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Vídeo de la lección: Resolución de ecuaciones trigonométricas Matemáticas • Décimo grado

En este vídeo vamos a aprender cómo resolver ecuaciones trigonométricas descomponiendo en factores o completando el cuadrado.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo resolver ecuaciones trigonométricas descomponiendo en factores o completando el cuadrado. Las ecuaciones que vamos a ver contienen al menos una de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Antes de ver estos métodos más sofisticados, vamos a repasar cómo resolvemos ecuaciones trigonométricas sencillas.

Recordemos que las ecuaciones de la forma seno 𝜃 igual a 𝑘, coseno de dos 𝜃 igual a 𝑘, tangente de 𝜃 menos 30 igual a 𝑘 pueden resolverse usando una gráfica o un diagrama CAST. También vamos a repasar algunas propiedades de las funciones seno, coseno y tangente. El seno del ángulo 𝜃 es igual al seno de 180 grados menos 𝜃. El coseno de 𝜃 es igual al coseno de 360 menos 𝜃. Y la tangente de un ángulo 𝜃 es igual a la tangente de 180 más 𝜃.

Antes de resolver una ecuación trigonométrica, conviene considerar cuántas soluciones esperamos que tenga la ecuación. Podemos identificar el número de veces que una función trigonométrica es igual a un valor particular en un intervalo dado trazando una recta horizontal a lo largo de su gráfica en este valor y luego contando el número de veces que esta recta interseca la gráfica. Por ejemplo, si queremos determinar el número de soluciones de la ecuación seno 𝑥 igual a 0.5 en el intervalo donde 𝑥 es mayor o igual que cero y menor o igual a 360 grados, trazamos una recta horizontal en 𝑦 igual a 0.5. Como esta recta horizontal corta la gráfica dos veces en el intervalo dado, concluimos que la ecuación seno 𝑥 igual a 0.5 tiene dos soluciones en el intervalo 𝑥 mayor o igual que cero y menor o igual que 360 grados.

Vamos a ver ahora un ejemplo más complejo de este tipo de cuestiones. Antes de hacerlo, hemos de recordar primero una de las identidades trigonométricas clave. Esta identidad define la relación entre las tres funciones trigonométricas. Para un ángulo 𝜃, la tangente de 𝜃 es igual al seno de 𝜃 dividido por el coseno de 𝜃. Vamos a ver ahora un ejemplo en el que necesitamos usar esta identidad.

Si 𝑥 es mayor o igual que cero grados y menor o igual que 360 grados, entonces el número de soluciones de la ecuación cuatro seno 𝑥 igual a la tangente de 𝑥 es (espacio en blanco).

Esta ecuación contiene dos razones trigonométricas: seno y tangente. Recordemos que podemos expresar la función tangente en términos de las funciones seno y coseno. La tangente de 𝑥 es igual al seno de 𝑥 partido por el coseno de 𝑥. Sustituimos esto en el lado derecho de nuestra ecuación, y obtenemos cuatro seno de 𝑥 igual a seno de 𝑥 entre coseno de 𝑥. Seguidamente restamos seno de 𝑥 entre coseno de 𝑥 de ambos lados, y obtenemos cuatro seno de 𝑥 menos seno de 𝑥 partido por coseno de 𝑥 igual a cero.

Es posible que en este paso tengamos la tentación de dividir la ecuación por el factor común de seno de 𝑥. Pero si lo hacemos, podríamos perder algunas soluciones si el factor por el que dividimos es igual a cero. Así que, en vez de eso, vamos a factorizar seno de 𝑥 en el lado izquierdo de la ecuación. Esto nos da seno de 𝑥 multiplicado por cuatro menos uno partido entre coseno de 𝑥 igual a cero.

Ahora tenemos un producto que es igual a cero. Y la única forma en que un producto puede ser igual a cero es si al menos uno de los factores es igual a cero. Esto significa que tenemos que resolver las dos ecuaciones seno de 𝑥 igual a cero y cuatro menos uno partido por coseno de 𝑥 igual a cero. En la gráfica de la función seno que se muestra podemos ver que seno de 𝑥 es igual a cero tres veces en el intervalo donde 𝑥 es mayor o igual que cero y menor o igual que 360 grados. Estas soluciones son cero, 180 y 360 grados. Pero en esta cuestión solo nos interesa saber cuál es el número de soluciones. seno 𝑥 es igual a cero tres veces entre cero y 360 grados inclusive.

