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Vídeo de la lección: Aplicaciones de los vectores Matemáticas

En este vídeo vamos a aprender cómo usar operaciones con vectores para resolver problemas en contextos del mundo real.

10:34

Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a usar lo que sabemos sobre los vectores para resolver un problema en un contexto del mundo real. De hecho, el problema trata sobre un avión que se desplaza en presencia de viento. Nos dan su velocidad aerodinámica —o sea, su velocidad con respecto al aire— y nos piden calcular su velocidad con respecto al suelo. Vamos a usar vectores y productos escalares para representar este problema y resolverlo.

Muy bien, este es el problema.

Un avión vuela con rumbo de ciento veinte grados. Así que vamos a comenzar mirando al norte, y luego giramos, así, ciento veinte grados en sentido horario; y esta es la dirección en la que vuela el avión. Tiene una velocidad aerodinámica de trescientas millas por hora. Eso significa que se desplaza a trescientas millas por hora en relación con el aire que lo rodea. La siguiente oración del problema dice que hay un viento de treinta millas por hora que sopla del norte, directamente hacia el sur. Así que tenemos un viento de treinta millas por hora en esta dirección. Por lo tanto, si el avión se desplaza a trescientas millas por hora en relación con el viento, o sea, en relación con el aire a su alrededor, ese aire viaja hacia el sur a treinta millas por hora. Así que eso es una especie de componente adicional de la velocidad en dirección sur, se desplaza en dirección sur. Ahora tenemos que hallar el rumbo real del avión y su velocidad con respecto a la tierra (al suelo).

Así que vamos a representar toda esta información en un diagrama vectorial, y seguidamente usaremos lo que sabemos sobre vectores para resolver ese problema. Bien, aquí está nuestro diagrama. Tenemos el vector 𝑎 que representa la velocidad aerodinámica, la velocidad del avión con respecto al aire. Sigue un rumbo de ciento veinte grados, como ya hemos dicho. Y la magnitud del vector 𝑎 será trescientos porque esa es la velocidad con la que se desplaza. Así que la magnitud del vector 𝑎 es trescientos, moviéndose en esa dirección. Ahora bien, como el viento sopla a treinta millas por hora en esta dirección, la velocidad con respecto al suelo tendrá este componente adicional de velocidad hacia el sur. Así que la velocidad con respecto al suelo será un poco mayor que eso y se dirigirá en una dirección un poco más al sur.

También estamos tratando de hallar el tamaño de este ángulo de aquí; llamémosle 𝜃. Y, si sumamos 𝜃 a los ciento veinte grados que teníamos aquí arriba, obtendríamos el rumbo de la velocidad con respecto al suelo —el rumbo real—con el que vuela el avión. Como puedes ver, tenemos dos vectores y estamos tratando de hallar el ángulo entre ellos. Así que vamos a usar productos escalares y productos vectoriales aquí. Y también vamos a considerar los módulos de los vectores. Así que vamos a poner en práctica lo que sabemos sobre vectores.

Muy bien, tratemos de completar los datos que faltan sobre el vector 𝑎. Bueno, tiene una componente 𝑥, que es una dirección hacia el este en este diagrama. Y tiene una componente 𝑦, que en este caso está en dirección sur. Así que será un número negativo; se dirige hacia abajo en el sentido negativo de 𝑦. Dijimos que la magnitud de nuestro vector era trescientos porque viaja a trescientas millas por hora. Así que vamos a considerar este triángulo que hemos construido antes para averiguar qué son la componente 𝑥 y la componente 𝑦.

Acabamos de hacer el dibujo indicando las direcciones oeste, este y sur y hemos dicho que este ángulo de aquí es de treinta grados porque el ángulo entre la dirección norte y este es noventa grados, lo que deja treinta grados para este ángulo de aquí. Entonces, añadiendo un cateto a esto, obtenemos un triángulo rectángulo. El coseno de treinta grados es el lado contiguo (adyacente) partido por la hipotenusa; que es 𝑎𝑥 partido por trescientos. Reorganizamos esto para despejar 𝑎𝑥, y multiplicamos ambos lados por trescientos. Así que 𝑎𝑥 es trescientos cos treinta. Y coseno treinta es raíz cuadrada de tres partido por dos.

Así que cuando calculamos todo eso, la componente este de la velocidad de 𝑎 es ciento cincuenta raíz de tres millas por hora. Bien, fijémonos ahora en 𝑎𝑦: la componente 𝑦. El seno de treinta es el lado opuesto por la hipotenusa, que es 𝑎𝑦 partido por trescientos, así que multiplicamos ambos lados por trescientos y obtenemos trescientos seno de treinta. Ahora bien, el seno de treinta es un medio, por lo que es igual a ciento cincuenta. Así que la velocidad del avión en la dirección este es ciento cincuenta raíz de tres millas por hora y en la dirección sur es ciento cincuenta millas por hora. Muy bien, ya hemos calculado las componentes del vector 𝑎.

Eso sí, hay que tener en cuenta que el sentido positivo de la dirección 𝑦 es hacia el norte. Pero como nos dirigimos hacia el sur, tenemos una componente 𝑦 negativa. De modo que ciento cincuenta millas por hora es en dirección sur. Así que, en nuestra escala, el vector 𝑎 va a ser este de aquí: ciento cincuenta raíz de tres, menos ciento cincuenta.

