video_transcript_label
En este video, vamos a aprender cómo dibujar gráficas de funciones exponenciales y cómo identificar sus transformaciones. Una función exponencial es una función de la forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑏 a la 𝑥. La base 𝑏 es un número real positivo diferente de la unidad, y la variable 𝑥 está en el exponente. Estas funciones son muy importantes dentro de las matemáticas ya que tienen todo tipo de aplicaciones. Las usamos, por ejemplo, para modelizar el crecimiento y decrecimiento exponencial. Por ejemplo, podemos usar una función exponencial para modelar el crecimiento de la población o la cantidad de dinero en una cuenta de ahorro si conocemos los datos específicos del tipo de interés aplicado. Vamos a comenzar echando una ojeada a la forma de las gráficas de estas funciones.
¿Qué gráfica muestra un crecimiento exponencial?
Primero, recordemos la definición de función exponencial. Es una función de la forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑏 a la 𝑥, donde 𝑏 es un número real positivo no igual a uno y en la que la variable 𝑥 está en el exponente. Veamos qué sucede si tratamos de graficar dos tipos de esta función. Bosquejamos la función 𝑓 de 𝑥 igual a dos a la 𝑥. En otras palabras, una donde 𝑏 es mayor que uno; y la función 𝑔 de 𝑥 es igual a un medio elevado a 𝑥. En este caso, estamos viendo el comportamiento cuando 𝑏 está en el intervalo abierto de cero a uno.
Vamos a usar una tabla para cada uno. Cuando 𝑥 es menos dos, 𝑓 de 𝑥 es dos elevado a menos dos. Eso es uno sobre dos al cuadrado, que es uno sobre cuatro o 0.25. Cuando 𝑥 es menos uno, 𝑓 de 𝑥 es dos elevado a menos uno, que es un medio o 0.5. De la misma manera, 𝑓 de cero es uno, 𝑓 de uno es dos, 𝑓 de dos es cuatro y 𝑓 de tres es dos al cubo, que es ocho. Del mismo modo, para 𝑔 de 𝑥, obtenemos que 𝑔 de menos dos es cuatro, 𝑔 de menos uno es dos, y por lo tanto uno. Tracemos esto en los mismos ejes. Cuando usamos estos puntos para representar la función 𝑓 de 𝑥 con una curva suave, vemos que la curva es creciente en todo su dominio. En otras palabras, la gráfica siempre tiene pendiente hacia arriba. Mientras que 𝑔 de 𝑥 es decreciente, tiene pendiente hacia abajo.
Vemos, pues, que una función de la forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑏 a la 𝑥, donde 𝑏 es una constante real mayor que uno, representa crecimiento exponencial. Mientras que cuando 𝑏 es mayor que cero y menor que uno, la función representa decrecimiento exponencial. Entonces, ¿cuál de nuestras gráficas representa crecimiento exponencial? En otras palabras, cuál se parece más a la función 𝑓 de 𝑥. Bien, vemos que esa función es 𝑏.
De hecho, podemos inferir otra propiedad de estas funciones a partir de los gráficas que dibujamos. Observa cómo estas partes de las curvas parecen acercarse cada vez más al eje 𝑥. Sin embargo, nunca llegan a tocar el eje 𝑥. Y eso se debe a que el número se vuelve más pequeño cada vez, ya que estamos reduciendo a la mitad el valor de la función. Pero nunca llegará a cero. Llamamos a esta recta, el eje 𝑥 —es decir, la recta 𝑦 igual a cero— asíntota horizontal.
Por tanto, podemos decir lo siguiente. Una función exponencial es una de la forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑏 elevado a 𝑥, donde 𝑏 es un número real positivo diferente de la unidad. Si 𝑏 es mayor que uno, la función representa crecimiento exponencial. Y si es mayor que cero y menor que uno, representa decrecimiento exponencial. El eje 𝑥, o la recta 𝑦 igual a cero, es una asíntota horizontal de tales funciones. De hecho, hay una propiedad más que podemos establecer, así que veamos un ejemplo.
Determina el punto en el que la gráfica de la función 𝑓 de 𝑥 igual a seis elevado a 𝑥 interseca el eje 𝑦.
