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Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos dos, menos dos y menos dos,
10 en la forma 𝑎𝑥 más 𝑏𝑦 más 𝑐 igual a cero.
En este problema se nos ha pedido que hallemos la ecuación de una línea recta a
partir de las coordenadas de dos puntos que se hallan en la recta. Vamos a resolver el problema usando la fórmula de la pendiente. Primero, vamos a hallar la ecuación de la línea recta en la forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más
𝑐, donde 𝑚 representa la pendiente de la recta y 𝑐 representa la intersección con
el eje 𝑦. Así no obtendremos la ecuación de la recta en la forma específica que se nos ha
pedido: 𝑎𝑥 más 𝑏𝑦 más 𝑐 es igual a cero. Pero bastará luego con reorganizar un poco al final.
Vamos a recordar cómo calcular la pendiente de una recta. La pendiente de la recta que une los puntos con coordenadas 𝑥 uno, 𝑦 uno y 𝑥 dos,
𝑦 dos es igual al cambio en 𝑦 dividido por el cambio en 𝑥: 𝑦 dos menos 𝑦 uno
sobre 𝑥 dos menos 𝑥 uno.
Ahora, vamos a sustituir las coordenadas en este problema en la fórmula para la
pendiente. 𝑦 dos menos 𝑦 uno es igual a 10 menos menos dos. 𝑥 dos menos 𝑥 uno es igual a menos dos menos dos. Esto se simplifica a 12 sobre menos cuatro que es igual a menos tres. Así que la pendiente de la recta es menos tres.
Al sustituir este valor en nuestra ecuación para la recta obtenemos que 𝑦 es igual a
menos tres 𝑥 más 𝑐. A continuación, tenemos que hallar el valor de 𝑐, la intersección con el eje 𝑦. Para hacerlo, podemos usar el hecho de que cualquiera de los dos puntos que nos han
dado se encuentra en la línea recta y, por lo tanto, sus coordenadas satisfacen la
ecuación de la recta. Usando el primer punto, esto quiere decir que cuando 𝑥 es igual a dos, 𝑦 es igual a
menos dos. Y por lo tanto podemos sustituir este par de valores en la ecuación de la recta para
obtener una ecuación que podamos resolver para 𝑐.
Al sustituir dos por 𝑥 y menos dos por 𝑦 obtenemos la ecuación menos dos es igual a
menos tres multiplicado por dos más 𝑐. Ahora, despejamos 𝑐. Menos tres multiplicado por dos es menos seis. Así que tenemos que menos dos es igual a menos seis más 𝑐. Para resolver esta ecuación, tenemos que sumar seis a ambos lados. Así, obtenemos que cuatro es igual a 𝑐.
Ahora que ya conocemos el valor de 𝑐, podemos sustituirlo en la ecuación de nuestra
recta. Tenemos que 𝑦 es igual a menos tres 𝑥 más cuatro. Recordemos que tenemos que hallar la ecuación de una recta en la forma 𝑎𝑥 más 𝑏𝑦
más 𝑐 igual a cero, así que necesitamos que todos los términos estén en el mismo
lado. Podríamos agruparlos en cualquiera de los dos lados. Pero si agrupamos los términos en la izquierda, entonces los coeficientes de 𝑥 y 𝑦
serán positivos.
Para agrupar los términos en el lado izquierdo de esta ecuación, tenemos que sumar
tres 𝑥 a ambos lados y restar cuatro a ambos lados. Así obtenemos la ecuación de la línea recta en el formato que se nos ha pedido: tres
𝑥 más 𝑦 menos cuatro es igual a cero.