Pasando al vector de la velocidad con respecto al suelo, podemos ver que la componente horizontal es exactamente la misma que la velocidad aerodinámica. El viento sopla en dirección sur; por lo que no afecta a la componente horizontal. Así que la componente horizontal —la componente 𝑥— de la velocidad con respecto al suelo es la misma que la de la velocidad aerodinámica. Ahora bien, con la componente sur, la componente 𝑦, tenemos estas treinta millas por hora adicionales. Así que tenemos aquí la velocidad aerodinámica, cualquiera que sea, y hemos de añadir treinta millas por hora adicionales. Así que la componente 𝑦 de la velocidad con respecto al suelo será ciento cincuenta, igual que la velocidad aerodinámica más treinta millas adicionales, o sea ciento ochenta millas por hora.

Y, está en dirección sur, no en dirección norte, es la componente 𝑦 negativa, por lo que será menos ciento ochenta millas por hora, de modo que nuestro vector 𝑔 es ciento cincuenta raíz de tres para la componente 𝑥 igual que la velocidad aerodinámica, y menos ciento ochenta millas, esas treinta millas por hora adicionales en la componente 𝑦.

Muy bien, ya hemos calculado los vectores de velocidad tanto para la velocidad aerodinámica como para la velocidad con respecto al suelo 𝑎 y 𝑔. Y lo que tenemos que hacer ahora es averiguar cuál es la magnitud de la velocidad con respecto al suelo. Así que vamos a tratar de hallar la magnitud de 𝑔. Y para hacerlo, recordemos que elevamos al cuadrado la componente 𝑥 y la sumamos al cuadrado de la componente 𝑦. Al calcular esto, obtenemos raíz cuadrada de noventa y nueve mil novecientos, que es treinta raíz de uno uno uno si queremos ser exactos, o, con una cifra decimal, tres uno seis punto uno millas por hora. Por lo tanto, la magnitud de la velocidad con respecto al suelo con una cifra decimal es trescientas dieciséis con una millas por hora. Así que esa es nuestra velocidad con respecto al suelo. Ahora lo que tenemos que hacer es calcular el tamaño de este ángulo de aquí para poder sumarlo a ciento veinte grados y obtener nuestro rumbo real.

Para calcular el ángulo, vamos a usar el producto escalar de los vectores unitarios en la dirección de la velocidad aerodinámica y la velocidad con respecto al suelo. Así que 𝑎 partido por el módulo de 𝑎 multiplicado por 𝑔 partido entre el módulo de 𝑔 en este caso. Así que la magnitud de 𝑎 son las componentes al cuadrado y sumadas; la raíz cuadrada de eso. Ya hemos calculado la magnitud de 𝑔; así que ahora vamos a simplificar. Y para calcular estos productos escalares, vamos a tomar esta componente y la vamos a multiplicar por esta componente y lo sumaremos a esta componente multiplicada por esta componente.

Esto es lo que obtenemos. Recuerda que, como estamos operando con productos escalares, no debemos usar el signo de multiplicación en cruz; tenemos que ser consistentes y usar puntos para multiplicar los números. Tenemos un denominador común, y al multiplicar esos números y sumarlos, obtenemos veintiuno partido entre dos raíz de uno uno uno. Así que lo que estamos diciendo es que este coseno 𝜃 de aquí es igual a veintiuno partido por dos raíz de uno uno uno. Entonces, si hacemos coseno a la menos uno de esto, hallaremos 𝜃.

Y, con una cifra decimal, es cuatro con siete grados. Aquí conviene señalar que no hemos redondeado estos números a medida que avanzamos; hemos tratado de mantenerlos en forma exacta —en forma radical—, para mantener la exactitud en la respuesta el mayor tiempo posible. Pero no siempre es fácil hacer esto porque, si no se simplifican, algunos números en este formato cuestan trabajo de poner en la calculadora sin errores. Pero, si es posible, es mejor operar en esa forma lo máximo posible. Ahora, volviendo a nuestra cuestión, vemos que acabamos de resolver esta parte de aquí. Y ahora tenemos que sumar eso a ciento veinte para calcular el rumbo real. Al hacerlo obtenemos una respuesta de ciento veinticuatro con siete grados. Así que ya lo tenemos. Nuestras respuestas fueron trescientos dieciséis millas con una décima por hora para la velocidad con respecto al suelo y ciento veinticuatro grados con siete décimas para el rumbo.

Recapitulemos los puntos clave que hemos visto en esta lección. Siempre es útil dibujar un diagrama, pues nos ayudó mucho a resolver nuestro problema. Por otro lado, representar la velocidad aerodinámica y la velocidad con respecto al suelo como vectores resultó ser también bastante útil. Pudimos calcular la magnitud del vector 𝑔 con bastante facilidad usando el teorema de Pitágoras. También tratamos de mantener nuestros valores intermedios en forma de radical en la medida de lo posible para mantener los resultados lo más exactos posible. Y también supimos calcular el coseno de 𝜃 como el producto escalar de los vectores unitarios en cada dirección para así calcular el ángulo entre esos dos vectores.

Esperamos que lo visto en este vídeo te dé un poco más de perspectiva y capacidad sobre el uso de vectores para resolver algunos problemas.

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