Transcripción del vídeo
En este vídeo vamos a aprender cómo hallar, haciendo uso de la derivada, los máximos y los mínimos absolutos de una función en un intervalo dado. Para mejor aprovechar este vídeo debes saber cómo hallar los mínimos y los máximos relativos, así como determinar la naturaleza de estos haciendo uso de la derivada. Ahora vamos a ver más en detalle cómo hallar los máximos y los mínimos absolutos, en otras palabras, los valores más grandes y los más pequeños que toma una función.
En primer lugar, vamos a repasar el teorema de Weierstrass. Este teorema dice que, si 𝑓 de 𝑥 es continua en un intervalo cerrado 𝑎, 𝑏, hay dos números 𝑐 y 𝑑 que son mayores o iguales que 𝑎, y menores o iguales que 𝑏. Y son tales que 𝑓 de 𝑐 es un máximo absoluto de la función, y 𝑓 de 𝑑 es un mínimo absoluto de la función en ese intervalo cerrado.
En otras palabras, si tenemos una función continua en un intervalo cerrado, entonces, con seguridad, en algún punto de este intervalo hay un máximo absoluto y un mínimo absoluto. Este teorema es útil para hallar los extremos absolutos en un intervalo cerrado. Esto significa que estamos seguros de no estar buscando algo que no existe. Estos valores extremos se hallan en la región o regiones donde ocurren los puntos críticos o en los extremos del intervalo.
Muy bien, estos son pues los pasos para hallar los extremos absolutos de una función continua 𝑓. Primero, hallamos todos los puntos críticos en el intervalo cerrado 𝑎, 𝑏. Luego, hallamos los valores de nuestra función en estos puntos críticos. Y, por último, calculamos la función en los extremos del intervalo. Estamos buscando aquellos valores que pueden ser más pequeños que los mínimos relativos o más grandes que los máximos relativos. Veamos con un ejemplo cómo podemos aplicar este método.
Halla los máximos y los mínimos absolutos de la función 𝑓 de 𝑥 igual a dos 𝑥 elevado a cuatro menos ocho 𝑥 al cuadrado menos 13 en el intervalo cerrado de menos uno a dos.
Recordemos que, para hallar los extremos absolutos de una función continua 𝑓 de 𝑥, debemos seguir tres pasos. Primero, comenzamos hallando todos los puntos críticos en el intervalo cerrado. Segundo, hallamos los valores de 𝑓 de 𝑥 en estos puntos críticos. Y tercero, comprobamos si los extremos del intervalo son extremos absolutos, valores que pueden ser menores que los mínimos relativos o mayores que los máximos relativos. Los puntos críticos son aquellos en los que la derivada de la función es igual a cero o no existe. Muy bien, vamos a empezar hallando la derivada de nuestra función.
La derivada de 𝑓 de 𝑥 se escribe 𝑓 prima de 𝑥, y es cuatro por dos 𝑥 al cubo menos dos por ocho 𝑥. Pues la derivada de menos 13 es cero. Así que la derivada de nuestra función es ocho 𝑥 al cubo menos 16𝑥. Igualamos esto a cero y resolvemos para 𝑥. Para ello, factorizamos la expresión del lado derecho y obtenemos ocho 𝑥 por 𝑥 al cuadrado menos dos.
Y vemos que, para que ocho 𝑥 por 𝑥 al cuadrado menos dos sea igual a cero, ocho 𝑥 debe ser igual a cero, lo que significa que 𝑥 es igual a cero. O también puede ocurrir que 𝑥 al cuadrado menos dos sea igual a cero. Resolviendo esto, vemos que 𝑥 es igual a más menos raíz de dos. Por lo tanto, los puntos críticos en nuestra función se encuentran en 𝑥 igual a cero, 𝑥 igual a menos raíz de dos y 𝑥 igual a raíz de dos.
El segundo paso es calcular los valores de la función en estos puntos críticos. Estos son 𝑓 de cero, 𝑓 de raíz de dos y 𝑓 de menos raíz de dos. 𝑓 de cero es dos por cero elevado a cuatro menos ocho por cero al cuadrado menos 13, que es menos 13. 𝑓 raíz de dos es dos raíz de dos elevado a cuatro menos ocho raíz de dos al cuadrado menos 13, que es menos 21. Y, además, 𝑓 de menos raíz de dos es también menos 21. Ahora bien, esto por sí solo no nos da la respuesta. Efectivamente, parece que menos 21 y menos 13 pueden ser extremos relativos, pero queremos saber si son extremos absolutos.
