Vídeo: Dibujar gráficas usando derivadas

En este vídeo vamos a aprender cómo usar derivadas para ayudarnos a dibujar la gráfica de una función.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a ver cómo, haciendo uso de las derivadas, dibujar la gráfica de una función es mucho más sencillo. Es posible que, hasta ahora, nos hayamos centrado en aspectos particulares del trazado de gráficas, como el comportamiento en el infinito, la continuidad y la concavidad. Ahora vamos a combinar toda esta información para ayudarnos a dibujar gráficas que muestren en toda su extensión las características de las distintas funciones.

La siguiente lista está pensada para ser usada como una serie de pautas a seguir a la hora de trazar una curva. No es necesario que usemos cada punto todas las veces. Sin embargo, es una buena idea tener en cuenta cada una de estas características.

La primera de ellas es el dominio y el recorrido. Conviene que nos fijemos en el dominio de la función. En pocas palabras, el dominio es el conjunto de valores de 𝑥 para los que se define la función. A continuación, podríamos considerar el recorrido, el conjunto de los valores de la función, pero lo cierto es que este, normalmente, se determina como resultado de los otros pasos.

La segunda son las intersecciones con los ejes. Nos interesan las intersecciones con el eje de las 𝑦 y con el eje de las 𝑥. Como ya sabemos, la intersección con el eje 𝑦 se halla igualando 𝑥 a cero y hallando 𝑦, mientras que la intersección con el eje 𝑥 se halla igualando 𝑦 a cero y despejando 𝑥. Seguidamente consideraremos la simetría. ¿Es la función par? Es decir, ¿es 𝑓 de menos 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑥? ¿O impar? ¿Es decir, es 𝑓 de menos 𝑥 igual a menos 𝑓 de 𝑥? O ninguna de las dos. Vamos a pensar ahora en las asíntotas.

Recordemos que, si el límite cuando 𝑥 tiende a más o menos infinito de la función es igual a un valor 𝐿, entonces la recta 𝑦 igual a 𝐿 es una asíntota horizontal de la curva. Si, por el contrario, el límite cuando 𝑥 tiende a infinito de la función es más o menos infinito, no hay asíntotas. Aun así, esta información sigue siendo útil a la hora de trazar la curva.

Como sabemos, la recta 𝑥 igual a 𝑎 es una asíntota vertical si al menos una de las siguientes afirmaciones se cumple. Cuando 𝑥 tiende a 𝑎 desde la derecha el límite de la función es más o menos infinito. Cuando 𝑥 se acerca a 𝑎 desde la izquierda el límite de la función es más o menos infinito. La quinta característica son los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Una función es creciente cuando su derivada es mayor que cero, y decreciente cuando su derivada es menor que cero. Esto nos dirá la forma de la gráfica en varios intervalos. También debemos buscar los extremos relativos. Recordemos que los valores críticos ocurren cuando la derivada es igual a cero o no existe. Y, luego, el criterio de la primera derivada puede decirnos la naturaleza de estos puntos críticos.

Podemos también considerar la concavidad y los puntos de inflexión. Y para ello hemos de calcular la segunda derivada. Si es mayor que cero en un intervalo, entonces la curva es cóncava hacia arriba. En cambio, si es menor que cero en un intervalo, la curva es cóncava hacia abajo. Cuando la concavidad cambia, tenemos un punto de inflexión. Por último, podemos analizar el comportamiento en el infinito de la función. A menudo este análisis viene ya resuelto mediante el otro trabajo anterior que hemos hecho.

Como podemos ver, esta es una lista muy extensa. Y hay veces en las que muchas de las características pueden determinarse haciendo uso de una calculadora gráfica. Pero no siempre tendremos una de estas calculadoras a mano. Ahora, vamos a ver varios ejemplos en los que debemos determinar varias de estas características.

Considera la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 menos uno al cuadrado por 𝑥 más dos. Halla 𝑓 prima de 𝑥. Determina y clasifica los puntos críticos de 𝑓. Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de 𝑓. Calcula el límite cuando 𝑥 tiende a infinito de 𝑓 de 𝑥.

Además, esta cuestión tiene otro apartado, en el que se nos pide que identifiquemos la gráfica de la función. Por lo tanto, vamos a mirar qué opciones tenemos una vez hayamos resuelto las primeras cuatro partes. Bien, ahora, ¿cómo calculamos 𝑓 prima de 𝑥?

Eso es la primera derivada de la función con respecto a 𝑥. Bien, si nos fijamos en la función, vemos que hay varias formas de hacerlo. Podemos desarrollar los paréntesis y derivar término a término. Alternativamente, vemos que tenemos un producto de dos funciones, una de las cuales es una función compuesta. Así que podemos aplicar la regla del producto junto con la regla de la potencia.

