Vídeo: Criterio de comparación directa para la convergencia de series

En este vídeo vamos a aprender cómo aplicar el criterio de comparación directa para determinar si una serie es convergente o divergente comparándola con una serie de convergencia conocida.

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Transcripción del vídeo

Criterio de comparación directa para la convergencia de series

En este vídeo vamos a aprender cómo aplicar el criterio de comparación directa para determinar si una serie es convergente o divergente comparándola con una serie de convergencia conocida. Para ello vamos a ver una serie de ejemplos en los que practicaremos cómo hacerlo. En primer lugar, vamos a ver cómo funciona el criterio de comparación directa para la convergencia de series. Cuando hacemos uso del criterio de comparación directa, hay dos series que nos ocupan. Una de ellas es el sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 y la otra es el sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛.

Ahora bien, para poder aplicar el criterio de comparación directa, necesitamos que tanto 𝑎 𝑛 como 𝑏 𝑛 sean mayores o iguales que cero para todos los valores de 𝑛. También debemos saber si la serie sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛 converge o diverge. El criterio de comparación directa nos dice que, si la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛 converge, y 𝑎 𝑛 es menor o igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛, entonces la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎𝑛 también converge. En cambio, si la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛 diverge, y 𝑎 𝑛 es mayor o igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛, entonces la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 también diverge.

Como ves, es bastante sencillo entender cómo funciona el criterio de comparación directa. Pues, en la primera parte decimos que, si todos los términos son menores o iguales que los términos de una serie que sabemos es convergente, entonces nuestra serie también converge. Y en la segunda parte decimos que, si los términos son mayores o iguales que los términos de una serie que sabemos es divergente, entonces nuestra serie también diverge. Eso sí, para poder aplicar el criterio de comparación debemos conocer algunas series convergentes y divergentes.

Así que debemos conocer algunas series convergentes y divergentes, esto es, la serie 𝑏 𝑛, que podemos usar para comparar con la serie cuya convergencia tratamos de determinar. Y esa es la serie 𝑎 𝑛. Una familia de series que suelen ser bastante útiles cuando aplicamos el criterio de comparación son las series 𝑝. Las series 𝑝 son de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 elevado a 𝑝. Y se sabe que una serie 𝑝 diverge si 𝑝 es menor o igual que uno. Y que converge si 𝑝 es mayor que uno. Bien, vamos a pasar a ver un ejemplo en el que practicaremos cómo aplicar el criterio de comparación.

Utiliza el criterio de comparación para determinar si la serie sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ del logaritmo neperiano de 𝑛 sobre 𝑛 es convergente o divergente.

Para resolver este problema tenemos que recordar lo que dice el criterio de comparación directa. El criterio de comparación directa nos dice que, si dos series, sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 y sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛, donde 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛 son ambos mayores o iguales que cero para todos los valores de 𝑛. Son tales que la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛 es convergente, y 𝑎 𝑛 es menor o igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛, entonces la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 es también convergente. Y si la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛 es divergente, y 𝑎 𝑛 es mayor o igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛, entonces la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 también es divergente.

La serie que se nos presenta es el sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ del logaritmo neperiano de 𝑛 sobre 𝑛. Así que hacemos 𝑎 𝑛 igual al logaritmo neperiano de 𝑛 sobre 𝑛. Y ahora debemos hallar una serie con la que comparar esto. Si nos fijamos en 𝑎 𝑛, podemos ver que es parecida a una serie 𝑝. Una serie 𝑝 es una serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 elevado a 𝑝. Y una serie 𝑝 diverge si 𝑝 es menor o igual que uno y converge si 𝑝 es mayor que uno.

La serie 𝑝 que se parece más a la serie que tenemos es la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛. Y para esta serie el valor de 𝑝 es uno. Por lo tanto, esta serie diverge. Antes de aplicar el criterio de comparación directa tenemos que comprobar si 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛 son mayores o iguales que cero para todos los valores de 𝑛. Los valores de 𝑛 que vamos a usar van desde uno hasta ∞. Así que 𝑛 es mayor o igual que cero.

