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Vídeo: Prueba falsa de la igualdad de matrices 𝐴 = 𝐼

En este vídeo, realizamos operaciones con matrices para examinar una supuesta prueba que parece demostrar que una matriz es igual a una matriz diferente.

09:09

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a trabajar con matrices y vamos a analizar una supuesta prueba de que la matriz uno, uno, cero, cero es igual a la matriz uno, cero, cero, uno.

Vamos a comenzar definiendo la matriz 𝐴 como uno, uno, cero, cero. Ahora multiplico 𝐴 por sí misma: primero multiplico uno por uno, y luego sumo uno por cero para obtener este término aquí. Luego multiplico uno por uno y sumo uno por cero para obtener este término aquí. Luego, cero por uno y cero por cero para obtener este término aquí. Y, por último, cero por uno y cero por cero para obtener este término aquí.

Bueno uno por uno es uno. Uno por cero es cero. Uno y cero es uno. Y uno por uno es uno. Uno por cero es cero. Uno y cero es uno. Cero por uno es cero. Cero por cero es cero. Cero más cero es cero. Y así, otra vez, cero por uno es cero. Cero por cero es cero. Cero más cero es cero.

Por lo tanto, si multiplico la matriz 𝐴 por la matriz 𝐴, obtengo como resultado la misma matriz 𝐴. Ahora puedo multiplicar desde la izquierda ambos lados de mi ecuación por la matriz inversa de 𝐴. Y como la multiplicación de matrices es asociativa, no importa si multiplico la inversa de 𝐴 por el resultado de 𝐴 por 𝐴 o si multiplico el producto de la inversa de 𝐴 por 𝐴 por la matriz 𝐴. En cualquier caso, obtenemos el mismo resultado.

Ahora bien, la definición de matriz inversa de 𝐴 es que cuando multiplico 𝐴 por su inversa, obtengo la matriz identidad, uno, cero, cero, uno. Así que hago esto aquí y aquí. Por lo tanto, la matriz identidad multiplicada por 𝐴 es igual a la matriz identidad. Y como el efecto de multiplicar por la matriz identidad es un poco como multiplicar un número por uno, esto da un resultado que es igual a la matriz original, y esto significa que 𝐴 es igual a 𝐼.

Así que, siguiendo una serie de pasos lógicos, parece que hemos demostrado que la matriz uno, uno, cero, cero es igual a la matriz uno, cero, cero, uno. Bueno, todo esto parece muy plausible, pero puedo asegurar que la matriz uno, uno, cero, cero no es igual a la matriz uno, cero, cero, uno. Así que, ¿por qué no pausas el video ahora? Y echas un vistazo atrás. Y pruebas a descubrir dónde se rompió nuestra cadena lógica. ¡Perfecto! Primero que nada, voy a arreglar esto un poco para hacer algo de sitio y así poder escribir algunas cosas más.

Bien, entonces nuestra primera línea dice que 𝐴 se define como la matriz uno, uno, cero, cero. Bueno, esa es una matriz perfectamente aceptable, así que no hay ningún problema. Y en la siguiente línea multiplicamos la matriz 𝐴 por sí misma y obtenemos el resultado uno, uno, cero, cero. Bien, el método para multiplicar matrices dos por dos es tomar este término y multiplicarlo por este término y luego sumar este término multiplicado por este término. Y esto nos da este término en la respuesta, que es 𝑎 por 𝑒 más 𝑏 por 𝑔.

Luego, para obtener este término aquí, hago 𝑎 por 𝑓 más 𝑏 por ℎ. Y para obtener este término aquí, hago 𝑐 por 𝑒 más 𝑑 por 𝑔. Luego, para obtener este término aquí, hago 𝑐 por 𝑓 más 𝑑 por ℎ. Y, de hecho, cuando aplico esta lógica a uno, uno, cero, cero por uno, uno, cero, cero, obtengo uno por uno más uno por cero, uno por uno más uno por cero, cero por uno más cero por cero y cero por uno más cero por cero, que es de hecho uno, uno, cero, cero. Así que esa segunda línea también es correcta.

Por lo tanto, simplemente representando las matrices por sus letras, podemos ver que 𝐴𝐴 o 𝐴 por 𝐴 es igual a 𝐴. Ahora en la siguiente línea comenzamos a hablar de la inversa de 𝐴, 𝐴 a la potencia de menos uno, la matriz inversa de 𝐴. Y el significado de la palabra inversa aquí es la matriz que al multiplicarla por 𝐴 produce la matriz identidad uno, cero, cero, uno. Por lo tanto, si nuestra matriz 𝐴 es la matriz con 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, la inversa de 𝐴 es la inversa de esta matriz. Y se sabe que esta matriz es igual a uno sobre 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 multiplicado por la matriz 𝑑, menos 𝑏, menos 𝑐, 𝑎.