La regla del producto dice que la derivada del producto de dos funciones derivables 𝑢 y 𝑣 es 𝑢 por d𝑣 sobre d𝑥 más 𝑣 por d𝑢 sobre d𝑥. Igualamos 𝑢 a 𝑥 menos uno todo al cuadrado y 𝑣 a 𝑥 más dos. Vamos a tener que usar la regla de la potencia para hallar la derivada de 𝑥 menos uno todo al cuadrado. Este es un caso particular de la regla de la cadena. Y dice que debemos multiplicar toda la función por el exponente, disminuir el exponente en uno, y luego multiplicar todo esto por la derivada de la función interior.

La derivada de 𝑥 menos uno es uno. Así que d𝑢 sobre d𝑥 es dos por 𝑥 menos uno elevado a dos menos uno por uno. Y esto se simplifica a dos por 𝑥 menos uno. d𝑣 sobre d𝑥 es mucho más sencillo de calcular. Es uno. Así que sustituimos lo que tenemos en la regla del producto. Es 𝑢 por d𝑣 sobre d𝑥 — que es 𝑥 menos uno todo al cuadrado por uno — más 𝑣 por d𝑢 sobre d𝑥. Desarrollamos los paréntesis, y vemos que la primera derivada de la función se simplifica a tres 𝑥 al cuadrado menos tres.

En la segunda parte del problema se nos pide que hallemos y clasifiquemos los puntos críticos de la función. Como sabemos, los puntos críticos ocurren cuando la primera derivada es igual a cero o no existe. Bien, en realidad sabemos que las funciones polinómicas son todas derivables. Así que solo vamos a considerar el caso en el que la primera derivada es igual a cero. Es decir, tres 𝑥 al cuadrado menos tres es igual a cero.

Vamos a despejar 𝑥. Dividimos por tres. Luego, usamos la diferencia de dos cuadrados para factorizar 𝑥 al cuadrado menos uno. Es 𝑥 más uno por 𝑥 menos uno. Ahora bien, para que el producto de estos dos términos sea igual a cero, o bien 𝑥 más uno tiene que ser igual a cero, o bien 𝑥 menos uno tiene que ser igual a cero. Resolvemos cada ecuación para 𝑥, y obtenemos que, o bien 𝑥 es igual a menos uno o 𝑥 es igual a uno. Así que, en los puntos críticos 𝑥 vale uno o vale menos uno.

Ahora tenemos que clasificarlos. Aplicamos el criterio de la primera derivada y calculamos la primera derivada antes y después de cada punto crítico. Vamos a hacer una tabla. Sabemos que la primera derivada es igual a cero cuando 𝑥 es menos uno o más uno. La primera derivada calculada en 𝑥 igual a menos dos es tres por menos dos al cuadrado menos tres, que es nueve. La primera derivada calculada en 𝑥 igual a cero es tres por cero al cuadrado menos tres, que es menos tres. Y la primera derivada calculada en 𝑥 igual a dos es también nueve. La función es creciente antes de 𝑥 igual a menos uno y decreciente después. Por lo tanto, el punto crítico 𝑥 igual a menos uno es un máximo relativo. Y sucede lo contrario cuando 𝑥 es igual a uno. Así que ese debe ser nuestro mínimo relativo.

La tercera parte del problema nos pide que hallemos los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. Vamos a hacer un poco de espacio. Esto puede ser muy parecido a lo que acabamos de hacer. Sin embargo, en ese momento, solo nos interesaba la naturaleza de la función en puntos determinados. Ahora nos interesa saber en qué intervalos es la función creciente o decreciente. Así que vamos a calcular cuándo es la primera derivada menor que cero o mayor que cero.

Sabemos que la gráfica de 𝑦 igual a tres 𝑥 al cuadrado menos tres tiene más o menos este aspecto. Como podemos observar, la gráfica de la primera derivada es mayor que cero aquí y aquí. Es decir, cuando 𝑥 es menor que menos uno o mayor que uno. La primera derivada es menor que cero aquí. Es cuando 𝑥 es mayor que menos uno o menor que uno. Así que los intervalos de crecimiento son los intervalos abiertos desde menos infinito a menos uno y desde uno a infinito. Y el intervalo de decrecimiento es el intervalo abierto desde menos uno a uno.

