Vídeo: Derivadas de segundo orden y de órdenes superiores

En este video, vamos a aprender cómo hallar derivadas de segundo orden y de órdenes superiores de una función, usando las reglas de derivación.

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Transcripción del vídeo

En este video vamos a aprender cómo hallar derivadas de segundo orden de funciones y derivadas de órdenes superiores, incluyendo de aquellas funciones que requieren una combinación de reglas de derivación. Para mejor aprovechar este video conviene estar familiarizado con la derivación de funciones polinómicas y trigonométricas, la aplicación de la regla de la cadena, la regla del producto y la regla del cociente. Ya que vamos a usar todas estas herramientas para hallar las derivadas de segundo orden y órdenes superiores.

Como la derivada de una función 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 es en sí una función en 𝑥, podemos hallar la derivada de la derivada — o sea, la derivada de 𝑓 prima de 𝑥. Lo que se conoce como hallar la segunda derivada de la función. Y se representa como 𝑓 doble prima de 𝑥, o, usando la notación de Leibniz, d dos 𝑦 sobre d𝑥 dos, o bien, d dos 𝑦 sobre d𝑥 al cuadrado.

Esta idea puede ser continuada para hallar la derivada tercera, la cuarta, la quinta, etc. de la función original. Después de la tercera derivada, no continuamos usando la notación prima, ya que comienza a ponerse un poco complicado. En su lugar, denotamos la 𝑛-ésima derivada como se muestra. Generalmente, realizamos este procedimiento de forma recursiva, derivando repetidamente la función en 𝑥, de modo que la derivada de orden 𝑛 de la función se obtiene derivando la derivada de orden 𝑛 menos uno de la función.

Es útil notar, no obstante, que son muchos los casos en los que es posible obtener una fórmula general para la derivada de un orden 𝑛 arbitrario. Y vamos a considerar esto más adelante. También hay una serie de aplicaciones de las derivadas de segundo orden y de ordenes mayores, aunque no las vamos a considerar en este video, pues solo nos centraremos en los procedimientos según sean necesarios. Veamos primero un ejemplo sencillo en el que tenemos que hallar la derivada de una función polinómica.

Sabiendo que 𝑦 es igual a seis 𝑥 elevado a cinco más tres 𝑥 al cuadrado menos siete 𝑥 más seis, determina la segunda derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥.

Aquí nos han dado una función en 𝑥. Y nos piden hallar d dos 𝑦 sobre d𝑥 al cuadrado. Para hacer esto, derivamos una vez para hallar d𝑦 sobre d𝑥, y después derivamos una vez más para hallar la segunda derivada. Recordemos que podemos derivar una función de la forma 𝑎𝑥 elevado a 𝑛 con respecto a 𝑥 para algún número racional constante 𝑛, que no es igual a cero y alguna constante 𝑎. Y obtenemos 𝑛𝑎 por 𝑥 elevado a 𝑛 menos uno. En otras palabras, tomamos el exponente de 𝑥 y lo ponemos como coeficiente de la potencia. Después, restamos uno del exponente.

En este caso especial donde 𝑛 es igual a cero, tenemos, de hecho, una constante. La llamamos 𝑏. Y la derivada de una constante es cero. Esto nos va a ayudar a hallar la primera derivada de nuestra función. La derivada de seis 𝑥 elevado a cinco es cinco por seis 𝑥. Después, restamos uno de la potencia. Cinco menos uno es cuatro. Esto es 30𝑥 elevado a cuatro. Vamos a repetir esto para derivar tres 𝑥 al cuadrado. Va a ser dos por tres 𝑥. Luego, restamos uno de la potencia. Dos menos uno es uno. Por tanto, la derivada de tres 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥 es seis 𝑥.

La derivada de menos siete 𝑥 es uno por menos siete 𝑥 elevado a cero. Esto es simplemente menos siete. Y, por supuesto, seis es una constante, así que la derivada de seis es cero. d𝑦 sobre d𝑥, la primera derivada de nuestra ecuación es 30𝑥 elevado a cuatro más seis 𝑥 menos siete. Vamos a derivar cada parte de esta expresión una vez más para hallar la segunda derivada.

Vamos a hacerlo término a término. La derivada de 30𝑥 elevado a cuatro es cuatro por 30𝑥 elevado a tres. La derivada de seis 𝑥 es seis. Y la derivada de menos siete es cero. Simplificamos esto y hallamos que la segunda derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥 es 120𝑥 al cubo más seis.