Vamos a calcular la función en los extremos de nuestro intervalo. Recordemos que esto es porque sabemos que, si tenemos una función continua en un intervalo cerrado de 𝑎 a 𝑏, entonces sabemos que, en algún punto en este intervalo hay un máximo absoluto y un mínimo absoluto. Y estos valores extremos se encuentran en el lugar o lugares donde ocurren los extremos relativos, o en los extremos del intervalo.
Así que vamos a calcular 𝑓 de menos uno y 𝑓 de dos. 𝑓 de menos uno es dos por menos uno a la cuarta menos ocho por menos uno al cuadrado menos 13, que es menos 19. Y 𝑓 de dos es dos por dos a la cuarta menos ocho por dos al cuadrado menos 13, que es menos 13. Así, podemos ver que el máximo absoluto de nuestra función en el intervalo cerrado de menos uno a dos es menos 13. Y el mínimo absoluto es menos 21. En este ejemplo hemos hecho una derivación bastante sencilla, así que ahora vamos a ver un ejemplo en el que nos tendremos que esforzar un poco más.
Halla los máximos y mínimos absolutos de la función 𝑦 igual a 𝑥 sobre dos 𝑥 más ocho en el intervalo cerrado de dos a seis.
Como sabemos, para hallar los extremos absolutos de la función 𝑓 de 𝑥 en un intervalo cerrado, seguimos tres pasos. Primero, hallamos los puntos críticos que hay en nuestro intervalo cerrado. Luego, hallamos los valores de 𝑓 de 𝑥 en estos puntos críticos. Y, por último, comprobamos los extremos del intervalo para ver si son extremos absolutos o, en otras palabras, valores que son más pequeños que los mínimos relativos o más grandes que los máximos relativos.
Como ya hemos visto, los puntos críticos son aquellos puntos de la curva donde la derivada es igual a cero o no existe. Así que tenemos que hallar la derivada de nuestra función e igualarla a cero. Pero ¿cómo derivamos 𝑥 partido por dos 𝑥 más ocho? Lo cierto es que tenemos varios métodos que podemos utilizar. Pero, puesto que esto es el cociente de dos funciones derivables, vamos a usar la regla del cociente.
Esta regla dice que la derivada del cociente de dos funciones derivables 𝑢 y 𝑣 es 𝑣 por d𝑢 sobre d𝑥 menos 𝑢 por d𝑣 sobre d𝑥 todo partido por 𝑣 al cuadrado. El numerador de nuestra fracción es 𝑥, así que hacemos que 𝑢 sea igual a 𝑥 y que 𝑣 sea igual a dos 𝑥 más ocho. Por lo tanto, d𝑢 sobre d𝑥 es igual a uno. Y d𝑣 sobre d𝑥 es dos.
Por lo tanto, la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥 es dos 𝑥 más ocho por d𝑢 sobre d𝑥, que es uno, menos 𝑢 por d𝑣 sobre d𝑥, que es 𝑥 por dos, todo partido por 𝑣 al cuadrado, que es dos 𝑥 más ocho todo al cuadrado. Así, podemos decir que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a ocho partido entre dos 𝑥 más ocho al cuadrado. Ahora igualamos esto a cero y despejamos la 𝑥. Fíjate en lo que pasa cuando hacemos esto.
Para que una fracción algebraica sea igual a cero, el numerador debe ser igual a cero. En este caso, obtenemos el enunciado cero es igual a ocho, que sabemos es incorrecto. Esto significa que d𝑦 sobre d𝑥, en este caso, no puede ser igual a cero. No hay puntos críticos en este intervalo. Y, por lo tanto, nos vamos a ir directamente al tercer paso y calculamos la función en los extremos del intervalo. Es decir, 𝑓 de dos y 𝑓 de seis.
𝑓 de dos es dos sobre dos por dos más ocho, es decir, dos doceavos, que se simplifica a un sexto. 𝑓 de seis es seis sobre dos por seis más ocho. Eso es seis vigésimos, que se simplifica a tres décimos. Tres décimos es mayor que un sexto, así que podemos decir que el máximo absoluto de nuestra función es tres décimos y que el mínimo absoluto es un sexto. Bien, ahora vamos a volver atrás un momento.
Como ya sabemos, puntos críticos también son aquellos puntos de la función donde la derivada no existe, y hay un punto en nuestra función donde la derivada no existe. Es el punto donde dos 𝑥 más ocho es igual a cero, o 𝑥 es igual a menos cuatro. Ahora bien, como esto está fuera del intervalo cerrado de dos a seis, en realidad no tenemos que preocuparnos por este punto crítico. Así que podemos centrarnos tan solo en los extremos del intervalo, 𝑓 de dos y 𝑓 de seis.
En el siguiente ejemplo vamos a ver cómo podemos aplicar el método para hallar los extremos absolutos de funciones definidas a trozos.