Por último, tenemos que hallar el límite cuando 𝑥 tiende a infinito de la función. Podemos hacerlo mediante sustitución directa. Vemos que, cuando 𝑥 tiende a infinito, el valor de la función se hace más y más grande. Por lo tanto, la función tiende a infinito. Vamos a combinar todo lo que hemos hecho para identificar la gráfica de la función.

¿Cuál de las siguientes es la gráfica de 𝑓? Si desarrollamos los paréntesis de la función, veremos que tenemos una expresión cúbica con un coeficiente principal positivo. Es decir, el coeficiente de 𝑥 al cubo es positivo. Esto nos dice que la forma de la gráfica será algo así. Sabemos que los puntos críticos que tiene son 𝑥 igual a menos uno y uno, y que tiene un máximo y un mínimo, respectivamente, en esos puntos.

Vamos a calcular el valor de la función en estos puntos sustituyendo menos uno y uno dentro. Al hacerlo, obtenemos que 𝑓 de menos uno es cuatro y que 𝑓 de uno es cero. Por lo tanto, la gráfica tiene un máximo en menos uno, cuatro, y un mínimo en uno, cero. También podemos ver que tiene intervalos de crecimiento en el intervalo abierto desde menos infinito a menos uno y desde uno a infinito, y que decrece en el intervalo abierto de menos uno a uno. La única gráfica que satisface todas estas condiciones es la A. De hecho, nos daríamos cuenta enseguida de que no pueden ser la D o la E, pues son gráficas de funciones cuadráticas. La C es una gráfica cúbica pero que tiene un coeficiente de 𝑥 al cubo negativo. Por lo tanto, solo teníamos dos opciones.

Como puedes ver, no nos hemos molestado en calcular los límites de las funciones para hallar asíntotas. Pues sabemos que una gráfica cúbica no tiene ninguna.

En el siguiente ejemplo vamos a dibujar una gráfica que tiene al menos una asíntota.

Dibuja la gráfica de 𝑓 de 𝑥 igual a tres 𝑥 al cuadrado sobre 𝑥 al cuadrado menos cuatro.

Vamos a comenzar fijándonos en el dominio y en el recorrido de la función. Sabemos que una función que es un cociente no puede existir en los puntos donde el denominador del cociente es cero. Así que igualamos 𝑥 al cuadrado menos cuatro a cero y despejamos 𝑥 para determinar el dominio de la función. Sumamos cuatro a ambos lados de la ecuación. Luego hacemos la raíz cuadrada de ambos lados de nuestra ecuación, y nos acordamos de hacer la raíz cuadrada positiva y negativa de cuatro. Y obtenemos que, cuando 𝑥 al cuadrado menos cuatro es igual a cero, 𝑥 es igual a más menos dos. Por lo tanto, el dominio de la función son todos los valores reales, excepto 𝑥 igual a más dos y menos dos. El recorrido es el conjunto de los valores de la función. Esto podemos hallarlo como resultado del procedimiento para dibujar la gráfica.

Ahora vamos a ver si hay intersecciones con los ejes. Si igualamos 𝑥 a cero y despejamos 𝑦, hallaremos la intersección con el eje 𝑦. Al hacerlo, obtenemos que 𝑦 es igual a tres por cero al cuadrado sobre cero al cuadrado menos cuatro, que es cero. Así que hay una intersección con el eje 𝑦 en 𝑦 es igual a cero. A continuación, igualamos 𝑦 o 𝑓 de 𝑥 a cero y despejamos 𝑥. Es decir, cero es igual a tres 𝑥 al cuadrado sobre 𝑥 al cuadrado menos cuatro.

Ahora bien, para que esto sea cierto, sabemos que el numerador de esta fracción debe ser igual a cero. Y para que tres 𝑥 al cuadrado sea igual a cero, 𝑥 debe ser igual a cero. Por lo tanto, solo tenemos una intersección en total. Y se encuentra en el origen: cero, cero. Ahora vamos a comprobar la simetría. Una función par es aquella en la que 𝑓 de menos 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑥, mientras que una función impar es aquella en la que 𝑓 de menos 𝑥 es igual a menos 𝑓 de 𝑥. Bien, 𝑓 de menos 𝑥 es tres por menos 𝑥 al cuadrado partido por menos 𝑥 al cuadrado menos cuatro, que es igual a 𝑓 de 𝑥. Así que la función es par. Y esto significa que es simétrica con respecto al eje de las 𝑦.