En este ejemplo, hemos visto cómo aplicar la derivada repetidamente para hallar la segunda derivada de una función polinómica.

A continuación, vamos a ver cómo evaluar la segunda derivada de una función un poco más complicada en un punto dado.

Determina el valor de la segunda derivada de la función 𝑦 igual a 12𝑥 menos ocho sobre 𝑥 en uno, cuatro.

Tenemos una ecuación para 𝑦 en términos de 𝑥. Y nos piden hallar el valor de la segunda derivada en el punto con coordenadas cartesianas uno, cuatro. Vamos a comenzar por hallar una expresión para la segunda derivada. Para hacer esto, vamos a derivar nuestra función una vez para hallar d𝑦 sobre d𝑥, y después derivaremos con respecto a 𝑥 una vez más. Puede ser útil, para poder hacer esto, escribir 𝑦 como 12𝑥 menos ocho 𝑥 elevado a menos uno. Y luego derivamos como de costumbre.

La derivada de 12𝑥 con respecto a 𝑥 es simplemente 12. Y la derivada de menos ocho 𝑥 elevado a menos uno es menos menos uno por ocho 𝑥 elevado a menos dos. Ten mucho cuidado. Pues un error común aquí es ver menos uno y pensar que cuando restamos uno, llegamos a cero. Cuando simplificamos esto, vemos que la primera derivada es 12 más ocho 𝑥 elevado a menos dos. Repitamos este proceso para hallar la segunda derivada.

La derivada de 12 es cero. Y luego, cuando derivamos ocho 𝑥 elevado a menos dos con respecto a 𝑥, obtenemos menos dos por ocho 𝑥 elevado a menos tres. Eso es menos 16𝑥 elevado a menos tres. Y, por supuesto, podemos cambiar esto a menos 16 sobre 𝑥 al cubo si lo deseamos.

Necesitamos determinar el valor de la segunda derivada en uno, cuatro. Estas son coordenadas cartesianas. Tiene una abscisa 𝑥 igual a uno y una ordenada 𝑦 igual a cuatro. Así que vamos a sustituir 𝑥 por uno en nuestra ecuación para la segunda derivada. Esto nos da menos 16 sobre uno al cubo, que es menos 16.

En nuestro siguiente ejemplo, vamos a aprender a aplicar las reglas estándar de la derivación para ayudarnos a hallar la segunda derivada.

Sabiendo que 𝑦 es igual a tres 𝑥 al cuadrado menos cinco sobre dos 𝑥 al cuadrado más siete, determina la segunda derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥.

Aquí tenemos un cociente. Es el resultado de dividir una función por otra función. Podemos, por lo tanto, usar la regla del cociente para ayudarnos a hallar la primera derivada. Esta regla dice que, para dos funciones derivables 𝑢 y 𝑣, la derivada de 𝑢 sobre 𝑣 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑣 por d𝑢 sobre d𝑥 menos 𝑢 por d𝑣 sobre d𝑥, todo sobre 𝑣 al cuadrado.

Como 𝑢 es el numerador, igualamos 𝑢 a tres 𝑥 al cuadrado menos cinco. Y podemos ver que 𝑣 debe ser igual a dos 𝑥 al cuadrado más siete. Para poder usar la regla del cociente, vamos a derivar cada una de estas funciones con respecto a 𝑥. Cuando derivamos 𝑢 con respecto a 𝑥, obtenemos seis 𝑥. Y d𝑣 sobre d𝑥 es igual a cuatro 𝑥. 𝑣 por d𝑢 sobre d𝑥 es dos 𝑥 al cuadrado más siete por seis 𝑥. Después restamos el producto de 𝑢 y d𝑣 sobre d𝑥. Eso es tres 𝑥 al cuadrado menos cinco por cuatro 𝑥. Y, por supuesto, todo sobre 𝑣 al cuadrado. Eso es dos 𝑥 al cuadrado más siete al cuadrado.

Al desarrollar los paréntesis en la parte superior de nuestra fracción, obtenemos 12𝑥 al cubo más 42𝑥 menos 12𝑥 al cubo más 20𝑥. Y mantendremos el denominador tal como está. Vemos que la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥 es 62𝑥 sobre dos 𝑥 al cuadrado más siete al cuadrado.

