Lesson Video: Transformaciones de Möbius (o Moebius)

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En este video, vamos a aprender sobre las transformaciones de Möbius (o Moebius), un tipo de transformaciones del plano complejo que toma su nombre de matemático alemán August Ferdinand Möbius, quien también da su nombre a la banda de Möbius. Esta clase de transformaciones tiene muy buenas propiedades, algunas de las cuales vamos a ver en este video, lo que hace que tengan aplicaciones matemáticas y en otras muchas áreas. Vayamos directamente a la definición.

Una transformación de Möbius es una transformación del plano complejo de la forma 𝑇 que lleva 𝑧 a 𝑎𝑧 más 𝑏 todo sobre 𝑐𝑧 más 𝑑, donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 son números complejos y 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 es diferente de cero. Así que básicamente, la imagen de 𝑧 está dada por un cociente de binomios lineales en 𝑧, y con esa condición añadida sobre los coeficientes de esos polinomios. Veamos primero por qué necesitamos esta condición. Bien, supongamos que 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 es cero, 𝑎𝑑 sería igual a 𝑏𝑐. Y por lo tanto, podríamos escribir 𝑎 en términos de los otros coeficientes. ¿Qué nos dice eso sobre la imagen de 𝑧? Usamos la fórmula que tenemos y sustituimos 𝑎 por esa expresión. Simplificamos. Y aquí hay un truco.

En el numerador, vemos que hay un factor común de 𝑏. Y en el denominador, vemos que hay un factor común de 𝑑. Factorizando 𝑏 y 𝑑, los otros factores se cancelan. Y la imagen de cualquier número complejo 𝑧 es el cociente constante de dos de los coeficientes, 𝑏 sobre 𝑑. Cuando 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 es cero, todo el plano complejo es asignado a un solo punto, el punto correspondiente al número complejo 𝑏 sobre 𝑑. Y no queremos trabajar con este tipo de transformaciones. Por lo tanto, necesitamos que 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 sea distinto de cero para evitar que esto suceda.

Y una vez que entendemos esto, podemos enfocarnos en la forma de 𝑇. Una transformación de Möbius es una transformación que se puede escribir de esta forma. Y 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 pueden ser números complejos cualesquiera, siempre que 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 sea distinto de cero. Para obtener un ejemplo de la transformación de Möbius, solo tenemos que elegir valores complejos para los coeficientes 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑. Por ejemplo, 𝑎 igual a dos más 𝑖, 𝑏 igual a menos dos, 𝑐 igual a uno y 𝑑 igual a menos tres menos cuatro 𝑖. Por supuesto, para asegurarnos de que este sea realmente un ejemplo de una transformación de Möbius, tenemos que verificar que 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 es distinto de cero. Con los valores que hemos escogido, obtenemos menos 11𝑖 para 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐, que es distinto de cero. Y, por lo tanto, este es verdaderamente un ejemplo de una transformación de Möbius.

Sin embargo, este ejemplo es bastante complicado. Si queremos entender las transformaciones de Möbius, debemos comenzar por considerar transformaciones de Möbius más simples. Lo que podemos hacer, por ejemplo, es elegir 𝑐 igual a cero y 𝑑 igual a uno. Así tenemos el denominador, cero 𝑧 más uno, es uno. Y la imagen de 𝑧 se simplifica a solo 𝑎𝑧 más 𝑏. Pero ¿en qué se convierte nuestra condición? 𝑏 por cero es cero, y 𝑎 por uno es solo 𝑎. Por tanto, la condición para que esto sea una transformación de Möbius es simplemente que 𝑎 sea distinto de cero. Vemos entonces que cualquier transformación de la forma 𝑇 uno que lleva 𝑧 a 𝑎𝑧 más 𝑏, donde 𝑎 es distinto de cero, es una transformación de Möbius. Y todas las llamadas transformaciones básicas que vimos anteriormente tienen esta forma.

