Vídeo: Modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial

En este vídeo vamos a familiarizarnos con los modelos de crecimiento o decrecimiento exponencial, los cuales están regidos por la ecuación diferencial 𝑦′ = ±𝑘𝑦.

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Transcripción del vídeo

En muchos fenómenos naturales, las magnitudes crecen o decrecen a un ritmo proporcional a su tamaño. Un ejemplo de crecimiento exponencial es la cantidad de dinero en una cuenta bancaria que paga intereses compuestos. Aunque tal vez el crecimiento no sea el que el ahorrador quisiera. En el otro extremo, tenemos el caso de la presión atmosférica, que disminuye de forma exponencial con el aumento de la altura sobre el nivel del mar, un caso de decrecimiento exponencial. En este vídeo vamos a familiarizarnos con modelos de crecimiento o decrecimiento exponencial, los cuales vienen regidos por ecuaciones diferenciales, y cómo usar estos modelos para hacer predicciones sobre comportamientos futuros.

En general, decimos que, si 𝑦 de 𝑡 es el valor de una magnitud 𝑦 en un instante 𝑡, y si la tasa de variación de 𝑦 con respecto a 𝑡 es proporcional a su tamaño, 𝑦 de 𝑡, entonces d𝑦 sobre d𝑡 es igual a 𝑘 por 𝑦 para cierta constante real 𝑘. Esta relación se conoce como ley de crecimiento exponencial, para los valores de 𝑘 mayores que cero, y ley de decrecimiento exponencial, para los valores de 𝑘 menores que cero. Vamos a resolver esta ecuación diferencial de manera general. Como sabes, aunque d𝑦 sobre d𝑡 no sea una fracción, podemos tratarla como tal en determinadas circunstancias, así que reescribimos la ecuación diferencial como uno sobre 𝑦 por d𝑦 igual a 𝑘 d𝑡.

Ahora vamos a integrar ambos lados de la ecuación. Usamos el resultado general, que dice que la integral de uno sobre 𝑦 es el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑦, y obtenemos que el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑦 más 𝐴 es igual a 𝑘 por 𝑡 más 𝐵, donde 𝐴 y 𝐵 son constantes de integración. Combinamos estas constantes restando 𝐴 a ambos lados. Y llamamos a esta nueva constante 𝐶. De esta forma, obtenemos que el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑦 es igual a 𝑘 por 𝑡 más 𝐶. Elevamos ambos lados de la ecuación a un exponente con base 𝑒, de modo que 𝑒 elevado al logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑦 es igual a 𝑒 elevado a 𝑘𝑡 más 𝐶.

𝑒 elevado al logaritmo neperiano de 𝑦 es 𝑦. No nos hacen falta valores absolutos aquí, pues estamos hablando de una población. Esta debe ser, por definición, mayor que cero. Por lo tanto, si aplicamos las leyes de los exponentes, podemos reescribir 𝑒 elevado a 𝑘𝑡 más 𝐶 como 𝑒 elevado a 𝑘𝑡 por 𝑒 elevado a 𝐶. Y 𝑒 elevado a 𝐶, como 𝐶 ya es una constante, es por sí una constante. Vamos a llamarla 𝑃. De esta forma obtenemos la solución general de la ecuación diferencial d𝑦 sobre d𝑡 igual a 𝑘 por 𝑦, que es que 𝑦 es igual a 𝑃 por 𝑒 elevado a 𝑘𝑡.

