Vídeo: Integración por sustitución o cambio de variable: integrales indefinidas

En este video, vamos a aprender cómo usar integración por sustitución o cambio de variable en integrales indefinidas.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo usar integración por sustitución o cambio de variable en integrales indefinidas. Para beneficiarte de este video ya debes ser capaz de hallar la antiderivada de una variedad de funciones, incluyendo funciones polinómicas, trigonométricas y logarítmicas. En esta lección, vamos a ver cómo aplicar estas reglas para hallar la antiderivada, o integral, de funciones más complicadas.

Debido a la regla de Barrow, el cálculo de antiderivadas es una labor importante. Sin embargo, no hay ninguna fórmula que nos diga cómo efectuar integrales tales como la integral con respecto a 𝑥 de 𝑥 a la quinta potencia por 𝑥 a la sexta potencia más nueve a la séptima potencia. Para efectuar esta integral, utilizamos una estrategia especial que se basa en introducir algo extra, una nueva variable.

Esto es lo que se llama integración por sustitución. Este método se conoce también como integración por cambio de variable. Generalmente el primer paso es expresar la integral en esta forma. Date cuenta de que tenemos una función 𝑔 de 𝑥 y su derivada 𝑔 prima de 𝑥. Y como suele ser el caso, es mejor hacer uso de un ejemplo para explicar cómo funciona todo esto.

Determina la integral con respecto a 𝑥 de 𝑥 a la quinta potencia multiplicado por 𝑥 a la sexta potencia más nueve, todo esto a la séptima potencia.

Este no es un polinomio que se pueda integrar usando nuestras reglas básicas para encontrar la antiderivada. Y ciertamente no queremos desarrollar nuestro paréntesis y hallar la antiderivada término a término. En lugar de eso, observamos que la integral tiene esta forma. Tenemos una función 𝑔 de 𝑥 y su derivada 𝑔 prima de 𝑥. Si nos fijamos atentamente, vemos que 𝑥 a la quinta potencia es un múltiplo de la derivada de 𝑥 a la sexta más nueve. Lo que significa que podemos usar la integración por cambio de variable para efectuar nuestra integral indefinida.

La regla de la sustitución dice que si 𝑢 igual a 𝑔 de 𝑥 es una función diferenciable cuyo rango es algún intervalo 𝑖 y 𝑓 es continua en este intervalo, entonces la integral de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 multiplicada por 𝑔 prima de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a la integral de 𝑓 de 𝑢 con respecto a 𝑢. Vamos a elegir 𝑢 como igual a la función que originalmente definimos como 𝑔 de 𝑥. Así que 𝑢 es igual a 𝑥 a la sexta potencia más nueve.

Y esto es muy bueno porque, cuando diferenciamos esta función 𝑢 con respecto a 𝑥, vemos que d𝑢 sobre d𝑥 es igual a seis 𝑥 a la quinta potencia. En la integración por sustitución, consideramos a d𝑢 y d𝑥 como diferenciales. Y podemos alternativamente escribir esto como d𝑢 igual a seis 𝑥 a la quinta potencia d𝑥. Tengamos en cuenta que, aunque d𝑢 sobre d𝑥 definitivamente no es una fracción, a menudo es posible tratarla como si lo fuera. Dividimos por seis, y vemos que un sexto d𝑢 es igual a 𝑥 a la quinta potencia d𝑥.

Y ahora, volvamos a mirar nuestra integral original. Podemos ver que podemos sustituir 𝑥 a la quinta potencia d𝑥 por un d𝑢. Y reemplazar también 𝑥 a la sexta potencia más nueve por 𝑢. Y llegamos a que la integral que estamos haciendo es la integral de un sexto de 𝑢 a la séptima potencia d𝑢. Si queremos, podemos sacar este factor de un sexto fuera del signo integral, y, por lo tanto, tenemos que hallar un sexto de la integral de 𝑢 a la séptima potencia con respecto a 𝑢.