Halla los valores máximos y mínimos absolutos de la función 𝑓 de 𝑥, que es igual a seis 𝑥 menos tres al cuadrado si 𝑥 es menor o igual que dos e igual a dos menos nueve 𝑥, si 𝑥 es mayor que dos, en el intervalo cerrado uno, seis.
Bien, como ya hemos dicho, para hallar los extremos absolutos de funciones continuas, realizamos tres pasos. Primero, hallamos los puntos críticos del intervalo cerrado que tenemos. En segundo lugar, hallamos los valores de nuestra función 𝑓 de 𝑥 en estos puntos críticos. Y, en tercer y último lugar, comprobamos los extremos del intervalo para ver si son extremos absolutos, es decir, valores más pequeños que el mínimo relativo o más grandes que el máximo relativo.
Pero tenemos un pequeño problema. Esta es una función definida a trozos. Y aún no sabemos si esta función es continua. Pero sabemos que la función seis 𝑥 menos tres al cuadrado es continua y que la función dos menos nueve 𝑥 es también continua. Así que, lo que vamos a hacer es considerar que 𝑥 igual a dos puede ser un punto crítico. Para comprobarlo, vamos a calcular la derivada por la derecha y por la izquierda de nuestra función en 𝑥 igual a dos.
Primero calculamos la derivada por la derecha de 𝑓 en 𝑥 es igual a dos. Está dada por el límite cuando ℎ se acerca a cero desde la derecha de 𝑓 de dos más ℎ menos 𝑓 de dos sobre ℎ. Ahora nos fijamos en la derivada por la derecha, así que nos interesa la función que se aplica cuando 𝑥 es mayor que dos. Es 𝑓 de 𝑥 igual a dos menos nueve 𝑥.
Por lo tanto, estamos buscando el límite cuando ℎ se acerca a cero desde la derecha de dos menos nueve por dos más ℎ menos dos menos nueve por dos sobre ℎ. Esto es dos menos 18 menos nueve ℎ menos dos más 18 todo partido por ℎ. Que se simplifica a menos nueve ℎ sobre ℎ. Luego, simplificamos un poco más y vemos que estamos buscando el límite cuando ℎ tiende a cero desde la derecha de menos nueve. Pero esto es independiente de ℎ, así que sabemos que esto va a ser igual a menos nueve. Por lo tanto, la derivada por la derecha es menos nueve.
Ahora vamos a repetir este proceso para la derivada por la izquierda. Esta vez, estamos calculando 𝑓 de dos más ℎ menos 𝑓 de dos sobre ℎ cuando ℎ se acerca a cero desde la izquierda. Y, por lo tanto, nos interesa el tramo de 𝑓 de 𝑥 donde 𝑥 es menor o igual que dos. Por lo tanto, tenemos el límite cuando ℎ se acerca a cero desde la izquierda de seis por dos más ℎ menos tres todo al cuadrado menos seis por dos menos tres todo al cuadrado todo partido por ℎ. Esto se simplifica a nueve más seis ℎ todo al cuadrado menos nueve al cuadrado partido por ℎ.
Desarrollamos los paréntesis y nos quedamos con el límite cuando ℎ se acerca a cero desde la izquierda de 108ℎ más 36ℎ al cuadrado. Simplificamos y obtenemos 108 más 36ℎ. Por lo tanto, cuando ℎ se acerca a cero desde la izquierda, obtenemos 108.
Como vemos, las derivadas por la izquierda y por la derecha no son iguales. Y, por lo tanto, 𝑓 prima de 𝑥, nuestra derivada, no existe en 𝑥 igual a dos. Así que sabemos que tenemos un punto crítico en 𝑥 igual a dos. Y vamos a tener que hallar 𝑓 de 𝑥 en este punto. Sin embargo, también debemos comprobar si hay puntos críticos en cada tramo de la función definida a trozos. Así que vamos a derivar con respecto a 𝑥 en cada tramo y a igualar el resultado a cero.
Podemos usar la regla de la potencia para derivar seis 𝑥 menos tres todo al cuadrado con respecto a 𝑥. Esto es dos por seis 𝑥 menos tres. A continuación, disminuimos la potencia en uno. Luego, multiplicamos esto por la derivada de seis 𝑥 menos tres, que es seis. Por lo tanto, la derivada de esto es 12 por seis 𝑥 menos tres. Y la derivada de dos menos nueve 𝑥 es menos nueve.
Como es evidente, no es posible que menos nueve sea igual a cero. La derivada de esta parte de la función es siempre menos nueve. Pero podemos igualar 12 por seis 𝑥 menos tres a cero. Y cuando despejamos la 𝑥, obtenemos que 𝑥 es igual a 0.5. Por lo tanto, tenemos otro punto crítico en 𝑥 igual a 0.5. Vamos a calcular nuestra función en los puntos 𝑥 igual a dos y 𝑥 igual a 0.5. Vamos a hacer algo de espacio.