El logaritmo neperiano de 𝑛 es una función creciente. Y cuando 𝑛 es igual a uno, el logaritmo neperiano de 𝑛 es igual a cero. De esta forma vemos que, para todos los valores de 𝑛, el logaritmo neperiano de 𝑛 es mayor o igual que cero. Y como estas dos cosas son mayores o iguales que cero, tanto 𝑎 𝑛 como 𝑏 𝑛 serán también mayores o iguales que cero.

Ya hemos dicho que la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 es divergente. Así que debemos tratar de comprobar la segunda parte del criterio de comparación directa. Lo que significa que debemos probar que 𝑎 𝑛 es mayor o igual que 𝑏 𝑛. Es decir, debemos probar que el logaritmo neperiano de 𝑛 sobre 𝑛 es mayor o igual que uno sobre 𝑛. Y como 𝑛 siempre es mayor o igual que uno, podemos multiplicar ambos lados por 𝑛. De esta forma obtenemos que el logaritmo neperiano de 𝑛 es mayor o igual que uno. Y tenemos que tratar de demostrar esto para todos los valores de 𝑛.

Enseguida nos damos cuenta de que este no puede ser el caso, pues el logaritmo neperiano de uno es igual a cero, que es menor que uno. No obstante, esto no significa que no podamos aplicar el criterio de comparación. Vamos a considerar los primeros valores del logaritmo neperiano de 𝑛. Tenemos que el logaritmo neperiano de dos es igual a 0.693, etcétera. Y que el logaritmo neperiano de tres es igual a 1.098, etcétera.

Así que el logaritmo neperiano de tres es mayor o igual que uno. Y como ya hemos dicho antes, sabemos que el logaritmo neperiano de 𝑛 es una función creciente. Por lo tanto, la afirmación de que el logaritmo neperiano de 𝑛 es mayor o igual que uno es cierta para los valores de 𝑛 que son mayores o iguales que tres.

Vamos a reescribir la serie que nos ha dado el problema. Podemos sacar los dos primeros términos fuera de la serie. Y tenemos que la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ del logaritmo neperiano de 𝑛 sobre 𝑛 es igual al logaritmo neperiano de uno sobre uno más el logaritmo neperiano de dos medios más la suma desde 𝑛 igual a tres hasta ∞ del logaritmo neperiano de 𝑛 sobre 𝑛. Ahora vamos a comparar esta serie con la serie 𝑝 de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a tres hasta ∞ de uno sobre 𝑛.

Tenemos los mismos valores de 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛 que antes. Y se cumple la condición de que 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛 sean mayores o iguales que cero para todos los valores de 𝑛. Tenemos que la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛 es divergente. Y que 𝑎 𝑛 es mayor o igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛. A partir de esto podemos decir que la suma desde 𝑛 igual a tres hasta ∞ del logaritmo neperiano de 𝑛 sobre 𝑛 es divergente.

Podemos relacionar esto con la suma original que se nos dio en el problema, pues es igual a dos términos constantes más la serie que acabamos de ver que es divergente. Como es igual a la suma de dos constantes y una serie divergente, hemos hallado que la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ del logaritmo neperiano de 𝑛 sobre 𝑛 es divergente.

Veamos otro ejemplo para practicar la aplicación del criterio de comparación directa.

Utiliza el criterio de comparación para determinar si la serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑛 al cubo más uno sobre 𝑛 elevado a cinco más tres es convergente o divergente.

Vamos a empezar recordando lo que dice el criterio de comparación directa. El criterio de comparación directa dice, en primer lugar, que para las series que son la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 y la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛, donde 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛 son ambos mayores o iguales que cero para todos los valores de 𝑛. Si la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛 converge, y 𝑎 𝑛 es menor o igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛, entonces la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 converge. En segundo lugar, nos dice que, si la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛 diverge, y 𝑎 𝑛 es mayor o igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛, entonces la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 también diverge.