Podemos ahora reducir aún más nuestro foco haciendo 𝑎 igual a uno. Vemos entonces que cualquier transformación de la forma 𝑇 dos que lleva 𝑧 a 𝑧 más 𝑏, donde 𝑏 es un número complejo, es una transformación de Möbius. No se requiere ninguna condición adicional en los coeficientes ya que 𝑎 no vale cero pues vale uno. Y sabemos qué es 𝑇 dos. Cualquier traslación en el plano complejo tendrá esta forma. Y, por lo tanto, todas las traslaciones del plano complejo son transformaciones de Möbius. La clase de las transformaciones de Möbius contiene la clase de las traslaciones. Por otro lado, en lugar de hacer 𝑎 igual a uno en 𝑇 uno, podemos hacer 𝑏 igual a cero. Al hacer esto obtenemos transformaciones de la forma 𝑇 tres que lleva 𝑧 a 𝑎𝑧, donde 𝑎 es un número complejo.

Aquí, necesitamos ser cuidadosos con la condición 𝑎 distinto de cero. Si 𝑎 fuese cero, 𝑇 tres asignaría todo número complejo 𝑧 a cero. El plano complejo completo sería colapsado al origen. Podemos incluir esta condición haciendo que 𝑎𝑏 sea un número complejo distinto de cero. Y ahora también reconocemos la transformación 𝑇 tres. Todas las homotecias del plano complejo con centro en el origen tienen esta forma, y también lo tienen los giros con respecto al origen. En general, esta es la forma de una composición de una tal dilatación y rotación. Y así, podemos ver que todas las homotecias con centro en el origen, las rotaciones alrededor del origen y sus composiciones son transformaciones de Möbius.

Y, de hecho, aunque no vamos a demostrar esto, la forma 𝑇 uno incluye todas las homotecias en el plano complejo sin importar cuál es el centro y todas las rotaciones del plano complejo sin importar alrededor de qué punto del plano complejo es el giro. Las transformaciones de Möbius incluyen todas las traslaciones, todas las homotecias y todas las rotaciones del plano complejo. Sin embargo, estos son solamente los casos simples de las transformaciones de Möbius. Así que tal vez no adquiramos una buena idea de la transformación general de Möbius considerando simplemente las traslaciones, homotecias y rotaciones. Para una transformación general de Möbius, 𝑐 no es cero y 𝑑 no es uno. Y también tenemos que hacer algunas divisiones. Veamos la transformación de Möbius más simple que incluye una división.

Igualamos 𝑎 a cero, 𝑏 a uno, 𝑐 a uno y 𝑑 a cero. Y así, simplificando, vemos que la imagen de 𝑧 es su recíproco, uno sobre 𝑧. La condición sobre los coeficientes es satisfecha. Así que esta es realmente una transformación de Möbius. Junto con el conocimiento de las traslaciones, homotecias y rotaciones, para comprender lo que hace una transformación general de Möbius, es suficiente con entender esta transformación recíproca. Justificaré esta afirmación más tarde. Pero, primero, analicemos la transformación recíproca más detalladamente.

Es muy fácil reconocer los efectos de la transformación en el módulo y el argumento del número complejo. Escribamos nuestro número complejo en la forma exponencial. Su imagen es uno sobre 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃, que según la fórmula de De Moivre es 𝑟 elevado a menos uno por 𝑒 elevado a 𝑖 menos 𝜃. Así que el módulo 𝑟 se transforma en su recíproco, uno sobre 𝑟. Y el argumento 𝜃 se transforma en su opuesto, menos 𝜃. Teniendo el punto en el plano complejo, podemos hallar su imagen por la transformación recíproca en dos pasos. Primero, transformamos el módulo en su recíproco sin cambiar el argumento. Y seguidamente, transformamos el argumento en su opuesto, sin cambiar el nuevo módulo.

Si empezamos con 𝑧 uno, esta es la imagen de 𝑧 uno, que es uno sobre 𝑧 uno. El primer paso, donde llevamos el módulo a su recíproco, es un poco misterioso. Cabe recalcar que si comenzamos con un número complejo cuyo módulo es menor que uno, después de tomar el recíproco del módulo, obtendremos un módulo mayor que uno. Y así, el transformado de 𝑧 dos tiene un módulo mayor que el de 𝑧 dos. Seguramente reconoces el segundo paso en donde llevamos el argumento 𝜃 a su opuesto. Este paso por sí solo transforma un número en su complejo conjugado. Geométricamente, representa el simétrico con respecto al eje real.

