Lesson Video: Las propiedades de las operaciones

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En este vídeo vamos a repasar las propiedades de las operaciones y vamos a ver cómo se aplican en la suma y la multiplicación, y luego vamos a usar estas propiedades para factorizar y para desarrollar paréntesis, y, por último, para reducir los términos de una ecuación, lo que está relacionado con la factorización y con el desarrollo de paréntesis.

Veamos ahora algunas propiedades de la suma y la multiplicación. Primero tenemos la propiedad asociativa, y aquí tenemos tres más cinco entre paréntesis más siete igual a tres más (abre paréntesis) cinco más siete (cierra paréntesis).

Esto significa que no importa demasiado qué dos números se encuentran entre paréntesis. Lo mismo ocurre con la multiplicación, tenemos dos por cuatro entre paréntesis por seis igual a dos por (abre paréntesis) cuatro por seis (cierra paréntesis).

De nuevo, no importa qué dos números estén entre paréntesis. Ten en cuenta que esto solo se cumple para la suma y para la multiplicación. No funciona para la resta ni para la división. La siguiente propiedad es la conmutativa, que es una propiedad del orden.

Tres más cinco más siete es igual a siete más cinco más tres, que también es igual a cinco más siete más tres. Y, para la multiplicación, dos por cuatro por seis es igual a seis por cuatro por dos, así que no importa el orden en el que pongamos los números. El resultado es el mismo.

Por último, la propiedad distributiva funciona con una combinación de suma y multiplicación. Aquí tenemos dos por (abre paréntesis) cuatro más seis (cierra paréntesis). Y lo que hay que hacer es distribuir el dos al cuatro y al seis. Así que tenemos dos por cuatro más dos por seis, así que esto es una combinación de suma y multiplicación.

Ahora vamos a usar estas propiedades para ayudarnos a factorizar, a desarrollar paréntesis y a combinar los términos. Veamos cómo simplificar, sumar y restar expresiones lineales. Aquí tenemos una expresión: cuatro 𝑥 menos dos más seis 𝑥 es igual a [espacio en blanco].

Cuando sumamos y restamos, lo que queremos hacer es reducir términos semejantes, así que un término semejante puede ser un número, o, en este caso, vemos que este término tiene una 𝑥 y que este otro término tiene también 𝑥, así que son términos semejantes. Y, por tanto, podemos sumar cuatro 𝑥 y seis 𝑥 para obtener diez 𝑥.

Esto es igual a diez 𝑥 menos dos, pues solo hay un término constante, así que hacemos esto. Hay un signo menos aquí, así que nos lo llevamos aquí.

En esta expresión tenemos siete más tres 𝑥𝑦 menos dos 𝑥 más ocho igual a [espacio en blanco]. Vemos que tenemos aquí un término con 𝑥𝑦, pero solo uno, y un término con 𝑥; aunque ambos términos tienen una 𝑥, 𝑥𝑦 no es lo mismo que 𝑥, así que no son términos semejantes.

Aquí, los términos semejantes son las constantes, el siete y el ocho, así que, si los combinamos, la expresión lineal se convierte en tres 𝑥𝑦 menos dos 𝑥 más quince.

La última expresión que vamos a ver es diez 𝑦 al cuadrado más seis 𝑥𝑦 menos dos 𝑦 al cuadrado más cinco 𝑥 menos dos. De nuevo tenemos 𝑥𝑦 y 𝑥, que son términos distintos. Aquí los únicos términos semejantes que tenemos son 𝑦 al cuadrado aquí y 𝑦 al cuadrado aquí. Así que tenemos diez 𝑦 al cuadrado menos dos 𝑦 al cuadrado, que es ocho 𝑦 al cuadrado.

La expresión es ahora ocho 𝑦 al cuadrado más seis 𝑥𝑦 más cinco 𝑥 menos dos. Aquí tenemos el producto tres 𝑥 por siete más 𝑦. Recordemos que, con la propiedad distributiva, tomamos esta parte de fuera del paréntesis y la distribuimos a las dos partes de dentro del paréntesis.

Y así tenemos tres 𝑥 por siete más tres 𝑥 por 𝑦, y esto es igual a tres 𝑥 por siete, que es veintiuno 𝑥 más tres 𝑥 por 𝑦, que es tres 𝑥𝑦.

A continuación, tenemos cuatro por (abre paréntesis) 𝑢 menos uno (cierra paréntesis). Aquí tenemos el término de fuera del paréntesis, y vamos a distribuirlo a los términos que están dentro del paréntesis, y esto es cuatro por 𝑢 más cuatro por menos uno. Como cuatro por menos uno es menos cuatro, obtenemos cuatro por 𝑢, que es cuatro 𝑢, menos cuatro.