Pero antes de aplicar el criterio de comparación directa a nuestra serie, vamos a descomponerla para así facilitarnos las cosas. Podemos decir que la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑛 al cubo más uno sobre 𝑛 elevado a cinco más tres es igual a la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑛 al cubo sobre 𝑛 elevado a cinco más tres más uno sobre 𝑛 elevado a cinco más tres. Y podemos seguir adelante y descomponer esto en dos series, tal que así.

Ahora tenemos dos series a las que podemos aplicar el criterio de comparación. Empecemos con la segunda serie. Esta es la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 elevado a cinco más tres. Y podemos comparar esta serie con una serie 𝑝. Una serie 𝑝 es una serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 elevado a 𝑝. Y una serie 𝑝 diverge si 𝑝 es menor o igual que uno y converge si 𝑝 es mayor que uno.

Enseguida nos damos cuenta de que nuestra serie es muy parecida a la 𝑝-serie en la que 𝑝 es igual a cinco. Esa es la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 a la quinta. Aplicamos el criterio de comparación a estas dos series. Como en ambas series estamos sumando desde 𝑛 igual a uno hasta ∞, 𝑛 siempre es mayor o igual que uno. Si nos fijamos en los términos 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛 de nuestras series, cuando 𝑛 es mayor o igual que uno, 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛 son ambos mayores o iguales que cero. Estupendo, ya hemos comprobado la primera condición del criterio de comparación.

Ahora tenemos que comprobar si la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 a la quinta converge o diverge. Como esta es una serie 𝑝 en la que el valor de 𝑝 es cinco, y cinco es mayor que uno, esta serie es convergente. Por lo tanto, para aplicar el criterio de comparación tenemos que comprobar la condición de la primera parte, que dice que 𝑎 𝑛 debe ser menor o igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛. Esto es, que uno sobre 𝑛 elevado a cinco más tres sea menor o igual que uno sobre 𝑛 a la quinta.

Como 𝑛 elevado a cinco más tres es mayor que 𝑛 elevado a cinco para todos los valores de 𝑛 mayores o iguales que uno, esto significa que esta condición se cumple. Muy bien, hemos probado la última condición del criterio de comparación. Y podemos decir que la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 elevado a cinco más tres converge. Consideremos ahora la otra serie. Es la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑛 al cubo sobre 𝑛 elevado a cinco más tres.

Consideremos el término 𝑎 𝑛. Eso es 𝑛 al cubo sobre 𝑛 elevado a cinco más tres. Esto debe ser menor o igual que 𝑛 al cubo sobre 𝑛 elevado a cinco, pues el denominador de la fracción de la izquierda es mayor que el denominador de la fracción de la derecha. 𝑛 al cubo sobre 𝑛 a la quinta es uno sobre 𝑛 al cuadrado. Esto quiere decir que podemos comparar la serie de la izquierda con la serie que es la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 al cuadrado. Y esta serie es una serie 𝑝 en la que 𝑝 es igual a dos. Dos es mayor que uno. Así que esta serie es convergente.

Muy bien, ya hemos probado todas las condiciones de la primera parte del criterio de comparación. Y llegamos a la conclusión de que la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑛 al cubo sobre 𝑛 elevado a cinco más tres también converge. Hemos hallado dos series convergentes. Y la suma de estas dos series convergentes también será convergente. De esta forma tenemos que la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑛 al cubo más uno sobre 𝑛 elevado a cinco más tres también es convergente.

Bien, vamos a ver ahora otra familia de series que se suelen utilizar en el criterio de comparación directa. Se denominan series geométricas. Estas series son de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 por 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno. Una serie geométrica converge si el valor absoluto de 𝑟 es menor que uno y diverge si el valor absoluto de 𝑟 es mayor o igual que uno. Veamos un ejemplo de cómo podemos usar las series geométricas en el criterio de comparación directa.