Consideremos la segunda ecuación, cuatro menos uno partido por coseno 𝑥 igual a cero. Multiplicamos por coseno de 𝑥, y obtenemos cuatro coseno de 𝑥 menos uno igual a cero. Seguidamente sumamos uno a ambos lados de modo que cuatro coseno de 𝑥 es igual a uno y, por último, dividimos por cuatro de modo que coseno de 𝑥 es igual a un cuarto.

Recordando la gráfica de la función coseno y dibujando una recta horizontal a lo largo de la gráfica en 𝑦 igual a un cuarto, hallamos que hay dos valores de 𝑥 en el intervalo 𝑥 es mayor o igual que cero y menor o igual que 360 grados para los que coseno de 𝑥 es igual a un cuarto. Aunque podemos calcular estos valores, no se nos pide que lo hagamos en este problema. Es evidente que estos no son los mismos valores para los que seno 𝑥 es igual a cero, pues una de las soluciones se encuentra entre cero y 90 grados y la segunda solución se encuentra entre 270 y 360 grados.

Así que concluimos que hay cinco soluciones para la ecuación cuatro seno de 𝑥 igual a tangente de 𝑥 entre cero y 360 grados inclusive. La respuesta correcta es cinco.

Veamos ahora una cuestión en la que tenemos que hallar todas las soluciones de una ecuación trigonométrica más compleja mediante descomposición en factores.

Halla el conjunto de valores que satisfacen tangente al cuadrado de 𝜃 más tangente de 𝜃 igual a cero, donde 𝜃 es mayor o igual que cero grados y menor que 180 grados.

Si nos fijamos en esta ecuación podemos ver que es una ecuación cuadrática en tangente 𝜃. Comenzamos factorizando el miembro izquierdo de la ecuación. Y obtenemos tangente de 𝜃 multiplicado por tan 𝜃 más uno igual a cero. Al igualar cada uno de estos factores a cero, obtenemos tan 𝜃 igual a cero o tan 𝜃 más uno igual a cero. Restamos uno de ambos lados de la segunda ecuación, y obtenemos dos soluciones: tangente de 𝜃 es igual a cero o tangente de 𝜃 es igual a menos uno.

Recordemos ahora la gráfica de la función tangente que se muestra. Aunque la hemos dibujado para valores de 𝜃 entre cero y 360 grados, es importante tener en cuenta que, para este problema, solo estamos buscando soluciones mayores o iguales que cero y menores de 180 grados. A partir de la gráfica podemos ver que la tangente de 𝜃 es igual a cero en cero grados. Esto también es cierto para 180 y 360 grados. Pero estos dos valores no están en el conjunto de valores de 𝜃. Por lo tanto, la ecuación tan 𝜃 igual a cero tiene una solución donde 𝜃 es igual a cero grados.

Si trazamos una recta horizontal en nuestra gráfica en 𝑦 igual a menos uno, vemos que interseca la gráfica de 𝑦 igual a tan 𝜃 una vez entre cero y 180 grados. Este valor se encuentra entre 90 y 180 grados. Si consideramos la ecuación tangente 𝜃 igual a menos uno, podemos tomar la inversa de la tangente de ambos lados. Y obtenemos que 𝜃 es igual a la inversa de la tangente de menos uno.

Al escribir esto en nuestra calculadora obtenemos que 𝜃 es igual a menos 45 grados. Pero este valor está fuera del intervalo requerido para 𝜃. Recordando la periodicidad de la función tangente, podemos hallar la segunda solución de la ecuación sumando 180 grados. Esto es porque la tangente de 𝜃 es igual a la tangente de 180 grados más 𝜃. Tenemos que sumar 180 a menos 45. Esto nos da una respuesta de 135 grados, que se encuentra dentro del intervalo requerido para 𝜃. Así que esta es una segunda solución válida.

A partir de la gráfica, podemos ver que no hay más soluciones en el intervalo 𝜃 mayor o igual que cero y menor que 180 grados. Así que concluimos que los valores que satisfacen tangente al cuadrado de 𝜃 más tangente de 𝜃 igual a cero son cero grados y 135 grados.