Es importante señalar que esta 𝑃 tiene un significado especial. Podemos deducir su significado fijándonos en 𝑡 igual a cero. Puesto que 𝑡 igual a cero es el tiempo inicial, sabemos que 𝑦 igual a 𝑃 por 𝑒 elevado a cero es el valor inicial de 𝑦. Pero 𝑒 elevado a cero es uno. De esta forma, vemos que, cuando 𝑡 es igual a cero, 𝑦 es igual a 𝑃. Esto significa que 𝑃 es el valor inicial de la función. Vamos a rehacer esto un poco y decir que, en general, la solución al problema de valor inicial d𝑃 sobre d𝑡 igual a 𝑘 por 𝑃, con 𝑃 de cero igual a 𝑃 cero es igual a 𝑃 de 𝑡 igual a 𝑃 cero por 𝑒 elevado a 𝑘𝑡. Con el fin de saber cómo operar con estas ecuaciones, vamos a ver un ejemplo concreto.

La población de conejos de una granja crece exponencialmente. Sabiendo que actualmente hay 245 conejos y que la tasa de crecimiento es del 23 por ciento, halla una función 𝑛 de 𝑡 para calcular el número de conejos tras 𝑡 años.

En este problema tenemos las variables definidas. Sabemos que 𝑡 es el número de años, y que 𝑛 de 𝑡 es la función que describe el número de conejos. Y como la población crece exponencialmente, podemos usar la ecuación d𝑃 sobre d𝑡 igual a 𝑘 por 𝑃 para calcularla. De hecho, vamos a reescribirla usando nuestras variables, de modo que d𝑛 sobre d𝑡 es igual a 𝑘 por 𝑛. También podríamos haber escrito esto usando una notación de funciones, como 𝑛 prima de 𝑡 igual a 𝑘 por 𝑛. Pero la verdad es que estamos acostumbrados a trabajar con notación de Leibniz.

Y tenemos un valor para 𝑘. Sabemos que la tasa relativa de crecimiento es del 23 por ciento. Que en forma decimal es 0.23. Por lo tanto, podemos decir que d𝑛 sobre d𝑡 es igual a 0.23 por 𝑛. Recuerda, como hemos dicho antes, aunque d𝑛 sobre d𝑡 no sea una fracción, hay determinadas circunstancias en las que podemos tratarla como tal. Vamos a reescribir la ecuación diferencial como uno sobre 𝑛 d𝑛 igual a 0.23 d𝑡. A continuación, integramos ambos lados de la ecuación. La integral del lado izquierdo es el logaritmo neperiano de 𝑛 más una constante de integración 𝑎. Y la integral del lado derecho es 0.23𝑡 más una constante de integración 𝑏.

Fíjate en que, normalmente, la integral de uno sobre 𝑛 es el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑛. Pero el número de conejos no puede ser negativo, así que no vamos a preocuparnos de eso aquí. Combinamos las constantes de integración restando 𝑎 a ambos lados, y vemos que el logaritmo neperiano de 𝑛 es igual a 0.23𝑡 más 𝑐. Luego, elevamos ambos lados con una base 𝑒 y hallamos que 𝑒 elevado al logaritmo neperiano de 𝑛 es igual a 𝑒 elevado a 0.23𝑡 más 𝑐. Y 𝑒 elevado al logaritmo neperiano de 𝑛 es 𝑛.

Ahora aplicamos las leyes de los exponentes para reescribir el lado derecho como 𝑒 elevado a 0.23𝑡 por 𝑒 elevado a 𝑐. Y sabemos que 𝑒 elevado a 𝑐 es una constante. Vamos a llamarla 𝑃. Por lo tanto, 𝑛 es igual a 𝑃 por 𝑒 elevado a 0.23𝑡. Muy bien, ya casi hemos terminado. Al comienzo había 245 conejos en la granja. Es decir, cuando 𝑡 es igual a cero, 𝑛 es 245. Así que 245 es igual a 𝑃 por 𝑒 elevado a cero, y 𝑒 elevado a cero es uno. De esta forma hallamos que 𝑃 es igual a 245. Y tenemos nuestra función para 𝑛. Así, podemos decir que 𝑛 de 𝑡 es igual a 245𝑒 elevado a 0.23𝑡.

