₯+15π‘₯+50οŠͺ.

Escribe π‘˜(π‘₯) como el producto de factores lineales y de factores cuadrΓ‘ticos irreducibles.

  • Aπ‘˜(π‘₯)=(π‘₯+2)(3π‘₯βˆ’5)ο€Ήπ‘₯+2π‘₯+5ο…οŠ¨
  • Bπ‘˜(π‘₯)=βˆ’(π‘₯βˆ’2)(3π‘₯+5)ο€Ήπ‘₯+2π‘₯+5ο…οŠ¨
  • Cπ‘˜(π‘₯)=βˆ’(π‘₯+2)(3π‘₯βˆ’5)ο€Ήπ‘₯+2π‘₯+5ο…οŠ¨
  • Dπ‘˜(π‘₯)=(π‘₯+2)(3π‘₯βˆ’5)ο€Ήπ‘₯βˆ’2π‘₯+5ο…οŠ¨
  • Eπ‘˜(π‘₯)=βˆ’(π‘₯βˆ’2)(3π‘₯+5)ο€Ήπ‘₯βˆ’2π‘₯+5ο…οŠ¨

Escribe π‘˜(π‘₯) como un producto de factores lineales.

  • Aπ‘˜(π‘₯)=βˆ’(π‘₯+2)(3π‘₯βˆ’5)(π‘₯+1βˆ’2𝑖)(π‘₯+1+2𝑖)
  • Bπ‘˜(π‘₯)=βˆ’(π‘₯βˆ’2)(3π‘₯+5)(π‘₯βˆ’1βˆ’2𝑖)(π‘₯βˆ’1+2𝑖)
  • Cπ‘˜(π‘₯)=(π‘₯+2)(3π‘₯βˆ’5)(π‘₯+1βˆ’2𝑖)(π‘₯+1+2𝑖)
  • Dπ‘˜(π‘₯)=βˆ’(π‘₯βˆ’2)(3π‘₯+5)(π‘₯+1βˆ’2𝑖)(π‘₯+1+2𝑖)
  • Eπ‘˜(π‘₯)=(π‘₯+2)(3π‘₯βˆ’5)(π‘₯βˆ’1βˆ’2𝑖)(π‘₯βˆ’1+2𝑖)

Enumera todos los ceros de π‘˜(π‘₯).

  • Aβˆ’2,53,βˆ’1+2𝑖,βˆ’1βˆ’2𝑖
  • Bβˆ’2,53,1+2𝑖,1βˆ’2𝑖
  • C2,βˆ’53,1+2𝑖,1βˆ’2𝑖
  • D2,βˆ’53,βˆ’1+2𝑖,βˆ’1βˆ’2𝑖

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