Recordemos que el eje 𝑦 es una recta vertical cuya ecuación es 𝑥 igual a cero. Por lo tanto, podemos hallar el punto de intersección de la gráfica con el eje 𝑦 haciendo 𝑥 igual a cero y despejando 𝑦. Cuando lo hacemos, cuando igualamos 𝑥 a cero, obtenemos 𝑦 igual a seis elevado a cero. Pero sabemos, por supuesto, que cualquier valor elevado a cero es uno. Lo que significa que la gráfica interseca el eje 𝑦 en 𝑦 igual a uno. Eso es, como acabamos de decir, cuando 𝑥 es igual a cero. Por lo tanto, las coordenadas del punto de intersección son cero, uno. De hecho, si tomamos la gráfica general de una función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑏 elevado a 𝑥, donde 𝑏 es un número real mayor que cero y no igual a uno, sabemos que 𝑓 de cero es 𝑏 elevado a cero, que es uno.
Recuerda, no importa el valor de 𝑏, siempre que sea un número real, 𝑏 elevado a cero es uno. Por lo tanto, podemos decir que una función exponencial de la forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑏 elevado a 𝑥 interseca el eje 𝑦 en uno, o sea, en el punto con coordenadas cero, uno.
En nuestro siguiente ejemplo, vamos a ver cómo podemos identificar la gráfica correcta de funciones exponenciales usando las características que hemos establecido y un poco de sustitución.
¿Cuál de las siguientes gráficas representa la función 𝑦 igual a tres a la 𝑥?
Nuestra ecuación 𝑦 igual a tres elevado a 𝑥 representa una función exponencial. Recordemos, pues, lo que sabemos sobre las funciones exponenciales. En primer lugar, sabemos que toda función exponencial de la forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑏 elevado a 𝑥, donde 𝑏 es un número real positivo, pasa por el punto cero, uno. En otras palabras, corta el eje 𝑦 en uno. Veamos, pues, si podemos utilizar esto para eliminar alguna de las gráficas de nuestra pregunta. La gráfica B pasa por cero. La gráfica C no parece cruzar en absoluto el eje 𝑦. La gráfica E lo interseca en menos uno. Y eso nos deja con la gráfica A y la gráfica D, los cuales intersecan el eje 𝑦 en uno.
Hay dos formas de verificar cuál de nuestras gráficas es la correcta. Podríamos elegir un punto y comprobarlo. Por ejemplo, la primera gráfica pasa por el punto con coordenadas uno, tres. Sea 𝑥 igual a uno, ya que la coordenada 𝑥 es uno, y veamos si la coordenada 𝑦 es realmente tres. Si 𝑥 es igual a uno, 𝑦 es igual a tres elevado a uno, que es de hecho tres. Y así hemos visto que la gráfica de la función 𝑦 igual a tres elevado a 𝑥 pasa por el punto uno, tres. Y, por lo tanto, nuestra gráfica es A.
Sin embargo, hay otra forma en la que podríamos haber probado esto. Sabemos que, si 𝑏 es mayor que uno, nuestra gráfica representa crecimiento exponencial. En otras palabras, siempre está aumentando. Mientras que, si 𝑏 está entre cero y uno, representa decrecimiento exponencial; siempre está disminuyendo. Podemos ver que la gráfica de D disminuye en todo su dominio. Siempre está inclinada hacia abajo. Por lo tanto, el valor de 𝑏, la base, debe estar entre cero y uno. Entonces esto podría ser 𝑦 igual a un tercio elevado a 𝑥, por ejemplo. La respuesta correcta aquí es A.
Veamos otro ejemplo.
¿Cuál de las siguientes gráficas representa la ecuación 𝑦 igual a un cuarto elevado a 𝑥?
Es útil comenzar notando que esta es una función exponencial. Una función exponencial es una función cuya ecuación es de la forma 𝑦 igual a 𝑏 elevado a 𝑥, donde 𝑏 es un número real positivo diferente de la unidad. Sabemos varias cosas sobre las gráficas de las funciones exponenciales. Sabemos, para empezar, que todas intersecan el eje 𝑦 en uno. O sea, pasan por el punto cero, uno. Y así podemos eliminar instantáneamente tres de nuestras gráficas. Podemos eliminar A, B y C. La gráfica A en realidad interseca en cero al igual que la gráfica C, mientras que la gráfica B no parece intersecar el eje 𝑦 en absoluto.
