Transcripción del vídeo
Criterio de comparación directa para la convergencia de series
En este vídeo vamos a aprender cómo aplicar el criterio de comparación directa para
determinar si una serie es convergente o divergente comparándola con una serie de
convergencia conocida. Para ello vamos a ver una serie de ejemplos en los que practicaremos cómo
hacerlo. En primer lugar, vamos a ver cómo funciona el criterio de comparación directa para la
convergencia de series. Cuando hacemos uso del criterio de comparación directa, hay dos series que nos
ocupan. Una de ellas es el sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 y la otra es el
sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛.
Ahora bien, para poder aplicar el criterio de comparación directa, necesitamos que
tanto 𝑎 𝑛 como 𝑏 𝑛 sean mayores o iguales que cero para todos los valores de
𝑛. También debemos saber si la serie sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛
converge o diverge. El criterio de comparación directa nos dice que, si la suma desde 𝑛 igual a uno
hasta ∞ de 𝑏 𝑛 converge, y 𝑎 𝑛 es menor o igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores
de 𝑛, entonces la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎𝑛 también converge. En cambio, si la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛 diverge, y 𝑎 𝑛 es mayor
o igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛, entonces la suma desde 𝑛 igual a
uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 también diverge.
Como ves, es bastante sencillo entender cómo funciona el criterio de comparación
directa. Pues, en la primera parte decimos que, si todos los términos son menores o iguales
que los términos de una serie que sabemos es convergente, entonces nuestra serie
también converge. Y en la segunda parte decimos que, si los términos son mayores o iguales que los
términos de una serie que sabemos es divergente, entonces nuestra serie también
diverge. Eso sí, para poder aplicar el criterio de comparación debemos conocer algunas series
convergentes y divergentes.
Así que debemos conocer algunas series convergentes y divergentes, esto es, la serie
𝑏 𝑛, que podemos usar para comparar con la serie cuya convergencia tratamos de
determinar. Y esa es la serie 𝑎 𝑛. Una familia de series que suelen ser bastante útiles cuando aplicamos el criterio de
comparación son las series 𝑝. Las series 𝑝 son de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛
elevado a 𝑝. Y se sabe que una serie 𝑝 diverge si 𝑝 es menor o igual que uno. Y que converge si 𝑝 es mayor que uno. Bien, vamos a pasar a ver un ejemplo en el que practicaremos cómo aplicar el criterio
de comparación.
Utiliza el criterio de comparación para determinar si la serie sumatorio desde 𝑛
igual a uno hasta ∞ del logaritmo neperiano de 𝑛 sobre 𝑛 es convergente o
divergente.
Para resolver este problema tenemos que recordar lo que dice el criterio de
comparación directa. El criterio de comparación directa nos dice que, si dos series, sumatorio desde 𝑛
igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 y sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛,
donde 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛 son ambos mayores o iguales que cero para todos los valores de
𝑛. Son tales que la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛 es convergente, y 𝑎 𝑛
es menor o igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛, entonces la suma desde 𝑛
igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 es también convergente. Y si la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛 es divergente, y 𝑎 𝑛 es mayor o
igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛, entonces la suma desde 𝑛 igual a uno
hasta ∞ de 𝑎 𝑛 también es divergente.
La serie que se nos presenta es el sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ del
logaritmo neperiano de 𝑛 sobre 𝑛. Así que hacemos 𝑎 𝑛 igual al logaritmo neperiano de 𝑛 sobre 𝑛. Y ahora debemos hallar una serie con la que comparar esto. Si nos fijamos en 𝑎 𝑛, podemos ver que es parecida a una serie 𝑝. Una serie 𝑝 es una serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno
sobre 𝑛 elevado a 𝑝. Y una serie 𝑝 diverge si 𝑝 es menor o igual que uno y converge si 𝑝 es mayor que
uno.
La serie 𝑝 que se parece más a la serie que tenemos es la suma desde 𝑛 igual a uno
hasta ∞ de uno sobre 𝑛. Y para esta serie el valor de 𝑝 es uno. Por lo tanto, esta serie diverge. Antes de aplicar el criterio de comparación directa tenemos que comprobar si 𝑎 𝑛 y
𝑏 𝑛 son mayores o iguales que cero para todos los valores de 𝑛. Los valores de 𝑛 que vamos a usar van desde uno hasta ∞. Así que 𝑛 es mayor o igual que cero.
