Transcripción del vídeo
En este video, vamos a aprender cómo dividir números complejos. Primeros vamos a aprender cómo dividir un número complejo por un número real y
después por un número imaginario puro, antes de generalizar estas técnicas para
poder dividir un número complejo por otro número complejo. Luego aprenderemos cómo usar estos procedimientos para resolver ecuaciones que
requieren dividir números complejos.
Comencemos con la división de un número complejo por un número real. Esto se puede considerar como una extensión del proceso que usamos para multiplicar
números complejos por números reales. Multiplicamos un número complejo por un número real usando la propiedad distributiva
y multiplicando cada parte por el número real. Podemos pensar en la división por un número real 𝑐 como lo mismo que multiplicar por
el recíproco de 𝑐, o sea, multiplicar por uno sobre 𝑐. Uno sobre 𝑐 multiplicado por 𝑧 es 𝑧 dividido por 𝑐. Multiplicamos uno sobre 𝑐 por 𝑎 y obtenemos 𝑎 sobre 𝑐. Y multiplicamos uno sobre 𝑐 por 𝑏𝑖 y obtenemos 𝑏 sobre 𝑐𝑖. Podemos ver que, para dividir un número complejo por un número real 𝑐, simplemente
dividimos la parte real y seguidamente dividimos la parte imaginaria.
Veamos un ejemplo.
Sabiendo que 𝑧 es igual a cinco más tres 𝑖, expresa 𝑧 sobre dos en la forma 𝑎 más
𝑏𝑖.
Nos han dado un número complejo, cinco más 3 𝑖, y queremos hallar el número complejo
dado por 𝑧 dividido por dos. 𝑧 dividido por dos es cinco más tres 𝑖 dividido por dos. Para dividir un número complejo por un número real, necesitamos dividir tanto la
parte real como la parte imaginaria del número complejo por ese número real. Dividimos cinco, la parte real, por dos. Y dividimos la parte imaginaria, tres, por dos. Vemos que, para nuestro número complejo, 𝑧 sobre dos es lo mismo que cinco sobre dos
más tres sobre dos 𝑖.
¿Y qué hay de dividir un número complejo por un número imaginario puro?
Simplifica dos más cuatro 𝑖 sobre 𝑖.
Para averiguar cómo dividir dos más cuatro 𝑖 por 𝑖, recordemos la definición de
𝑖. Es una solución a la ecuación 𝑥 al cuadrado igual a menos uno. Así que 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno. Y a menudo decimos que 𝑖 es igual a la raíz cuadrada de menos uno.
Si consideramos esta fracción como dos más cuatro 𝑖 dividido por la raíz cuadrada de
menos uno, podemos ver que, para simplificar, necesitamos realizar el mismo proceso
de racionalización que si se tratara de cualquier otro radical. Hemos de multiplicar tanto el numerador como el denominador de nuestra fracción por
la raíz cuadrada de menos uno.
Y, por supuesto, la raíz cuadrada de menos uno es 𝑖. Por eso vamos a multiplicar tanto el numerador como el denominador de esta fracción
por 𝑖. Y podemos hacer esto porque multiplicar 𝑖 sobre 𝑖 es lo mismo que multiplicar por
uno. Básicamente, estamos creando una fracción equivalente.
Apliquemos la propiedad distributiva a 𝑖 multiplicado por dos más cuatro 𝑖. 𝑖 multiplicado por dos es dos 𝑖, e 𝑖 multiplicado por cuatro 𝑖 es cuatro 𝑖 al
cuadrado. Obviamente 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno. Así que nuestra expresión se convierte en dos 𝑖 más cuatro multiplicado por menos
uno, lo cual es menos cuatro más dos 𝑖.