La integral de 𝑢 a la séptima potencia es 𝑢 a la octava potencia dividido por ocho más 𝑐; pues, siendo una integral indefinida, no debemos olvidar la constante de integración. Desarrollamos nuestros paréntesis. Y vemos que la integral es igual a uno sobre 48 multiplicado por 𝑢 a la octava potencia más 𝐶. Y hemos decidido usar ahora una 𝐶 mayúscula porque nuestra constante de integración original ha sido multiplicada por un sexto.

Pero debemos recordar que lo que originalmente queríamos era nuestra integral en términos de 𝑥. Así que volvamos a nuestra definición original de 𝑢. Dijimos que 𝑢 era igual a 𝑥 a la sexta potencia más nueve. Así que hemos hallado que nuestra integral es igual a uno partido por 48 por 𝑥 a la sexta potencia más nueve a la octava potencia más 𝐶.

En este ejemplo, hemos visto que debemos elegir 𝑢 de modo que sea un factor del integrando cuya derivada sea también un factor, aunque también haya factores numéricos. Si esto no es posible, tendremos que elegir 𝑢 de modo que sea una parte más complicada del integrando. Esta suele ser la función interna de una función compuesta o similar. Miremos un ejemplo de esta forma.

Determina la integral de ocho 𝑥 por ocho 𝑥 más nueve al cuadrado con respecto a 𝑥 usando el método de sustitución.

En este ejemplo, nos han dicho de forma muy explícita que debemos usar el método de cambio de variable para evaluar esta integral. Generalmente, tratamos de elegir nuestra sustitución 𝑢 para que sea un factor del integrando cuya derivada también esté presente, aunque sea un múltiplo numérico de ella. Aquí, sin embargo, no es evidentemente obvio lo que podría ser. Así que, en lugar de eso, vamos a elegir una 𝑢 que sea una parte complicada de la función, concretamente la función interior de una función compuesta.

Vamos a probar con 𝑢 igual a ocho 𝑥 más nueve. Esto significa que d𝑢 sobre d𝑥 es igual a ocho. Y podemos considerar d𝑢 y d𝑥 como diferenciales. Recordemos que d𝑢 sobre d𝑥 no es una fracción, pero podemos tratarlo como tal cuando realizamos integración por sustitución. Podemos decir, pues, que d𝑢 es igual a ocho d𝑥. O, equivalentemente, un octavo d𝑢 es igual a d𝑥. Lo que no es de mucha ayuda. Y si reemplazamos d𝑥 por un octavo d𝑢 y ocho 𝑥 más nueve por 𝑢, aún tendremos parte de nuestra función, eso es ocho 𝑥, expresada todavía en términos de 𝑥.

Pero si miramos nuestra sustitución, vemos que podemos reorganizarla. Restamos nueve de ambos lados, y vemos que ocho 𝑥 es igual a 𝑢 menos nueve. Entonces, nuestra integral se convierte en 𝑢 menos nueve por 𝑢 cuadrado multiplicado por un octavo d𝑢. Llevemos este octavo fuera de la integral y desarrollemos los paréntesis, y veamos que tenemos un polinomio sencillo que podemos integrar.

La integral de 𝑢 al cubo es 𝑢 a la cuarta potencia dividido por cuatro. La integral de menos nueve 𝑢 cuadrado es menos nueve 𝑢 al cubo dividido por tres. Y no debemos olvidarnos de 𝐶, nuestra constante de integración. Podemos simplificar nueve 𝑢 al cubo dividido por tres como tres 𝑢 al cubo. Pero no podemos olvidarnos de reemplazar 𝑢 por ocho 𝑥 más nueve en nuestro último paso.

Al hacerlo, vemos que nuestra integral es igual a un octavo por ocho 𝑥 más nueve a la cuarta potencia dividido por cuatro menos tres por ocho 𝑥 más nueve al cubo más 𝐶. Si eliminamos un par de paréntesis, tendremos una mejor expresión de nuestra solución. Es uno partido por 32 por ocho 𝑥 más nueve a la cuarta potencia menos tres octavos de ocho 𝑥 más nueve al cubo más 𝐶.