El logaritmo neperiano de 𝑛 es una función creciente. Y cuando 𝑛 es igual a uno, el logaritmo neperiano de 𝑛 es igual a cero. De esta forma vemos que, para todos los valores de 𝑛, el logaritmo neperiano de 𝑛
es mayor o igual que cero. Y como estas dos cosas son mayores o iguales que cero, tanto 𝑎 𝑛 como 𝑏 𝑛 serán
también mayores o iguales que cero.
Ya hemos dicho que la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 es
divergente. Así que debemos tratar de comprobar la segunda parte del criterio de comparación
directa. Lo que significa que debemos probar que 𝑎 𝑛 es mayor o igual que 𝑏 𝑛. Es decir, debemos probar que el logaritmo neperiano de 𝑛 sobre 𝑛 es mayor o igual
que uno sobre 𝑛. Y como 𝑛 siempre es mayor o igual que uno, podemos multiplicar ambos lados por
𝑛. De esta forma obtenemos que el logaritmo neperiano de 𝑛 es mayor o igual que
uno. Y tenemos que tratar de demostrar esto para todos los valores de 𝑛.
Enseguida nos damos cuenta de que este no puede ser el caso, pues el logaritmo
neperiano de uno es igual a cero, que es menor que uno. No obstante, esto no significa que no podamos aplicar el criterio de comparación. Vamos a considerar los primeros valores del logaritmo neperiano de 𝑛. Tenemos que el logaritmo neperiano de dos es igual a 0.693, etcétera. Y que el logaritmo neperiano de tres es igual a 1.098, etcétera.
Así que el logaritmo neperiano de tres es mayor o igual que uno. Y como ya hemos dicho antes, sabemos que el logaritmo neperiano de 𝑛 es una función
creciente. Por lo tanto, la afirmación de que el logaritmo neperiano de 𝑛 es mayor o igual que
uno es cierta para los valores de 𝑛 que son mayores o iguales que tres.
Vamos a reescribir la serie que nos ha dado el problema. Podemos sacar los dos primeros términos fuera de la serie. Y tenemos que la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ del logaritmo neperiano de 𝑛
sobre 𝑛 es igual al logaritmo neperiano de uno sobre uno más el logaritmo neperiano
de dos medios más la suma desde 𝑛 igual a tres hasta ∞ del logaritmo neperiano de
𝑛 sobre 𝑛. Ahora vamos a comparar esta serie con la serie 𝑝 de la forma sumatorio desde 𝑛
igual a tres hasta ∞ de uno sobre 𝑛.
Tenemos los mismos valores de 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛 que antes. Y se cumple la condición de que 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛 sean mayores o iguales que cero para
todos los valores de 𝑛. Tenemos que la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛 es divergente. Y que 𝑎 𝑛 es mayor o igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛. A partir de esto podemos decir que la suma desde 𝑛 igual a tres hasta ∞ del
logaritmo neperiano de 𝑛 sobre 𝑛 es divergente.
Podemos relacionar esto con la suma original que se nos dio en el problema, pues es
igual a dos términos constantes más la serie que acabamos de ver que es
divergente. Como es igual a la suma de dos constantes y una serie divergente, hemos hallado que
la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ del logaritmo neperiano de 𝑛 sobre 𝑛 es
divergente.
Veamos otro ejemplo para practicar la aplicación del criterio de comparación
directa.
Utiliza el criterio de comparación para determinar si la serie de la forma sumatorio
desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑛 al cubo más uno sobre 𝑛 elevado a cinco más tres
es convergente o divergente.
Vamos a empezar recordando lo que dice el criterio de comparación directa. El criterio de comparación directa dice, en primer lugar, que para las series que son
la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 y la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞
de 𝑏 𝑛, donde 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛 son ambos mayores o iguales que cero para todos los
valores de 𝑛. Si la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛 converge, y 𝑎 𝑛 es menor o igual
que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛, entonces la suma desde 𝑛 igual a uno hasta
∞ de 𝑎 𝑛 converge. En segundo lugar, nos dice que, si la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛
diverge, y 𝑎 𝑛 es mayor o igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛, entonces
la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 también diverge.