Esta expresión, 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐, es importante y se llama determinante de la matriz. Es muy fácil de calcular para una matriz dos por dos. Pero es algo más complicado para matrices más grandes. De momento, nos vamos a quedar con matrices dos por dos. Dentro de la propia matriz, puedes ver que hemos intercambiado la 𝑎 y la 𝑑 aquí. Y hemos puesto un signo menos delante de 𝑏 y 𝑐. Si definimos la matriz inversa de esta manera, resulta que la inversa de 𝐴 multiplicada por 𝐴 nos da la matriz identidad, uno, cero, cero, uno.

Vamos con ello y a ver qué pasa. Dado que 𝐴 es la matriz 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, y que la inversa de 𝐴 es uno sobre el determinante multiplicado por la matriz 𝑑, menos 𝑏, menos 𝑐, 𝑎, tenemos que 𝐴 por la inversa de 𝐴 es igual a todo esto. Ahora bien, esto multiplica cada término de la matriz resultante. Por lo tanto, solo tenemos que multiplicar estas dos matrices usando el método que describimos antes.

Tenemos que hacer 𝑑 por 𝑎 más menos 𝑏 por 𝑐 para este término de aquí. Luego será 𝑑 por 𝑏 más menos 𝑏 por 𝑑 para este término aquí. Luego, menos 𝑐 por 𝑎, más 𝑎 por 𝑐 para este término de aquí abajo. Y, por último, menos 𝑐 por 𝑏 más 𝑎 por 𝑑 aquí. Sigamos: 𝑑 por 𝑎 es lo mismo que 𝑎 por 𝑑. Y luego, sumar menos 𝑏 por 𝑐, es lo mismo que restar 𝑏 por 𝑐. Por lo tanto, esta expresión queda como 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐.

Luego 𝑑𝑏, más menos 𝑏 por 𝑑, bueno, esto es lo mismo que 𝑏 por 𝑑 menos 𝑏 por 𝑑, que es cero. Y luego menos 𝑐𝑎 más 𝑎𝑐, bien, 𝑐 por 𝑎 es lo mismo que 𝑎 por 𝑐. Así que esto es menos 𝑎𝑐 más 𝑎𝑐. Esto es cero, otra vez. Y luego, aquí abajo, menos 𝑐𝑏 es lo mismo que menos 𝑏𝑐. Y si escribo estos dos términos en un orden diferente, obtengo 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐. Y ahora, tengo que multiplicar cada uno de los términos en esa matriz por la expresión que hay fuera.

Ahora, por supuesto, cero dividido por 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 sigue siendo cero. Y 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 dividido por 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 es uno. Entonces, sí, así es, la inversa de 𝐴 multiplicada por 𝐴 nos da la matriz identidad, 𝐼: uno, cero, cero, uno. Pero echemos un vistazo al caso concreto en el que la matriz 𝐴 es uno, uno, cero, cero. Entonces, el inverso de 𝐴 será uno sobre el determinante, y, además, necesito intercambiar el cero y el uno de aquí, y aquí. Y necesito tomar el negativo del uno y del cero de aquí y aquí.

Bien, por supuesto, menos cero es lo mismo que cero. Así que voy a escribir eso aquí y ahora voy a ver cuánto vale el determinante. Bueno, es uno por cero menos uno por cero. Y uno por cero es cero. Así que eso se convierte en uno sobre cero menos cero. Y obviamente cero menos cero es cero. ¡Y acabamos de activar la alarma de la división por cero! Uno dividido por cero no está definido. Así que estamos tratando de multiplicar esta matriz por un número indefinido.

Resulta, pues, que la inversa de la matriz 𝐴 no existe. La matriz 𝐴 es una matriz singular o degenerada. Que es como se llama a una matriz cuadrada que no tiene una inversa porque el determinante es cero. Así que, volviendo a nuestra prueba, al multiplicar por la inversa de 𝐴, estamos multiplicando por un número que no existe. Y a partir de ahí, todo es un completo disparate. La inversa de 𝐴 no está definida, y no podemos realizar más cálculos, ya que esos números no existen. Después de todo, no hemos probado que uno, uno, cero, cero sea igual a uno, cero, cero, uno. Era una prueba falsa.