Determina la integral de 48 menos seis 𝑥 partido por la raíz quinta de 16 menos dos 𝑥 d𝑥.

No es instantáneamente obvio cómo podemos evaluar esta integral. Sin embargo, si nos fijamos bien, vemos que el numerador es un múltiplo numérico de la función interna en el denominador pues 48 menos seis 𝑥 es tres por 16 menos dos 𝑥. Esto nos dice que tal vez podamos usar integración por sustitución para evaluar esta integral indefinida.

Elijamos 𝑢 como igual a 16 menos dos 𝑥. Hemos elegido esta parte para nuestra sustitución porque 16 menos dos 𝑥 es la función interna de una función compuesta. Diferenciamos 𝑢 con respecto a 𝑥, y vemos que d𝑢 sobre d𝑥 es igual a menos dos. Ahora, recordemos que d𝑢 sobre d𝑥 no es una fracción, pero lo tratamos como si lo fuera cuando realizamos integración por sustitución. Y podemos ver que esto es equivalente a decir que menos un medio d𝑢 es igual a d𝑥.

Sustituyamos ahora en nuestra integral original. Hemos visto que 48 menos seis 𝑥 es igual a tres por 16 menos dos 𝑥. Así que el numerador se convierte en tres 𝑢. El denominador se convierte en la raíz quinta de 𝑢. Y reemplazamos d𝑥 por menos un medio d𝑢. Extraigamos un factor de menos tres medios. Y podemos escribir nuestro denominador como 𝑢 elevada a un quinto. Estamos dividiendo 𝑢 elevada a uno por 𝑢 elevada a un quinto.

Restamos un quinto de uno, y nos queda 𝑢 a los cuatro quintos. La antiderivada de 𝑢 a los cuatro quintos es 𝑢 a los nueve quintos dividido por nueve quintos. Esto es lo mismo que cinco novenos por 𝑢 a los nueve quintos. Y, recordemos que se trata de una integral indefinida. así que agregamos una constante de integración 𝑐.

Cuando desarrollamos los paréntesis, tenemos menos cinco sextos 𝑢 a los nueve quintos más 𝐶. Nuestra constante original se ha multiplicado por menos tres medios, y dado que estábamos evaluando una integral en términos de 𝑥, debemos reemplazar 𝑢 por 16 menos dos 𝑥. Y obtenemos que nuestra integral es menos cinco sextos de 16 menos dos 𝑥 elevado a nueve quintos más 𝐶.

En los dos ejemplos anteriores, hemos visto que podemos realizar la integración por sustitución, incluso si no es evidentemente obvio cómo el proceso se va a desarrollar. Bien, ahora vamos a ver cómo usar el proceso para integrar una función trigonométrica más complicada.

Determina la integral de menos 24𝑥 al cubo más 30 sen de seis 𝑥 por menos seis 𝑥 a la cuarta menos cinco cos de seis 𝑥 a la quinta con respecto a 𝑥.

Para realizar esta integral, necesitamos darnos cuenta de que menos 24𝑥 al cubo más 30 sen seis 𝑥 es la derivada de la parte interna de esta función compuesta, que es menos seis 𝑥 a la cuarta menos cinco cos seis 𝑥. Esto nos dice que podemos usar integración por cambio de variable para evaluar esta integral. Vamos a elegir 𝑢 como igual a la función interna de nuestra función compuesta, y luego usaremos el resultado general para la derivada de cos 𝑎𝑥.