También sabemos algo sobre la forma de estas curvas. Si nuestro valor para 𝑏 es mayor que uno, estamos representando crecimiento exponencial. Y el gráfico se parece a esto. Observa que el eje 𝑥 representa una asíntota horizontal de nuestra gráfica. Se acerca más y más, pero nunca lo toca. Ahora bien, si 𝑏 es mayor que cero y menor que uno, tenemos decrecimiento exponencial. Nuestra gráfica disminuye en todo su dominio. El eje 𝑥 sigue siendo una asíntota horizontal de nuestro gráfico, pero esta vez es así.
Entonces, ¿cuál es nuestro valor de 𝑏? Bien, la ecuación es 𝑦 igual a un cuarto elevado a 𝑥. Así que 𝑏 es igual a un cuarto, que es mayor que cero y menor que uno. Eso nos dice que nuestra gráfica representa decrecimiento exponencial. Va a estar disminuyendo en todo su dominio. Podemos ver que ese es el gráfico D.
En nuestro último ejemplo, vamos a ver cómo identificar la gráfica de una función exponencial un poco más complicada.
¿Cuál de las siguientes gráficas representa la función 𝑦 igual a dos por tres elevado a 𝑥?
Aunque es un poco diferente, esta es también una función exponencial. Es esencialmente un múltiplo de su forma básica, 𝑦 igual a 𝑏 elevado a 𝑥, donde 𝑏 es un número real positivo distinto de la unidad. Esta función, sin embargo, tiene la forma 𝑎𝑏 elevada a 𝑥. Recuerda, según el orden de las operaciones, aplicamos el exponente antes de multiplicar. Así que esto es tres elevado a 𝑥 por dos. Y esto significa que vamos a necesitar recordar lo que sabemos sobre las transformaciones de las gráficas. Para una gráfica de la función 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 más alguna constante 𝑎 es una traslación por cero 𝑎. Se mueve 𝑎 unidades hacia arriba.
La gráfica de 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 más 𝑏 es una traslación por menos 𝑏 cero. Esta vez se mueve 𝑏 unidades hacia la izquierda. Pero, si nos fijamos en nuestra ecuación, vemos que no hemos agregado una constante en absoluto. Así que vamos a recordar las otras reglas que conocemos. 𝑦 igual a una constante 𝑎 por 𝑓 de 𝑥 es un alargamiento vertical de razón 𝑎. Por otro lado, 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑏𝑥 es un alargamiento horizontal de razón 𝑏. Volviendo a nuestra ecuación, tenemos tres elevado a 𝑥. Y la función ha sido multiplica por dos. Así que se trata de alargamiento vertical. De hecho, es un alargamiento vertical de de razón dos de la función 𝑦 igual a tres elevado a 𝑥.
Veamos: ¿cómo es la gráfica de 𝑦 igual a tres a la 𝑥? Es una función exponencial de base mayor que uno. Eso significa que nuestra función representa crecimiento exponencial. Esto significa que podemos eliminar las gráficas A y B. De hecho, representan decrecimiento exponencial, ya que disminuyen; tienen pendiente hacia abajo. Por lo tanto, debemos elegir entre C, D y E. Pero también recordamos que toda función 𝑦 igual a 𝑏 a la 𝑥 interseca el eje 𝑦 en uno. Así que, nuestra función 𝑦 igual a tres elevado a 𝑥 hará lo mismo. Pasará por cero, uno. Pero ha sido alargada verticalmente por un factor de escala de dos. Esto significa que nuestra función 𝑦 igual a dos por tres elevado a 𝑥 pasa por cero, dos.
De C, D y E, la única función que lo hace es E. C pasa por uno y D pasa por tres. Así que la gráfica que representa la función 𝑦 igual a dos por tres elevado a 𝑥 es E.
En este video, hemos aprendido que una función exponencial es de la forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑏 a la 𝑥, donde 𝑏 es un número real positivo distinto de la unidad. Hemos visto que para valores de 𝑏 mayores que uno, nuestra función muestra crecimiento exponencial: está inclinada hacia arriba. Y que, si cero es menor que 𝑏, que es menor que uno, la función muestra decrecimiento exponencial: está inclinada hacia abajo. Date cuenta de que la razón por la que descartamos 𝑏 igual a uno es que si 𝑏 es igual a uno, la gráfica de la función es una recta horizontal, que no muestra crecimiento exponencial. Finalmente, hemos visto que estas gráficas cortan el eje 𝑦 en uno y tienen una asíntota horizontal dada por el eje 𝑥, sea, o sea, la recta 𝑦 igual a cero.