En el denominador, tenemos 𝑖 multiplicado por 𝑖, que es 𝑖 al cuadrado, lo que es
igual a menos uno. Es decir que podemos escribir dos más cuatro 𝑖 sobre 𝑖 como menos cuatro más dos
uno [𝑖] sobre menos uno. Y dividimos por un número real. Y para dividir un número complejo por un número real, dividimos la parte real y
después separadamente la parte imaginaria. Menos cuatro dividido por menos uno es cuatro, y dos 𝑖 dividido por menos uno es
menos dos 𝑖. Y hemos simplificado completamente dos más cuatro 𝑖 sobre 𝑖. Es cuatro menos dos 𝑖.
Podemos usar una técnica similar para ayudarnos a dividir dos números complejos. Tal como hemos usado las reglas para racionalizar el denominador cuando el
denominador es una raíz, podemos también aplicar las reglas para racionalizar un
denominador cuando ese denominador es una expresión que incluye un número racional y
una raíz.
Consideremos un ejemplo.
Simplifica tres menos seis 𝑖 sobre uno menos cinco 𝑖.
Para simplificar esta fracción, o sea, para dividir tres menos seis 𝑖 por uno menos
cinco 𝑖, necesitamos hallar una forma de obtener un número real como nuestro
denominador. ¿Qué podemos hacer para obtener un número real? Bien, recordemos que si multiplicamos un número complejo por su conjugado, el cual se
halla cambiando el signo de la parte imaginaria, el producto es un número real. Así que, para un número complejo de la forma 𝑎 más 𝑏𝑖, su complejo conjugado es 𝑎
menos 𝑏𝑖.
Es decir, si multiplicamos el numerador y el denominador de esta fracción por el
complejo conjugado de uno menos cinco 𝑖, obtenemos un denominador real. Y el conjugado de uno menos cinco 𝑖 es uno más cinco 𝑖. Y luego desarrollamos los paréntesis con normalidad. Existe una variedad de métodos diferentes que podemos usar.
Veamos el método PEIÚ. P significa primero. Multiplicamos el primer término en el primer paréntesis por el primer término en el
segundo paréntesis. Es tres. E significa externo. Multiplicamos los términos externos. Obtenemos 15𝑖. I significa interno. Multiplicamos los términos internos. Obtenemos menos seis 𝑖. y Ú significa último. Multiplicamos el último término en cada paréntesis. Y obtenemos menos 30𝑖 al cuadrado.
Como sabemos que 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno, nuestro último término se
convierte en menos 30 multiplicado por menos uno, que es igual a 30. Y podemos simplificar nuestro numerador a 33 más nueve 𝑖.
Y vamos a efectuar el mismo proceso con el denominador. Obtenemos uno más cinco 𝑖 menos cinco 𝑖 menos 25𝑖 al cuadrado. Y sabemos que 𝑖 al cuadrado es menos uno. De modo que nuestro último término es más 25. Y después cinco 𝑖 menos cinco 𝑖 es cero. Lo que nos deja con 26. Y tenemos el denominador real que estábamos buscando. Hemos simplificado parcialmente nuestra fracción. Y ahora tenemos 33 más nueve 𝑖 dividido por 26.
Para dividir un número complejo por un número real, debemos dividir la parte real y
separadamente dividir la parte imaginaria. La parte real de nuestra respuesta es 33 sobre 26, y la parte imaginaria es nueve
sobre 26. Por lo tanto, nuestro número en su forma binómica es 33 sobre 26 más nueve sobre 26
𝑖.
De hecho, podríamos habernos ahorrado un poco de tiempo usando la fórmula general del
producto de un número complejo por su conjugado. Si el número complejo es de la forma 𝑎 más 𝑏𝑖, ese producto está dado por 𝑎 al
cuadrado más 𝑏 al cuadrado. En general, para dividir un número complejo por otro número complejo, lo escribimos
como una fracción. Y después multiplicamos tanto el numerador como el denominador de esta fracción por
el conjugado del denominador. Luego podemos desarrollar y simplificar lo más que se pueda.
Veamos esto en general.