Y vemos que d𝑢 sobre d𝑥, la derivada de 𝑢 con respecto a 𝑥, es menos 24𝑥 al cubo más 30 sen seis 𝑥. Recordemos que d𝑢 sobre d𝑥 no es una fracción, pero podemos tratarlo como una al realizar una integración por sustitución. Y, consecuentemente, podemos decir que d𝑢 es igual a menos 24𝑥 al cubo más 30 sen de seis 𝑥 d𝑥. Por lo tanto, reemplazamos 24𝑥 al cubo más 30 sen de seis 𝑥 d𝑥 por d𝑢. Y reemplazamos menos seis 𝑥 a la cuarta potencia menos cinco cos de seis 𝑥 por 𝑢.

Y vemos que nuestra integral se vuelve más fácil. Es la integral de 𝑢 a la quinta d𝑢. Bien, la antiderivada de 𝑢 a la quinta es 𝑢 a la sexta sobre seis. Por lo tanto, la integral de 𝑢 a la quinta d𝑢 es 𝑢 a la sexta sobre seis más la constante de integración 𝑐. Sin embargo, recordemos que nuestra integral está en términos de 𝑥, por lo que reemplazamos 𝑢 por menos seis 𝑥 a la cuarta menos cinco cos de seis 𝑥.

Y hemos hallado nuestra integral. Es un sexto de menos seis 𝑥 a la cuarta potencia menos cinco cos de seis 𝑥 a la sexta potencia más 𝑐. En nuestro ejemplo final, vamos a ver cómo podemos usar integración por sustitución para integrar una función logarítmica.

Determina la integral de menos 11 partido entre seis 𝑥 por la raíz cúbica del logaritmo neperiano de 𝑥 d𝑥.

Para poder evaluar esta integral, necesitamos recordar que la derivada del logaritmo neperiano de 𝑥 es uno partido entre 𝑥, y ocurre que esta parte de nuestra función es un múltiplo numérico de uno sobre 𝑥. Lo que nos dice que podemos usar la integración por sustitución para efectuar esta integración. Elijamos 𝑢 como igual al logaritmo neperiano de 𝑥. Y hemos visto que d𝑢 por d𝑥 es, por consiguiente, uno sobre 𝑥.

Vamos a insistir en que d𝑢 sobre d𝑥 no es una fracción, pero lo podemos tratar como si lo fuera cuando realizamos una integración por sustitución. Y podemos decir que d𝑢 es igual a uno sobre 𝑥 d𝑥. Sustituyamos lo que tenemos ahora en nuestra integral. Si extraemos un factor de menos once sextos, vemos que podemos reemplazar uno sobre 𝑥 d𝑥 por d𝑢. Y podemos reemplazar el logaritmo natural de 𝑥 por 𝑢.

Para hacerlo fácil de integrar, recordamos que la raíz cúbica de 𝑢 es lo mismo que 𝑢 a la potencia de un tercio. Y sabemos que la antiderivada de 𝑢 elevada a un tercio es 𝑢 elevada a cuatro tercios dividido por cuatro tercios o tres cuartos de 𝑢 elevada a cuatro tercios. Eliminamos nuestros paréntesis, y vemos que nuestro integral es igual a menos 11 octavos por 𝑢 elevado a cuatro tercios más 𝐶.

Y hemos cambiado la 𝑐 por la 𝐶 mayúscula porque hemos multiplicado nuestra constante original de integración por menos 11 sextos, cambiando así el número. Por supuesto, es importante que recordemos que queremos que nuestro resultado esté en términos de 𝑥. Así que reemplazamos 𝑢 por el logaritmo neperiano de 𝑥. Y obtenemos como respuesta menos once octavos logaritmo natural de 𝑥 elevado a cuatro tercios más 𝐶.

En este video, hemos visto que podemos hacer un cambio de variable para efectuar la integración de funciones complicadas. Hemos aprendido que generalmente tratamos de que 𝑢 sea un factor del integrando cuya derivada también es un factor del integrando, aunque sea un múltiplo numérico de él. Si no es posible, elegiremos 𝑢 como una parte complicada del integrando. Esta suele ser la función interna de una función compuesta o similar. También vimos que este método puede usarse para integrar funciones que contienen raíces, funciones trigonométricas o funciones logarítmicas.

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