La última expresión que vamos a ver es menos cinco por seis menos dos 𝑚 más tres 𝑛. En las primeras dos expresiones teníamos solo dos términos dentro del paréntesis.

Aquí, hemos puesto tres términos para demostrar que no importa cuántos términos haya dentro del paréntesis. Tenemos que seguir distribuyendo este término de fuera a todos los términos que están dentro del paréntesis.

Cuando distribuimos el menos cinco, obtenemos menos cinco por seis más menos cinco por menos dos 𝑚 más menos cinco por tres 𝑛. Y, como tenemos un término negativo, el menos cinco, debemos tener mucho cuidado con los signos.

Así que esto es igual a menos cinco por seis, que es menos treinta. Ahora tenemos un signo más aquí, tenemos menos cinco por menos dos 𝑚, que se convierte en más diez 𝑚, así que esto es más diez 𝑚, y luego más menos cinco por tres 𝑛, que es menos quince 𝑛, así que menos quince 𝑛.

Hemos visto, pues, varios ejemplos de cómo usar la propiedad distributiva para desarrollar paréntesis. En este ejemplo vamos a ver cómo factorizar expresiones. En el ejemplo anterior desarrollamos paréntesis, así que esto es justo lo contrario. Y para factorizar expresiones tenemos que fijarnos bien en los términos.

Tenemos dos términos aquí, cuatro 𝑥 y seis, y como solo el primer término tiene una 𝑥, vamos a ignorar la 𝑥, para fijarnos así solo en el cuatro y en el seis. Y lo que queremos hacer es hallar el máximo común divisor, y vemos aquí que tanto el cuatro como el seis son divisibles por dos.

Así que el MCD, el máximo común divisor, es dos. Ahora tomamos ese dos y dividimos cada término por ese número. Y tenemos cuatro 𝑥 dividido por dos, que es dos 𝑥, y seis dividido por dos, que es tres.

Bien, cuando factorizamos ponemos el máximo común divisor delante, que es dos, y, entre paréntesis, dos 𝑥 más tres. Y podemos usar lo que hemos aprendido acerca de distribuir el término que está fuera del paréntesis en el ejemplo anterior para comprobar esto y asegurarnos de que, efectivamente, es igual a cuatro 𝑥 más seis.

Ahora veamos otra expresión. Tenemos seis 𝑥𝑦 menos veintisiete 𝑥 al cuadrado. Así que primero vamos a fijarnos en los factores numéricos, es decir, en los coeficientes. Tenemos seis y veintisiete, y vamos a ignorar este signo menos por ahora. El máximo común divisor de seis y veintisiete es tres. Tres es divisor de seis y de veintisiete.

Ahora prestemos atención a la 𝑥, tenemos una 𝑥 aquí y una 𝑥 al cuadrado aquí. Recordemos que, cuando hay una variable sola, se entiende que el exponente es uno.

Cuando queremos hallar el máximo común divisor tomamos la potencia con el exponente más pequeño y la extraemos. Aquí hay un uno y aquí hay un dos. Así que añadimos una 𝑥 al máximo común divisor. Aquí tenemos un término con 𝑦, pero no tenemos un término con 𝑦 en el segundo término, así que solo vamos a tener un máximo común divisor de tres 𝑥, y ahora dividimos seis 𝑥𝑦 por tres 𝑥, y la 𝑥 sobre la 𝑥 se cancela; hay dos treses en seis, así que esto es igual a dos 𝑦, y tomamos veintisiete 𝑥 al cuadrado y lo dividimos por tres 𝑥, y hay nueve treses en veintisiete; y esto se convierte en uno.

Aquí la 𝑥 desaparece y el dos también. Así que tenemos nueve 𝑥. Ahora, cuando escribimos esto, tenemos el factor tres 𝑥 por dos 𝑦, y aquí tenemos el signo menos, así que el signo menos va aquí, delante de nueve 𝑥.

Y, de nuevo, al igual que en la primera expresión, podemos usar la propiedad distributiva para comprobar el resultado y asegurarnos de que, cuando distribuimos el tres 𝑥 a dos 𝑦 a menos nueve 𝑥, obtenemos seis 𝑥𝑦 menos veintisiete 𝑥.

Resumiendo, hemos aprendido cómo simplificar, y cómo sumar y restar expresiones lineales combinando términos semejantes, hemos aprendido a distribuir para desarrollar paréntesis, y hemos visto cómo factorizar hallando factores comunes en los términos de las expresiones.