Para hallar la segunda derivada, vamos a derivar esto nuevamente. Vamos a hacer algo de espacio. Una vez más, queremos derivar un cociente, por lo que vamos a utilizar la regla del cociente. Esta vez, hacemos 𝑢 igual a 62𝑥 y hacemos 𝑣 igual a dos 𝑥 al cuadrado más siete al cuadrado. d𝑢 sobre d𝑥 es bastante sencillo. Es 62. ¿Pero qué pasa con d𝑣 sobre d𝑥?

Bien, podemos usar un caso especial de la regla de la cadena llamado regla general de la potencia. Esta dice que, si 𝑝 es una función de 𝑥 y 𝑛 es una constante real distinta de cero, la derivada de 𝑝 elevado a 𝑛 con respecto a 𝑥 es 𝑛 por 𝑝 elevado a 𝑛 menos uno, por d𝑝 sobre d𝑥. Esto significa que d𝑣 sobre d𝑥 es dos por esta función en 𝑥, que es dos 𝑥 al cuadrado más siete elevado a uno, multiplicado por la derivada de dos 𝑥 al cuadrado más siete con respecto a 𝑥, que es cuatro 𝑥.

Y cuando simplificamos esto, vemos que d𝑣 sobre d𝑥 es ocho 𝑥 por dos 𝑥 al cuadrado más siete. Esta vez, 𝑣 por d𝑢 sobre d𝑥 es dos 𝑥 al cuadrado más siete al cuadrado por 62, menos 𝑢 por d𝑣 sobre d𝑥 todo sobre 𝑣 al cuadrado. La clave aquí es reconocer que el denominador de nuestra fracción se convierte en dos 𝑥 al cuadrado más siete elevado a cuatro. Y esto significa que podemos dividir por un factor común de dos 𝑥 al cuadrado más siete. Lo que nos deja con dos 𝑥 al cuadrado más siete al cubo en el denominador y 62 por dos 𝑥 al cuadrado más siete menos 62𝑥 por ocho 𝑥 en la parte superior.

Podemos sacar un factor común de 62 en el numerador. Y después, cuando restamos ocho 𝑥 por 𝑥 de dos 𝑥 al cuadrado, obtenemos menos seis 𝑥 al cuadrado. Así que la segunda derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥 es 62 por siete menos seis al cuadrado sobre dos 𝑥 al cuadrado más siete al cubo.

Una vez que hemos visto cómo hallar la segunda derivada, vamos a ver cómo resolver problemas usando derivadas de órdenes superiores.

Sabiendo que 𝑦 es igual a 𝑎𝑥 al cubo más 𝑏𝑥 al cuadrado, que la tercera derivada de 𝑦 es menos 18, y que la segunda derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥 es igual a menos 14 en 𝑥 igual a dos, halla 𝑎 y 𝑏.

En esta cuestión, nos dan una ecuación para 𝑦 en términos de 𝑥 y algo de información sobre la segunda derivada y sobre la tercera derivada, denotada esta última como 𝑦 triple prima. Para responder esta cuestión, comencemos hallando la segunda y la tercera derivadas de 𝑦 con respecto a 𝑥.

Derivamos 𝑦 con respecto a 𝑥, y obtenemos tres 𝑎𝑥 al cuadrado más dos 𝑏𝑥. Para hallar la segunda derivada, vamos a derivar la ecuación para la primera derivada. Y obtenemos dos por tres 𝑎𝑥 más dos 𝑏. Esto se simplifica a seis 𝑎𝑥 más dos 𝑏. Una vez más, para hallar la tercera derivada, derivamos la segunda derivada con respecto a 𝑥. Como dos 𝑏 es una constante, la tercera derivada es seis 𝑎.

Nos dicen que la segunda derivada evaluada en 𝑥 igual a dos es menos 14. Sustituyamos 𝑥 igual a dos en nuestra ecuación para la segunda derivada e igualémosla a menos 14. Eso es seis por dos más dos 𝑏 igual a menos 14, o 12𝑎 más dos 𝑏 igual a menos 14. También nos dicen que la tercera derivada es igual a menos 18. Por eso podemos decir que seis 𝑎 debe ser igual a menos 18.