Un error muy común aquí sería dividir la ecuación inicial por tan 𝜃. De hacerlo, perderíamos algunas soluciones de la ecuación original, las soluciones con tangente de 𝜃 igual a cero. De hecho, esta fue una de las ecuaciones que tuvimos que resolver posteriormente. También debemos fijarnos bien en el intervalo en el que estamos buscando las soluciones. Es común que el intervalo sea 𝜃 mayor o igual a cero y menor o igual a 360 grados. Pero, como hemos visto en esta cuestión, este no es siempre el caso. Los valores adicionales pueden ser soluciones válidas de la ecuación. Pero si están fuera del intervalo requerido, entonces no sirven en el contexto del problema.

Antes de pasar a ver un último problema, vamos a recordar una segunda identidad trigonométrica. Esta identidad se conoce como identidad pitagórica. Según esta identidad, para todos los valores de 𝜃, seno al cuadrado 𝜃 más coseno al cuadrado 𝜃 es igual a uno. Podemos usar esta identidad para resolver algunos tipos específicos de ecuaciones trigonométricas. En el último ejemplo vamos a hacer uso de esta identidad después de elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación. Pero, ¡ojo!, ten en cuenta que elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación puede ser arriesgado si no tenemos mucho cuidado. Esto se debe a que elevar al cuadrado y hallar la raíz cuadrada no son operaciones uno a uno. Al elevar al cuadrado, podemos crear soluciones adicionales. Por lo tanto, si para resolver una ecuación trigonométrica elevamos al cuadrado, debemos seguidamente comprobar todas nuestras soluciones en la ecuación original para asegurarnos de que no hemos obtenido ninguna solución extraña.

Elevando al cuadrado ambos lados, o de otro modo, resuelve la ecuación cuatro seno de 𝜃 menos cuatro coseno de 𝜃 igual a raíz cuadrada de tres, donde 𝜃 es mayor que cero grados y menor o igual que 360 grados. Asegúrate de eliminar cualquier solución extraña. Expresa tus respuestas con dos cifras decimales.

El enunciado nos sugiere que solucionemos el problema elevando primero al cuadrado ambos lados de la ecuación. Al hacerlo, obtenemos cuatro seno 𝜃 menos cuatro coseno 𝜃, todo al cuadrado, igual a raíz cuadrada de tres al cuadrado. Si desarrollamos los paréntesis y seguidamente agrupamos los términos semejantes en el lado izquierdo obtenemos 16 seno al cuadrado de 𝜃 menos 32 seno 𝜃 coseno de 𝜃 más 16 coseno al cuadrado de 𝜃. En el lado derecho, la raíz cuadrada de tres al cuadrado es igual a tres.

A continuación podemos usar la identidad pitagórica, que dice que seno al cuadrado 𝜃 más coseno al cuadrado 𝜃 es igual a uno. Para ello reorganizamos el lado izquierdo, y obtenemos 16 multiplicado por seno al cuadrado de 𝜃 más coseno al cuadrado de 𝜃 menos 32 seno de 𝜃 coseno de 𝜃. Sustituimos seno al cuadrado de 𝜃 más coseno al cuadrado de 𝜃 por uno, y obtenemos la ecuación 16 menos 32 seno de 𝜃 coseno de 𝜃 igual a tres. Restamos 16 de ambos lados de esta ecuación, y obtenemos menos 32 seno de 𝜃 coseno de 𝜃 igual a menos 13. A continuación dividimos por menos 32, y obtenemos que seno de 𝜃 cos de 𝜃 es igual a 13 entre 32.

Ahora tenemos dos ecuaciones en las dos variables sen 𝜃 y cos 𝜃. Esto significa que el sistema de ecuaciones puede resolverse simultáneamente. Sumamos cuatro de 𝜃 a ambos lados de nuestra ecuación original, y obtenemos cuatro seno de 𝜃 igual a raíz de tres más cuatro coseno de 𝜃. Dividimos ambos lados de esta ecuación por cuatro, y obtenemos que seno de 𝜃 es igual a raíz de tres más cuatro coseno 𝜃, todo dividido por cuatro.