Pero antes de aplicar el criterio de comparación directa a nuestra serie, vamos a
descomponerla para así facilitarnos las cosas. Podemos decir que la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑛 al cubo más uno sobre 𝑛
elevado a cinco más tres es igual a la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑛 al
cubo sobre 𝑛 elevado a cinco más tres más uno sobre 𝑛 elevado a cinco más
tres. Y podemos seguir adelante y descomponer esto en dos series, tal que así.
Ahora tenemos dos series a las que podemos aplicar el criterio de comparación. Empecemos con la segunda serie. Esta es la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 elevado a cinco más
tres. Y podemos comparar esta serie con una serie 𝑝. Una serie 𝑝 es una serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno
sobre 𝑛 elevado a 𝑝. Y una serie 𝑝 diverge si 𝑝 es menor o igual que uno y converge si 𝑝 es mayor que
uno.
Enseguida nos damos cuenta de que nuestra serie es muy parecida a la 𝑝-serie en la
que 𝑝 es igual a cinco. Esa es la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 a la quinta. Aplicamos el criterio de comparación a estas dos series. Como en ambas series estamos sumando desde 𝑛 igual a uno hasta ∞, 𝑛 siempre es
mayor o igual que uno. Si nos fijamos en los términos 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛 de nuestras series, cuando 𝑛 es mayor o
igual que uno, 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛 son ambos mayores o iguales que cero. Estupendo, ya hemos comprobado la primera condición del criterio de comparación.
Ahora tenemos que comprobar si la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 a
la quinta converge o diverge. Como esta es una serie 𝑝 en la que el valor de 𝑝 es cinco, y cinco es mayor que
uno, esta serie es convergente. Por lo tanto, para aplicar el criterio de comparación tenemos que comprobar la
condición de la primera parte, que dice que 𝑎 𝑛 debe ser menor o igual que 𝑏 𝑛
para todos los valores de 𝑛. Esto es, que uno sobre 𝑛 elevado a cinco más tres sea menor o igual que uno sobre 𝑛
a la quinta.
Como 𝑛 elevado a cinco más tres es mayor que 𝑛 elevado a cinco para todos los
valores de 𝑛 mayores o iguales que uno, esto significa que esta condición se
cumple. Muy bien, hemos probado la última condición del criterio de comparación. Y podemos decir que la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 elevado a
cinco más tres converge. Consideremos ahora la otra serie. Es la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑛 al cubo sobre 𝑛 elevado a cinco más
tres.
Consideremos el término 𝑎 𝑛. Eso es 𝑛 al cubo sobre 𝑛 elevado a cinco más tres. Esto debe ser menor o igual que 𝑛 al cubo sobre 𝑛 elevado a cinco, pues el
denominador de la fracción de la izquierda es mayor que el denominador de la
fracción de la derecha. 𝑛 al cubo sobre 𝑛 a la quinta es uno sobre 𝑛 al cuadrado. Esto quiere decir que podemos comparar la serie de la izquierda con la serie que es
la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 al cuadrado. Y esta serie es una serie 𝑝 en la que 𝑝 es igual a dos. Dos es mayor que uno. Así que esta serie es convergente.
Muy bien, ya hemos probado todas las condiciones de la primera parte del criterio de
comparación. Y llegamos a la conclusión de que la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑛 al cubo
sobre 𝑛 elevado a cinco más tres también converge. Hemos hallado dos series convergentes. Y la suma de estas dos series convergentes también será convergente. De esta forma tenemos que la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑛 al cubo más uno
sobre 𝑛 elevado a cinco más tres también es convergente.
Bien, vamos a ver ahora otra familia de series que se suelen utilizar en el criterio
de comparación directa. Se denominan series geométricas. Estas series son de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 por 𝑟
elevado a 𝑛 menos uno. Una serie geométrica converge si el valor absoluto de 𝑟 es menor que uno y diverge
si el valor absoluto de 𝑟 es mayor o igual que uno. Veamos un ejemplo de cómo podemos usar las series geométricas en el criterio de
comparación directa.
Utiliza el criterio de comparación directa para determinar si la serie que es la suma
desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 237 sobre 𝑛 más 1.1 elevado a 𝑛 es convergente o
divergente.
Primero vamos a recordar lo que dice el criterio de comparación directa. Para una serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛, y una
serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛, donde 𝑎𝑛 y 𝑏
𝑛 son ambos mayores o iguales que cero para todos los valores de 𝑛, el criterio de
comparación directa dice. En primer lugar, que si la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛 converge, y 𝑎
𝑛 es menor o igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛, entonces la suma desde
𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 también converge. Y, en segundo lugar, que si la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛 diverge, y
𝑎 𝑛 es mayor o igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛, entonces la suma
desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 también diverge.