Uno: Desarrolla y simplifica 𝑝 más 𝑞𝑖 multiplicado por 𝑝 menos 𝑞𝑖. Dos: Desarrolla 𝑎 más 𝑏𝑖 multiplicado por 𝑝 menos 𝑞𝑖. Tres: De ahí, halla una fracción equivalente a 𝑎 más 𝑏𝑖 sobre 𝑝 más 𝑞𝑖 y cuyo
denominador sea real.
Para la parte uno de esta pregunta, queremos multiplicar números complejos. Podemos aplicar cualquier método para desarrollar los paréntesis, tales como el
método PEIÚ o el método de la cuadrícula. Sin embargo, si observamos cuidadosamente, podemos ver que estos dos números
complejos son conjugados el uno del otro.
Para un número complejo de la forma 𝑎 más 𝑏𝑖, en donde 𝑎 es la parte real y 𝑏 es
la parte imaginaria, su conjugado se encuentra cambiando el signo de la parte
imaginaria. Y esto es muy útil. Nos ayuda a usar la fórmula del producto de un número complejo por su conjugado. Es 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado. Elevamos al cuadrado la parte real y la sumamos al cuadrado de la parte
imaginaria. La parte real de nuestro número complejo es 𝑝, y la parte imaginaria es 𝑞. Así que el producto de 𝑝 más 𝑞𝑖 por su conjugado 𝑝 menos 𝑞𝑖 es 𝑝 al cuadrado
más 𝑞 al cuadrado.
Desafortunadamente, no hay trucos que nos ayuden a multiplicar 𝑎 más 𝑏𝑖 por 𝑝
menos 𝑞𝑖. Vamos a usar el método PEIÚ en su lugar. Multiplicamos los primeros términos. 𝑎 multiplicado por 𝑝 es 𝑎𝑝. Multiplicamos los términos externos, y obtenemos 𝑎𝑞𝑖. Multiplicamos los términos internos y obtenemos 𝑏𝑝𝑖. Y despejando un poco de espacio para multiplicar los términos últimos, obtenemos
menos 𝑏𝑞𝑖 al cuadrado.
Recordemos que 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno. Así que este último término se convierte en más 𝑏𝑞. Vamos a organizar esto un poco para que parezca un número complejo. Sumamos las partes reales y obtenemos 𝑎𝑝 más 𝑏𝑞. Y separadamente sumamos las partes imaginarias. Y cuando hacemos esto, hallamos que la parte imaginaria de la distribución de estos
paréntesis es 𝑏𝑝 menos 𝑎𝑞. Así que la respuesta a la segunda parte es 𝑎𝑝 más 𝑏𝑞 más 𝑏𝑝 menos 𝑎𝑞𝑖.
Y la parte final es hallar un equivalente a la fracción 𝑎 más 𝑏𝑖 sobre 𝑝 más
𝑞𝑖. Y por supuesto, no es coincidencia que nos hayan pedido calcular algo que ya
tenemos. Queremos crear una fracción equivalente que contenga un denominador real. Para obtener esto, multiplicamos tanto el numerador como el denominador de nuestra
fracción por el complejo conjugado del denominador. Y por supuesto, esto ya lo hemos calculado.
Vemos que una fracción equivalente a 𝑎 más 𝑏𝑖 sobre 𝑝 más 𝑞𝑖 cuyo denominador
es real, y de hecho la forma general de 𝑎 más 𝑏𝑖 dividido por otro número
complejo 𝑝 más 𝑞𝑖, es 𝑎𝑝 más 𝑏𝑞 más 𝑏𝑝 menos 𝑎𝑞𝑖 todo partido por 𝑝 al
cuadrado más 𝑞 al cuadrado. Recordemos que, aunque está muy bien esto de derivar esta fórmula, lo importante es
aprender cómo aplicar los procesos cada vez.
Si 𝑎 más 𝑏𝑖 es igual a menos tres menos cinco 𝑖 sobre menos tres más cinco 𝑖,
¿es cierto que 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado es igual a uno?