Vamos a hacer algo de espacio para resolver estas dos ecuaciones simultáneas. Comenzamos sustituyendo la expresión de seno 𝜃 de la ecuación dos en la ecuación uno. Y obtenemos raíz de tres más cuatro cos 𝜃 partido entre cuatro multiplicado por cos 𝜃 es igual a 13 entre 32. Vamos a reescribir esta ecuación desarrollando los paréntesis. Multiplicamos por 32, y obtenemos ocho raíz de tres cos 𝜃 más 32 coseno al cuadrado de 𝜃 igual a 13. Por último, restamos 13 de ambos lados de la ecuación, y obtenemos la siguiente ecuación cuadrática en términos de cos 𝜃.

Para resolverla usamos la fórmula cuadrática, donde 𝑎 es 32, 𝑏 es ocho raíz de tres y 𝑐 es menos 13. Sustituimos estos valores y simplificamos, y obtenemos que coseno de 𝜃 es igual a menos tres más o menos raíz cuadrada de 29, todo dividido por ocho. Tomamos la inversa de la función coseno de ambos lados con más raíz de 29, y obtenemos que 𝜃 es igual a 62.829 etcétera. Con dos cifras decimales, esto es igual a 62.83 grados. Al tomar la inversa de la función coseno de nuestra ecuación con menos raíz de 29 obtenemos que 𝜃 es igual a 152.829 etcétera. Que, con dos cifras decimales, es 152.83 grados.

El problema nos ha pedido hallar todas las soluciones que son mayores o iguales que cero grados y menores o iguales que 360 grados. Y, para ello, vamos a considerar la simetría de la función coseno, de modo que coseno de 𝜃 es igual coseno de 360 grados menos 𝜃. Al restar cada uno de nuestros valores de 360 grados obtenemos más soluciones, 297.17 grados y 207.17 grados con dos cifras decimales.

Así que hemos hallado cuatro soluciones posibles para la ecuación que se nos ha dado. Pero recuerda que el problema nos dijo que elimináramos cualquier solución extraña, que son las soluciones falsas que podrían añadirse al elevar al cuadrado nuestra ecuación original. Tenemos que sustituir cada una de nuestras cuatro soluciones en la ecuación inicial para comprobar que son válidas.

La ecuación original era cuatro seno de 𝜃 menos cuatro coseno 𝜃 igual a raíz de tres. Sustituimos 𝜃 igual a 62.83 en el lado izquierdo de nuestra ecuación, y obtenemos raíz de tres. Así que esta solución es válida. Pero cuando sustituimos 𝜃 igual a 152.83 grados en el lado izquierdo de nuestra ecuación, no obtenemos raíz de tres. Esto significa que esta no es una solución válida. Repetimos el mismo procedimiento para 207.17 grados y 297.17 grados, y obtenemos que 207.17 es una solución válida, mientras que la cuarta solución, 297.17 no lo es. Así que hay dos soluciones que satisfacen la ecuación en el intervalo dado de 𝜃, que son 62.83 y 207.17 grados.

Veamos los puntos principales que hemos visto en este vídeo. En este vídeo hemos aprendido que algunas ecuaciones trigonométricas pueden resolverse mediante descomposición en factores. Y que es muy importante extraer los factores comunes, no cancelarlos, pues, de lo contrario, podríamos perder algunas soluciones si estos factores son iguales a cero. Hemos visto, además, que algunas ecuaciones trigonométricas pueden resolverse elevando ambos lados al cuadrado. Y que, cuando usamos este método, hemos de identificar y eliminar las soluciones extrañas. Para determinar si una solución es verdadera o falsa, debemos sustituir las soluciones en la ecuación original.

También hemos aprendido que las dos identidades, tangente de 𝜃 igual a seno de 𝜃 dividido por coseno de 𝜃 y seno al cuadrado de 𝜃 más coseno al cuadrado de 𝜃 igual a uno, pueden ser útiles para resolver ecuaciones trigonométricas. Por último, vimos que las gráficas de las funciones trigonométricas, sus propiedades y el diagrama CAST pueden utilizarse para determinar soluciones adicionales después de hallar una de las soluciones.

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