Como has podido ver, en este problema no nos ha hecho falta plantear y resolver una ecuación diferencial. Tan solo hemos hecho uso de la forma general de la ecuación que describe el crecimiento o decrecimiento exponencial. Es la solución general de d𝑃 sobre d𝑡 igual a 𝑘 por 𝑃, con el valor inicial de 𝑃 igual a 𝑃 cero. Es 𝑃 de 𝑡 igual a 𝑃 cero por 𝑒 elevado a 𝑘𝑡. Básicamente, 𝑃 cero es el valor inicial de la función, y 𝑘 es la tasa de crecimiento. De todas formas, es conveniente saber cómo derivar esta fórmula en caso de que sea necesario.

Ahora vamos a ver un ejemplo de una cuestión en la que podemos usar la solución general de la ecuación diferencial sin tener que derivarla.

Un médico inyecta a un paciente 13 miligramos de un radiotrazador que se desintegra de forma exponencial. Un médico inyecta a un paciente 13 miligramos de un radiotrazador que se desintegra de forma exponencial. A los 12 minutos quedan 4.75 miligramos de radiotrazador en el organismo del paciente. ¿Cuál de las siguientes funciones describe adecuadamente la situación? ¿Es A) 𝑓 de 𝑡 igual a 13 por 0.0805 elevado a 𝑡? B) 𝑓 de 𝑡 igual a 13 por 𝑒 elevado a 0.9195𝑡. ¿Es C) 𝑓 de 𝑡 igual a 4.75 sobre uno más 13 por 𝑒 elevado a menos 0.83925𝑡? O D) 𝑓 de 𝑡 igual a 13 por 𝑒 elevado a menos 0.0839𝑡.

Sabemos que podemos modelar el crecimiento y el decrecimiento exponencial usando la fórmula 𝑃 de 𝑡 igual a 𝑃 cero por 𝑒 elevado a 𝑘𝑡, donde 𝑃 cero es el valor inicial de 𝑃, y 𝑘 es la tasa de crecimiento o decrecimiento. Bien, vamos a ver lo que tenemos. Como las opciones que tenemos están enumeradas en términos de 𝑓, vamos a cambiar esta ecuación a 𝑓 de 𝑡 igual a 𝑓 cero por 𝑒 elevado a 𝑘𝑡, donde 𝑓 es la cantidad de radiotrazador que queda en el organismo del paciente tras 𝑡 minutos. Sabemos que el médico inyecta al paciente 13 miligramos de radiotrazador. Es decir, esa es la cantidad inicial de radiotrazador que hay en el organismo del paciente. Por lo tanto, 𝑓 cero es 13. Así que podemos decir que 𝑓 de 𝑡 es igual a 13 por 𝑒 elevado a 𝑘𝑡.

Pero también sabemos que, a los 12 minutos, quedaban 4.75 miligramos de radiotrazador en la sangre del paciente. Esto es, cuando 𝑡 es igual a 12, 𝑓 es igual a 4.75. Así que vamos a sustituir estos valores en nuestra función y a despejar 𝑘. Eso es 4.75 igual a 13𝑒 elevado a 12𝑘. Despejamos 𝑘 dividiendo ambos lados por 13. Y vemos que 4.75 sobre 13 es igual a 𝑒 elevado a 12𝑘. A continuación, hallamos el logaritmo neperiano de ambos lados de la ecuación. Esto es muy útil, pues se trata de la operación inversa de elevar algo al exponente con una base 𝑒. Por lo tanto, estas dos operaciones se cancelan entre sí. De esta forma obtenemos que el logaritmo neperiano de 𝑒 elevado a 12𝑘 es 12𝑘.