Se nos ha dado el cociente de dos números complejos. Y se nos dice que esto se puede expresar como el número complejo 𝑎 más 𝑏𝑖. Para evaluar la expresión 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado, vamos a necesitar
determinar cuál es este número complejo en realidad. Para hacerlo, aplicamos los procesos para dividir números complejos.
Necesitamos multiplicar tanto el numerador como el denominador de esta fracción por
el complejo conjugado del denominador. Hallamos el conjugado cambiando el signo de la parte imaginaria. Y si hacemos eso, vemos que el conjugado de nuestro denominador es menos tres menos
cinco 𝑖.
Después vamos a multiplicar aplicando la propiedad distributiva. Comencemos con el numerador. Vamos a utilizar el método PEIÚ. Menos tres multiplicado por menos tres es nueve. Multiplicando los términos externos, obtenemos 15𝑖. Y, de hecho, los términos internos nos dan 15𝑖. Y cuando multiplicamos los dos últimos términos, obtenemos 25𝑖 al cuadrado. Pero, por supuesto, 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno. Entonces, este último término es 25 multiplicado por menos uno, que es igual a menos
25. Seguidamente sumamos las partes reales y sumamos por separado las partes imaginarias,
y podemos pensar en esto como una reducción de términos similares. Y obtenemos menos 16 más 30𝑖 como el numerador de nuestra fracción.
Podríamos repetir este proceso para el denominador. Sin embargo, si recordamos, para un número complejo cualquiera de la forma 𝑎 más
𝑏𝑖 cuyo conjugado es, por supuesto, 𝑎 menos 𝑏𝑖, el producto de estos dos
números viene dado por 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado. La parte real de nuestro número complejo es menos tres, y la parte imaginaria es
cinco. O sea, que al desarrollar estos paréntesis, obtenemos menos tres al cuadrado más
cinco al cuadrado. Y eso es nueve más 25, que es igual a 34. Menos tres menos cinco 𝑖 sobre menos tres más cinco 𝑖 es menos 16 más 30𝑖 sobre
34.
Y, naturalmente, para dividir un número complejo por un número real, dividimos las
partes reales y después las partes imaginarias por separado. Menos 16 sobre 34 se simplifica a menos ocho sobre 17. Y 30 sobre 34 se simplifica a 15 sobre 17. Y así podemos ver que 𝑎 debe ser igual a menos ocho sobre 17 y 𝑏 debe ser igual a
15 sobre 17.
Todo lo que queda es calcular la suma de sus cuadrados, 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al
cuadrado. Esto es menos ocho sobre 17 al cuadrado más 15 sobre 17 al cuadrado. Tendrán el mismo denominador. Y esto es 64 más 225 sobre 289. Pero ocurre que 64 más 225 es 289. Es decir que 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado es igual a 289 sobre 289, que
obviamente es igual a uno. Y, por lo tanto, es cierto que 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado es igual a uno.
En este ejemplo, los dos números complejos que dividimos son conjugados el uno del
otro. De hecho, es una regla general que si dividimos un número complejo por su conjugado,
la suma de los cuadrados de las partes real e imaginaria de este nuevo número
complejo es uno.
Consideremos ahora cómo resolver ecuaciones que requieren la división de números
complejos.
Resuelve la ecuación 𝑧 multiplicado por dos más 𝑖 igual a tres menos 𝑖 para
𝑧.
Para resolver esta ecuación para 𝑧, tenemos que aplicar operaciones inversas. Comenzamos dividiendo ambos lados de esta ecuación por dos más 𝑖. Y vemos que 𝑧 es igual a tres menos 𝑖 dividido por dos más 𝑖. Para dividir tres menos 𝑖 por dos más 𝑖, necesitamos multiplicar tanto el numerador
como el denominador de la fracción por el complejo conjugado de dos más 𝑖. Para hallar el complejo conjugado, cambiamos el signo de la parte imaginaria. Y obtenemos que el conjugado de dos más 𝑖 es dos menos 𝑖.