Nos damos cuenta de que esta última ecuación tiene una sola incógnita, lo que quiere decir que podemos resolverla fácilmente. Podemos dividir ambos lados de esta ecuación por seis. Y cuando lo hacemos, hallamos que 𝑎 es igual a menos tres. Podemos tomar este valor y sustituirlo en la ecuación que habíamos formado usando la segunda derivada. Eso nos da 12 multiplicado por menos tres más dos 𝑏 igual a menos 14. 12 multiplicado por menos tres es menos 36. Sumamos 36 a ambos lados de nuestra ecuación para obtener dos 𝑏 igual a 22. Y lo dividimos por dos para obtener 𝑏 igual a 11. Por lo tanto, 𝑎 es igual a menos tres y 𝑏 es igual a 11.

En nuestro último ejemplo, vamos a considerar un caso en el cual podemos derivar una fórmula general para una derivada de orden 𝑛 arbitrario.

Halla la derivada de orden 51 de seno de 𝑥 con respecto a 𝑥 encontrando las primeras derivadas y observando la secuencia que ocurre.

Comencemos por hallar la primera derivada de seno de 𝑥 con respecto a 𝑥. Podemos citar el resultado estándar de que d sobre d𝑥 de seno de 𝑥 es coseno de 𝑥. Esto significa que para hallar la segunda derivada de seno de 𝑥, necesitamos derivar coseno de 𝑥 con respecto a 𝑥.

Aquí podemos citar otro resultado estándar. La derivada de coseno de 𝑥 con respecto a 𝑥 es menos seno de 𝑥. La segunda derivada de seno de 𝑥 con respecto a 𝑥 es, pues, menos seno de 𝑥. De forma similar, la tercera derivada será hallada derivando menos seno 𝑥 con respecto a 𝑥. Y podemos usar la regla del factor constante para sacar el menos uno, que es una constante, fuera de la derivada y concentrarnos en diferenciar seno de 𝑥.

Hemos visto que la derivada de seno de 𝑥 con respecto a 𝑥 es coseno de 𝑥. Esto significa que la tercera derivada de seno de 𝑥 con respecto a 𝑥 es menos coseno de 𝑥. La cuarta derivada de seno de 𝑥 va a ser la derivada de menos coseno de 𝑥 con respecto a 𝑥. Una vez más, vamos a usar la regla del factor constante para sacar la constante menos uno fuera de la derivada y concentrarnos en derivar coseno de 𝑥, que es menos seno de 𝑥.

Así que la cuarta derivada es menos menos seno de 𝑥, que es seno de 𝑥. Y en realidad no necesitamos hacer más. Podemos ver que tenemos un ciclo. La quinta derivada de seno de 𝑥 será coseno de 𝑥. Y la sexta derivada volverá a menos seno de 𝑥, y así sucesivamente. Entonces, ¿cuál es la regla general?

Podemos decir que para un entero 𝑘 cualquiera, la derivada de orden cuatro 𝑘 de seno de 𝑥 es seno de 𝑥. La derivada de orden cuatro 𝑘 más uno de seno de 𝑥 es coseno de 𝑥. La derivada de orden cuatro 𝑘 más dos de seno de 𝑥 es menos seno de 𝑥. Y la derivada de orden cuatro 𝑘 más tres de seno de 𝑥 es menos coseno de 𝑥.

Estamos tratando de hallar la derivada de orden 51. Y podemos escribir 51 como cuatro por 12 más tres. Esto significa que la derivada de orden 51 de seno de 𝑥 es una derivada de orden cuatro 𝑘 más tres. Es, por lo tanto, igual a menos coseno de 𝑥.

Es útil saber que, dado que las derivadas de seno y coseno están estrechamente relacionadas, también podemos derivar una fórmula general para la 𝑛-ésima derivada de coseno de 𝑥. La derivada de orden cuatro 𝑘 de coseno de 𝑥 es coseno de 𝑥. La derivada de orden cuatro 𝑘 más uno de coseno de 𝑥 es menos seno de 𝑥. La derivada de orden cuatro 𝑘 más dos de coseno de 𝑥 es menos coseno de 𝑥. Y la derivada de orden cuatro 𝑘 más tres de coseno de 𝑥 es seno de 𝑥.

En este video, hemos visto que podemos usar las reglas estándar de derivación para hallar derivadas de segundo orden y de órdenes superiores. Vimos que generalmente realizamos este procedimiento de manera recursiva, aunque hay muchos casos en los que podemos hacer uso de métodos secuenciales para escribir reglas para derivadas de orden arbitrario.

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