Ahora vamos a buscar las asíntotas. Vamos a hallar las asíntotas horizontales fijándonos en lo que sucede con la función cuando 𝑥 tiende a más o menos infinito. No podemos aplicar sustitución directa, pues cuando sustituimos en 𝑥 igual a más o menos infinito, nos quedamos con infinito sobre infinito, que es indefinido. Por lo tanto, en vez de eso, dividimos el numerador y el denominador de la expresión por 𝑥 al cuadrado. Así, obtenemos tres partido por uno menos cuatro sobre 𝑥 al cuadrado.

Ahora ya podemos usar sustitución directa. Cuando 𝑥 tiende a más o menos infinito, cuatro sobre 𝑥 al cuadrado tiende a cero. Por lo tanto, el límite de nuestra función es tres partido por uno, que es tres. Como vemos, la recta 𝑦 igual a tres debe ser una asíntota horizontal.

Recordemos que hemos dicho que, cuando 𝑥 es igual a más o menos dos, el denominador es cero. Así que vamos a hallar los siguientes límites. Cuando 𝑥 se acerca a dos desde la derecha el límite de la función es más infinito. Cuando 𝑥 se acerca a dos desde la izquierda el límite de la función es menos infinito. Cuando 𝑥 se acerca a menos dos desde la derecha el límite de la función es menos infinito. Y cuando se acerca a menos dos desde la izquierda, es más infinito. Así que obtenemos que 𝑥 igual a más dos o menos dos son asíntotas verticales.

Vamos a hacer un poco de espacio para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Empezamos aplicando la regla del cociente para hallar la primera derivada de la función. Igualamos 𝑢 a tres 𝑥 al cuadrado y 𝑣 a 𝑥 al cuadrado menos cuatro y obtenemos expresiones para d𝑢 sobre d𝑥 y d𝑣 sobre d𝑥. Por lo tanto, la primera derivada de la función es 𝑣 por d𝑢 sobre d𝑥 menos 𝑢 por d𝑣 sobre d𝑥 partido por 𝑣 al cuadrado. Desarrollamos el paréntesis y hallamos que la primera derivada es menos 24𝑥 partido entre 𝑥 al cuadrado menos cuatro todo al cuadrado.

Bien, como 𝑥 al cuadrado menos cuatro, todo al cuadrado debe ser mayor que cero para todos los valores de 𝑥, entonces la primera derivada de la función debe ser menor que cero cuando 𝑥 es mayor que cero. Para los valores de 𝑥 mayores que cero obtenemos menos 24 multiplicado por un número positivo, y obtenemos otro número negativo. Por lo tanto, para 𝑥 mayor que cero, la primera derivada es menor que cero. Y lo contrario también es cierto. Cuando 𝑥 es menor que cero, la primera derivada es mayor que cero. Como sabemos que la función no existe cuando 𝑥 es igual a menos dos, podemos decir que sus intervalos de crecimiento son de menos infinito a menos dos y de menos dos a cero. Y tiene intervalos abiertos de decrecimiento de cero a dos y de dos a infinito.

Ahora, si observamos atentamente, veremos que la primera derivada es igual a cero cuando 𝑥 es igual a cero. Por lo tanto, hay un punto crítico en el punto cero, cero. Además, es también el punto donde la curva corta los ejes.

Ahora ya tenemos lo que necesitamos para completar la gráfica. Sabemos que hay una asíntota horizontal en 𝑦 igual a tres y asíntotas verticales en 𝑥 igual a menos dos y en 𝑥 igual a dos. Hay un punto crítico y una intersección con los ejes en cero, cero. Eso es importante porque vemos que la curva no puede cortar el eje de las 𝑥 aquí o aquí. Esto nos ayuda a ver hacia dónde van estos dos lados de la curva. La curva es creciente en el intervalo abierto desde menos infinito hasta menos dos y decreciente en el intervalo abierto de dos a infinito. Tenemos estas asíntotas. La función es par, y es, por lo tanto, simétrica con respecto al eje de las 𝑦. Esto nos dice que posiblemente vamos bien. Ahora utilizamos el resto de la información para trazar la última parte de la curva. Así que hemos dibujado con éxito la gráfica de 𝑓 de 𝑥 igual a tres 𝑥 al cuadrado sobre 𝑥 al cuadrado menos cuatro.

En este vídeo hemos aprendido que usar derivadas puede ayudarnos a graficar funciones un poco complicadas. Tenemos un conjunto bastante extenso de puntos que considerar, entre los que se encuentran hallar el dominio o el recorrido, las intersecciones con los ejes y las simetrías de la curva. Nos interesa hallar las asíntotas, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, la concavidad y los puntos de inflexión. También hemos considerado el comportamiento de la función en el infinito. Evidentemente, la lista es muy larga. Pero no es necesario que utilicemos todos los puntos todas las veces.

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