0.5 es menor que dos, así que calculamos la función en este punto usando seis 𝑥 menos tres todo al cuadrado. Y cuando sustituimos el valor 0.5, obtenemos cero. Por lo tanto, 𝑓 de 0.5 es cero. Utilizamos esta misma expresión de la función definida a trozos para calcular 𝑓 de dos. Y al hacerlo, obtenemos 81. Muy bien, ya hemos hallado 𝑓 de 𝑥 en los puntos críticos de nuestra función. Ahora vamos a comprobar los extremos.
Estos son 𝑓 de uno y 𝑓 de seis. De nuevo, usamos seis 𝑥 menos tres todo al cuadrado para calcular 𝑓 de uno. Y obtenemos nueve. Pero seis es mayor que dos. Así que, para calcular 𝑓 de seis, usamos dos menos nueve 𝑥 y obtenemos menos 52. Podemos ver que el valor máximo absoluto de nuestra función es 81 y que el valor mínimo absoluto es menos 52. Es conveniente recordar que, si se trata de una función definida a trozos, debemos comprobar el comportamiento de nuestra función en los extremos de cada tramo. En el último ejemplo vamos a ver cómo podemos hallar extremos absolutos de funciones exponenciales.
Halla los valores máximos y mínimos absolutos, con dos cifras decimales, de la función 𝑓 de 𝑥 igual a cinco 𝑥𝑒 elevado a menos 𝑥 sabiendo que 𝑥 se encuentra en el intervalo cerrado cero, cuatro.
Como hemos visto, para hallar los extremos absolutos de una función 𝑓 de 𝑥, seguimos tres pasos. Primero, hallamos todos los puntos críticos en el intervalo cerrado. Luego, hallamos los valores de 𝑓 de 𝑥 en estos puntos críticos. Y, por último, comprobamos si los extremos del intervalo son extremos absolutos. Los puntos críticos son los puntos en los que la derivada es igual a cero o no existe. Así que vamos a hallar la derivada de nuestra función y vamos a igualarla a cero.
Vemos que esto es el producto de dos funciones derivables. Así que vamos a usar la regla del producto. Esta regla dice que la derivada del producto de dos funciones derivables 𝑢 y 𝑣 es 𝑢 por d𝑣 sobre d𝑥 más 𝑣 por d𝑢 sobre d𝑥. Igualamos 𝑢 a cinco 𝑥 y 𝑣 a 𝑒 elevado a menos 𝑥. Por lo tanto, d𝑢 sobre d𝑥 es igual a cinco y d𝑣 sobre d𝑥 𝑥 es igual a menos 𝑒 elevado a menos 𝑥. Esto significa que la derivada de nuestra función es cinco 𝑥 por menos 𝑒 elevado a menos 𝑥 más 𝑒 elevado a menos 𝑥 por cinco, que simplificamos a cinco 𝑒 elevado a menos 𝑥 por uno menos 𝑥.
Vamos a igualar esto a cero. No es posible que cinco 𝑒 elevado a menos 𝑥 sea igual a cero. Por lo tanto, para que la ecuación cinco 𝑒 elevado a menos 𝑥 por uno menos 𝑥 igual a cero sea satisfecha, uno menos 𝑥 debe ser igual a cero, lo que significa que 𝑥 igual a uno es un punto crítico. Por lo tanto, vamos a hallar el valor de nuestra función en este punto crítico y en los extremos del intervalo, o sea, 𝑓 de uno, 𝑓 de cero y 𝑓 de cuatro.
𝑓 de uno es cinco por uno por 𝑒 elevado a menos uno, que es 1.8393 etcétera, o, con dos cifras decimales, como se nos pide, 1.84. 𝑓 de cero es cero. Y 𝑓 de cuatro es cinco por cuatro por 𝑒 elevado a menos cuatro, que es 0.37 con dos cifras decimales. Por lo tanto, el máximo absoluto de nuestra función es 1.84 y el mínimo absoluto es cero.
En este video hemos aprendido que, si tenemos una función continua en un intervalo cerrado, entonces sabemos que, en algún punto de este intervalo, tendremos un máximo absoluto y un mínimo absoluto. También hemos visto que estos valores extremos se hallan en el lugar o lugares donde ocurren los extremos relativos o en los extremos del intervalo. Hemos aprendido también que podemos aplicar este método a funciones exponenciales y funciones que son productos y cocientes de otras funciones derivables, pero debemos tener cuidado con las funciones definidas a trozos y calcular sus valores en los extremos de cada tramo.