En la serie que se nos ha dado, 𝑎 𝑛 es igual a 237 sobre 𝑛 más 1.1 elevado a
𝑛. Podría parecer que debemos comparar nuestra serie con una serie 𝑝. Esta serie 𝑝 sería 237 por la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre
𝑛. Para esta serie 𝑝, 𝑝 es igual a uno. Así que esta serie es divergente. De modo que nos encontraríamos en la segunda parte del criterio de comparación. Y tendríamos que demostrar que 𝑎 𝑛 es mayor o igual que 𝑏 𝑛 para todos los
valores de 𝑛. Que es lo mismo que demostrar que 237 sobre 𝑛 más 1.1 elevado a 𝑛 es mayor o igual
que 237 sobre 𝑛.
La única diferencia que hay entre estas dos fracciones es el denominador, en concreto
la potencia 1.1 elevado a 𝑛. Como 𝑛 siempre es mayor o igual que uno, 1.1 elevado a 𝑛 es siempre mayor que
cero. Esto quiere decir que el denominador de la fracción de la izquierda es mayor que el
denominador de la fracción de la derecha. Por ello, nuestra desigualdad no es cierta, así que no podemos usar esta serie 𝑝
para aplicar el criterio de comparación. Debemos probar con otra serie distinta.
Vamos a probar con una serie geométrica. Una serie geométrica es de la forma sumatoria de 𝑎 𝑟 elevado a 𝑛. Y una serie geométrica es convergente si el valor absoluto de 𝑟 es menor que uno y
divergente si el valor absoluto de 𝑟 es mayor o igual que uno. Tenemos que hallar una serie geométrica con la que comparar nuestra serie. Si nos fijamos en la serie, vemos que tenemos 1.1 elevado a 𝑛 en el denominador. Así que vamos a tratar de comparar nuestra serie con la suma desde 𝑛 igual a uno
hasta ∞ de 237 sobre 1.1 elevado a 𝑛.
Para ambas series, como 𝑛 es mayor o igual que uno, tenemos que tanto 𝑎 𝑛 como 𝑏
𝑛 son mayores o iguales que cero para todos los valores de 𝑛. Vamos a reescribir la serie geométrica para que sea más sencillo hallar su
convergencia. Y es la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 237 por uno sobre 1.1 elevado a
𝑛. Aquí podemos ver que 𝑟 es igual a uno sobre 1.1. Como uno sobre 1.1 es menor que uno, sabemos que esta serie geométrica es
convergente. Así que nos hallamos en la primera parte del criterio de comparación.
Lo siguiente que tenemos que hacer es demostrar que 𝑎 𝑛 es menor o igual que 𝑏 𝑛
para todos los valores de 𝑛. Es decir, que 237 sobre 𝑛 más 1.1 elevado a 𝑛 es menor o igual que 237 sobre 1.1
elevado a 𝑛. Como 𝑛 es mayor o igual que uno, el denominador de 𝑛 más 1.1 elevado a 𝑛 es mayor
que el denominador de 1.1 elevado a 𝑛. Por lo tanto, la desigualdad es cierta. Muy bien, hemos probado la condición de la primera parte del criterio de comparación
directa. Y hemos llegado a nuestra conclusión, que es que la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞
de 237 sobre 𝑛 más 1.1 elevado a 𝑛 es convergente.
Ya hemos visto una serie de ejemplos en los que hemos aprendido cómo aplicar el
criterio de comparación directa para determinar el carácter de una serie, es decir,
para hallar si una serie es convergente o divergente. Repasemos algunos de los puntos clave del vídeo.
Puntos clave
El criterio de comparación directa para la convergencia de las series dice, para la
serie sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 y la serie sumatorio desde 𝑛
igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛, donde 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛 son mayores o iguales que cero
para todos los valores de 𝑛. En primer lugar, que si la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛 es convergente,
y 𝑎 𝑛 es menor o igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛, entonces la suma
desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 es convergente. Y en segundo lugar, que si la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛 es
divergente, y 𝑎 𝑛 es mayor o igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛, la suma
desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 es divergente. Cuando aplicamos el criterio de comparación, las series que solemos emplear para
hacer la comparación son las series 𝑝 y las series geométricas.