Así que hemos hallado que el logaritmo neperiano de 4.75 sobre 13 es 12𝑘. Resolvemos esta ecuación dividiendo ambos lados por 12. Así obtenemos que 𝑘 es igual a 12 logaritmo neperiano de 4.75 sobre 13. Introducimos esto en la calculadora y obtenemos que 𝑘 es menos 0.083900, etcétera. Si redondeamos la respuesta a tres cifras decimales obtenemos que 𝑘 es aproximadamente igual a menos 0.0839. Sustituimos esto en la ecuación y obtenemos que 𝑓 de 𝑡 es igual a 13 por 𝑒 elevado a menos 0.0839𝑡. Enseguida vemos que esto concuerda con la opción D. 𝑓 de 𝑡 es 13 por 𝑒 elevado a menos 0.0839𝑡.

Una vez que tenemos estos modelos, podemos utilizarlos para hacer predicciones sobre futuros comportamientos. Veamos un ejemplo de este tipo.

Al comienzo de un experimento, un científico tiene una muestra que contiene 250 miligramos de un isótopo radiactivo. El isótopo radiactivo decae exponencialmente a un ritmo del 1.3 por ciento por minuto. a) Escribe la masa del isótopo en miligramos, 𝑚, como una función del tiempo en minutos, 𝑡, desde que comenzó el experimento. Y b) Halla la semivida del isótopo, y redondea la respuesta al minuto más cercano.

Como ya sabemos, podemos modelar el crecimiento y el decrecimiento exponencial usando la fórmula 𝑃 de 𝑡 igual a 𝑃 cero por 𝑒 elevado a 𝑘𝑡, donde 𝑃 cero es el valor inicial de 𝑃, y 𝑘 es la tasa de crecimiento o decrecimiento. En este caso hay 250 miligramos de muestra al comienzo del experimento. Por lo tanto, 𝑃 cero es igual a 250. Y hemos dicho que 𝑘 es la tasa de crecimiento o decrecimiento. Como el isótopo decae, este valor va a ser negativo. Y 1.3 por ciento expresado como un número decimal es 0.013. Por lo tanto, 𝑘 es menos 0.013. Así que la función que describe la masa en minutos es 𝑚 igual a 250 por 𝑒 elevado a menos 0.013𝑡.

Ahora vayamos a la parte b). Vamos a tratar de entender la definición del término «semivida». Es el tiempo que tarda la radiactividad del isótopo en decaer a la mitad de su valor original. En este caso es la mitad de 250. Que son 125 miligramos. Tenemos que hallar el valor de 𝑡 para el que 𝑚 es igual a 125. Así que hacemos 𝑚 igual a 125 y despejamos 𝑡.

De esta forma obtenemos que 125 es igual a 250 por 𝑒 elevado a menos 0.013𝑡. A continuación, dividimos ambos lados de la ecuación por 250. 125 entre 250 es 0.5. Así que 0.5 es igual a 𝑒 elevado a menos 0.013𝑡. Ahora tomamos el logaritmo neperiano de ambos lados de la ecuación y obtenemos que el logaritmo neperiano de 0.5 es igual al logaritmo neperiano de 𝑒 elevado a menos 0.013𝑡. Y, obviamente, el logaritmo neperiano de 𝑒 elevado a menos 0.013𝑡 es menos 0.013𝑡. Ahora, lo último que tenemos que hacer es dividir ambos lados de la ecuación por menos 0.013. Y obtenemos que 𝑡 es igual a 53.319 minutos que, redondeado al minuto más cercano es 53 minutos.

En este vídeo hemos aprendido cómo resolver ecuaciones diferenciales de la forma d𝑃 sobre d𝑡 igual a 𝑘𝑃 escribiéndolas en la forma uno sobre 𝑃 d𝑃 igual a 𝑘 d𝑡 e integrando ambos lados. Haciendo esto, hemos obtenido que la solución es de la forma 𝑃 igual a 𝑃 cero por 𝑒 elevado a 𝑘𝑡, donde 𝑃 de cero es igual a 𝑃 cero. También hemos visto que, aunque resulta útil derivar la fórmula, es suficiente con conocerla para poder aplicarla a problemas de crecimiento y decrecimiento exponencial.

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