Vamos a desarrollar los paréntesis en la parte superior de esta fracción usando el
método PEIÚ. Tres multiplicado por dos es seis. Tres multiplicado por menos 𝑖 es menos tres 𝑖. Obtenemos luego menos dos 𝑖. Y nuestros términos últimos nos dan 𝑖 al cuadrado. 𝑖 al cuadrado es, como ya sabemos, menos uno. Por lo tanto, nuestro último término es menos uno.
Y podemos agrupar términos similares, o sea, sumar las partes reales y separadamente
sumar las partes imaginarias. Y vemos que tres menos 𝑖 multiplicado por dos menos 𝑖 es cinco menos cinco 𝑖. Y podemos repetir este proceso para el denominador.
Ya sabemos que hay una regla especial que podemos usar para multiplicar un número
complejo por su conjugado. Consiste en hallar la suma de los cuadrados de las partes reales y las
imaginarias. La parte real es dos, y la parte imaginaria, el coeficiente de 𝑖, es uno. Así que el producto de estos dos números complejos es cuatro más uno, que es
cinco. Y vemos que 𝑧 es igual a cinco menos cinco 𝑖 sobre cinco.
Podemos dividir la parte real por el número real. Obtenemos cinco dividido por cinco, que es uno. Y separadamente dividimos la parte imaginaria por este número real. Cinco dividido por cinco es uno. Obtenemos uno menos 𝑖. Y hemos resuelto nuestra ecuación para 𝑧.
Hemos visto que la división de números complejos puede llevar bastante tiempo.
Vamos a ver un ejemplo final en el que seremos capaces de simplificar nuestro trabajo
de alguna manera.
Simplifica tres menos cuatro 𝑖 sobre dos más dos 𝑖 más tres menos cuatro 𝑖 sobre
dos menos dos 𝑖.
En esta pregunta, queremos hallar la suma de dos fracciones cuyos denominadores y
numeradores son números complejos. Podríamos hacer uso de las reglas para dividir números complejos. Sin embargo, eso es un proceso bastante largo, especialmente para dos fracciones. En cambio, notamos que las fracciones tienen el mismo numerador. Y, por lo tanto, podemos reescribir esta expresión sacando un factor de tres menos
cuatro 𝑖. Y tenemos tres menos cuatro 𝑖 multiplicado por uno sobre dos más dos 𝑖 más uno
sobre dos menos dos 𝑖.
A continuación, sumamos estas fracciones hallando un denominador común. El denominador común es el producto de estos dos números. Es dos más dos 𝑖 multiplicado por dos menos dos 𝑖. Y cuando multiplicamos el numerador de la primera fracción por dos menos dos 𝑖,
obtenemos dos menos dos 𝑖. Y para el numerador de la segunda fracción, obtenemos dos más dos 𝑖. Y lo siguiente será simplificar esto.
Para el numerador, menos dos 𝑖 más dos 𝑖 es cero. Así que simplemente nos quedamos con cuatro. Y no desarrollamos los paréntesis en el denominador. En cambio, usamos el hecho de que son complejos conjugados el uno del otro. Y podemos encontrar su producto calculando la suma de los cuadrados de la parte real
y la parte imaginaria. Eso es dos al cuadrado más dos al cuadrado, que es ocho.
Cuatro sobre ocho se simplifica a un medio. Así que necesitamos encontrar la mitad de tres menos cuatro 𝑖. La mitad de la parte real es tres sobre dos, y la mitad de la parte imaginaria es
menos dos. Por lo tanto, nuestra solución es tres sobre dos menos dos 𝑖.
En este video, hemos aprendido que podemos dividir números complejos usando las
mismas técnicas que cuando racionalizamos denominadores reales. Y eso se consigue multiplicando tanto el numerador como el denominador de la fracción
por el conjugado del denominador, desarrollando paréntesis y luego
simplificando. También hemos visto que puede ser útil buscar factores comunes para ayudarnos a
simplificar expresiones más complicadas.