Tal vez quieras dedicar algo de tiempo explorando dónde lleva esta transformación puntos en diferentes partes del plano complejo. Vamos a ver, por ejemplo, que para esta transformación, 𝑧 debe ser diferente a cero. En particular, vale la pena explorar qué pasa con los puntos que están en la circunferencia unitaria, o los que están dentro o fuera de ella. Así que pausa el video y piensa un poco sobre ello.

Seguidamente, hallamos las imágenes de varios lugares geométricos en el plano complejo bajo la transformación del recíproco.

Una transformación que lleva el plano 𝑧 al plano 𝑤 está definida por 𝑇 que lleva 𝑧 a uno sobre 𝑧, donde 𝑧 es diferente de cero. Primero, halla una ecuación para la imagen de módulo de 𝑧 igual a dos bajo la transformación. Segundo, halla una ecuación para la imagen de argumento de 𝑧 igual a tres 𝜋 partido por cuatro. Tercero, halla una ecuación cartesiana para la imagen de parte imaginaria de 𝑧 igual a dos. Y cuarto, halla una ecuación cartesiana para la imagen de módulo de 𝑧 menos 𝑖 igual a uno.

Nuestra transformación lleva 𝑧 a su recíproco, uno sobre 𝑧. Así que, 𝑤 es uno sobre 𝑧. En esta parte, queremos hallar la imagen del módulo de 𝑧 igual a dos bajo esta transformación. Podemos invertir la transformación para hallar 𝑧 en términos de 𝑤. Multiplicando ambos lados por 𝑧 y después dividiendo por 𝑤, hallamos que 𝑧 es uno sobre 𝑤. Reemplazando esto, hallamos que nuestra imagen tiene la ecuación del módulo de uno sobre 𝑤 igual a dos. Pero podemos mejorar esta ecuación. Usamos el hecho de que el módulo de un cociente es el cociente de los módulos y el módulo de uno es uno. Reordenando, podemos escribir nuestra ecuación como módulo de 𝑤 igual a un medio.

¿Cómo se ve esto en el plano complejo? Bien, nuestro lugar geométrico original con ecuación módulo de 𝑧 igual a dos es una circunferencia centrada en el origen y de radio dos en el plano 𝑧. Y su imagen bajo la transformación del recíproco, que hemos mostrado, tiene como ecuación módulo de 𝑤 igual a un medio, que sabemos es una circunferencia con centro en el origen y radio de un medio en el plano 𝑤. Esto tiene sentido. Sabemos que la imagen de un número complejo con módulo 𝑟 bajo esta transformación tendrá un módulo de uno sobre 𝑟. Y así, la imagen de un número complejo con módulo dos tiene módulo uno sobre dos, que es un medio. Así que, cuando transformamos la circunferencia de todos los números complejos con módulo de dos mediante esta transformación, es natural que obtengamos la circunferencia de todos los números complejos con módulo de un medio.

Hallemos ahora la imagen de argumento de 𝑧 igual a tres 𝜋 sobre cuatro. Una vez más, usamos el hecho de que 𝑧 es uno sobre 𝑤. Así que el argumento de uno sobre 𝑤 es tres 𝜋 sobre cuatro. Usamos el hecho de que al argumento de un cociente es la diferencia de los argumentos. Y también que el argumento de uno es cero. Y multiplicando ambos lados por menos uno, obtenemos la ecuación argumento de 𝑤 igual a menos tres 𝜋 sobre cuatro. Una vez más, es muy útil mirar el diagrama. Vemos que la semirrecta de los números complejos con argumento tres 𝜋 sobre cuatro se transforma en la semirrecta de los números complejos con argumento menos tres 𝜋 sobre cuatro. Sabemos que un número complejo con argumento 𝜃 será asignado a un número complejo con argumento menos 𝜃. Por tanto, esto tiene sentido.

Supongamos ahora que la parte imaginaria de 𝑧 es igual a dos. Puede que no esté claro qué hacer con la parte imaginaria de uno sobre 𝑤. Lo que hacemos cuando queremos una ecuación cartesiana es escribir 𝑤 en términos de sus partes reales e imaginarias, que llamamos 𝑢 y 𝑣. ¿Cómo hallamos la parte imaginaria de uno sobre 𝑢 más 𝑖𝑣? Hacemos que el denominador sea real. Y con este número escrito en forma binómica, podemos leer su parte imaginaria. Es menos 𝑣 sobre 𝑢 al cuadrado más 𝑣 al cuadrado. Podríamos estar tentados por dejar de operar en este punto. Pero si dividimos por dos y completamos el cuadrado en 𝑣, obtenemos algo interesante. Esta es la ecuación de una circunferencia. Mostremos esto en un diagrama. Vemos que la recta de los números complejos con la parte imaginaria igual a dos ha sido asignada a una circunferencia en el plano 𝑤.

Hallemos, por último, la imagen de módulo de 𝑧 menos 𝑖 es igual a uno. Reemplazamos uno sobre 𝑤 por 𝑧 y escribimos lo que tenemos dentro del módulo y como una sola fracción. Y esto nos permite aplicar lo que sabemos sobre el módulo de un cociente. Podemos multiplicar ambos lados por el módulo de 𝑤. Podemos escribir 𝑢 más 𝑖𝑣 en lugar de 𝑤. Ahora simplificamos el lado izquierdo. Y, hecho todo esto, estamos listos para aplicar la definición de módulo. Elevamos al cuadrado ambos lados. Y menos 𝑢 al cuadrado es lo mismo que 𝑢 al cuadrado; por lo tanto, se cancelan. Desarrollando el lado izquierdo, vemos que los términos 𝑣 al cuadrado también se cancelan. Así que hemos hallado que dos 𝑣 es menos uno. Y, la ecuación de nuestra imagen es 𝑣 igual a menos un medio. Vemos entonces que la circunferencia con centro 𝑖 y radio uno es asignada a la recta de puntos en el plano 𝑤 con una parte imaginaria de menos un medio.

Repasemos esto. En la primera parte, la circunferencia fue asignada a una circunferencia. En la segunda parte, una recta fue asignada a una recta. Bueno, de hecho, una semirrecta fue asignada a una semirrecta. En la tercera parte, una recta fue asignada a una circunferencia. Y en la cuarta parte, una circunferencia fue asignada a una recta.

Estos ejemplos fueron escogidos cuidadosamente para ilustrar todas las posibilidades. La transformación del recíproco asigna una circunferencia a una circunferencia o una recta, y asigna una recta a una recta o a una circunferencia. Podemos definir una circunrecta como una curva que es una circunferencia o una recta. Y se puede demostrar un teorema, lo cual no haremos en este video, que establece que la transformación recíproca asigna circunrectas a circunrectas.

La imagen de toda circunrecta por medio de la transformación recíproca es una circunrecta. En este sentido, la transformación recíproca es representativa de todas las transformaciones de Möbius. Pues toda transformación de Möbius asigna circunrectas a circunrectas. La imagen de una circunferencia o recta bajo una transformación de Möbius es siempre una circunferencia o una recta. No hay otras posibilidades. Esta es una de las propiedades de las transformaciones de Möbius que la hace tan útil. Vale la pena que pienses un poco en esto y te convenzas de que esto se cumple para las traslaciones, los giros y las homotecias, que son casos especiales de transformaciones de Möbius.

Parece que ahora entendemos un poco mejor la transformación recíproca, y tal vez sea el momento de justificar la afirmación de más arriba de que esto nos ayuda a comprender cualquier transformación de Möbius. Consideremos una transformación arbitraria de Möbius. Si 𝑐 no es cero, definamos algunas transformaciones auxiliares. Observa que todas son transformaciones de Möbius. Tenemos dos traslaciones, una homotecia con centro en el origen, una rotación alrededor del origen, y la transformación recíproca que acabamos de ver. Todas estas transformaciones deberán sernos ya familiares. Resulta, entonces, que nuestra transformación arbitraria de Möbius es una composición de estas transformaciones auxiliares.

No vamos a hacer el desarrollo algebraico aquí. Pero puedes comprobar esta afirmación si así lo deseas. Si tomamos las transformaciones 𝑇 uno a 𝑇 cuatro individualmente, podemos entender la transformación original como una composición. Y si 𝑐 es igual a cero, es aún más fácil. Podemos probar muchas de las propiedades de las transformaciones de Möbius descomponiéndolas de esta manera. Por ejemplo, sabemos que 𝑇 uno, siendo una traslación, transforma circunrectas en circunrectas. Y tenemos buenas razones para esperar que 𝑇 dos también lo haga. 𝑇 tres es una homotecia o rotación sobre el origen o tal vez una combinación de ambas. Y, ciertamente, transforma circunrectas en circunrectas. Y 𝑇 cuatro es otra traslación que lleva circunrectas a circunrectas.

Entonces, ¿cómo afecta 𝑇 a las circunrectas? Bien, 𝑇 uno lleva una circunrecta a una circunrecta que es asignada por 𝑇 dos a una circunrecta que es asignada por 𝑇 tres a una circunrecta que, finalmente, es asignada por 𝑇 cuatro a una circunrecta. Así que, la transformación arbitraria de Möbius 𝑇 transforma circunrectas en circunrectas. O, al menos, podemos reducir el problema de mostrar que una transformación arbitraria de Möbius transforma circunrectas en circunrectas a mostrar que la transformación recíproca asigna circunrectas a circunrectas. Las transformaciones de Möbius se comportan bien bajo composición. Probemos que la composición de dos transformaciones de Möbius es una transformación de Möbius.

Demuestra que la composición de dos transformaciones de Möbius es una transformación de Möbius.

Sean 𝑇 uno y 𝑇 dos dos transformaciones arbitrarias de Möbius con coeficientes 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 y 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿, respectivamente. Nuestra tarea es mostrar que su composición es una transformación de Möbius. Según la definición de composición, vemos que la transformación lleva 𝑧 a 𝑇 uno de 𝑇 dos de 𝑧. Sabemos qué es 𝑇 dos de 𝑧; así que lo escribimos. Es 𝛼𝑧 más 𝛽 sobre 𝛾𝑧 más 𝛿. Y solo tenemos que aplicar 𝑇 uno a esto. Usamos la fórmula para 𝑇 uno de 𝑧 escribiendo 𝛼𝑧 más 𝛽 sobre 𝛾𝑧 más 𝛿 en vez de 𝑧. Simplificamos y reorganizamos los términos para escribirlos en la forma requerida.

Parece que tenemos la forma de una transformación de Möbius. Pero aún no hemos terminado. Todavía necesitamos verificar la restricción en los coeficientes de que el producto de estos coeficientes menos el producto de estos coeficientes es diferente a cero. Aplicamos la propiedad distributiva y notamos que algunos términos se cancelan, que dos de los términos restantes tienen un factor común de 𝑎𝑑. Y los otros dos términos tienen un factor común de 𝑏𝑐. Y aquí podemos ver el factor común de 𝛼𝛿 menos 𝛽𝛾, que nos permite factorizar por completo. Pero ¿cómo nos ayuda esto a demostrar que esto no es cero?

Bien, sabemos que 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 es distinto de cero y también que αδ menos 𝛽𝛾 es distinto de cero. Y, por lo tanto, esta cantidad, siendo un producto de números distintos de cero es ella misma distinta de cero. Por lo tanto, y como queríamos demostrar, la composición de 𝑇 uno y 𝑇 dos es una transformación de Möbius. Y como 𝑇 uno y 𝑇 dos son transformaciones arbitrarias de Möbius, hemos demostrado que la composición de dos transformaciones de Möbius es una transformación de Möbius.

Los puntos clave cubiertos en este video son los siguientes. Una transformación de Möbius es una transformación de la forma 𝑇 que lleva 𝑧 a 𝑎𝑧 más 𝑏 sobre 𝑐𝑧 más 𝑑 donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 son números complejos y 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 es distinto de cero. Las transformaciones de Möbius asignan rectas y circunferencias a rectas y circunferencias. Y la transformación obtenida al componer dos transformaciones de Möbius es también una transformación de Möbius.