Utiliza el criterio de comparación directa para determinar si la serie que es la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 237 sobre 𝑛 más 1.1 elevado a 𝑛 es convergente o divergente.

Primero vamos a recordar lo que dice el criterio de comparación directa. Para una serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛, y una serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛, donde 𝑎𝑛 y 𝑏 𝑛 son ambos mayores o iguales que cero para todos los valores de 𝑛, el criterio de comparación directa dice. En primer lugar, que si la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛 converge, y 𝑎 𝑛 es menor o igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛, entonces la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 también converge. Y, en segundo lugar, que si la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛 diverge, y 𝑎 𝑛 es mayor o igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛, entonces la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 también diverge.

En la serie que se nos ha dado, 𝑎 𝑛 es igual a 237 sobre 𝑛 más 1.1 elevado a 𝑛. Podría parecer que debemos comparar nuestra serie con una serie 𝑝. Esta serie 𝑝 sería 237 por la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛. Para esta serie 𝑝, 𝑝 es igual a uno. Así que esta serie es divergente. De modo que nos encontraríamos en la segunda parte del criterio de comparación. Y tendríamos que demostrar que 𝑎 𝑛 es mayor o igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛. Que es lo mismo que demostrar que 237 sobre 𝑛 más 1.1 elevado a 𝑛 es mayor o igual que 237 sobre 𝑛.

La única diferencia que hay entre estas dos fracciones es el denominador, en concreto la potencia 1.1 elevado a 𝑛. Como 𝑛 siempre es mayor o igual que uno, 1.1 elevado a 𝑛 es siempre mayor que cero. Esto quiere decir que el denominador de la fracción de la izquierda es mayor que el denominador de la fracción de la derecha. Por ello, nuestra desigualdad no es cierta, así que no podemos usar esta serie 𝑝 para aplicar el criterio de comparación. Debemos probar con otra serie distinta.

Vamos a probar con una serie geométrica. Una serie geométrica es de la forma sumatoria de 𝑎 𝑟 elevado a 𝑛. Y una serie geométrica es convergente si el valor absoluto de 𝑟 es menor que uno y divergente si el valor absoluto de 𝑟 es mayor o igual que uno. Tenemos que hallar una serie geométrica con la que comparar nuestra serie. Si nos fijamos en la serie, vemos que tenemos 1.1 elevado a 𝑛 en el denominador. Así que vamos a tratar de comparar nuestra serie con la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 237 sobre 1.1 elevado a 𝑛.

Para ambas series, como 𝑛 es mayor o igual que uno, tenemos que tanto 𝑎 𝑛 como 𝑏 𝑛 son mayores o iguales que cero para todos los valores de 𝑛. Vamos a reescribir la serie geométrica para que sea más sencillo hallar su convergencia. Y es la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 237 por uno sobre 1.1 elevado a 𝑛. Aquí podemos ver que 𝑟 es igual a uno sobre 1.1. Como uno sobre 1.1 es menor que uno, sabemos que esta serie geométrica es convergente. Así que nos hallamos en la primera parte del criterio de comparación.

Lo siguiente que tenemos que hacer es demostrar que 𝑎 𝑛 es menor o igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛. Es decir, que 237 sobre 𝑛 más 1.1 elevado a 𝑛 es menor o igual que 237 sobre 1.1 elevado a 𝑛. Como 𝑛 es mayor o igual que uno, el denominador de 𝑛 más 1.1 elevado a 𝑛 es mayor que el denominador de 1.1 elevado a 𝑛. Por lo tanto, la desigualdad es cierta. Muy bien, hemos probado la condición de la primera parte del criterio de comparación directa. Y hemos llegado a nuestra conclusión, que es que la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 237 sobre 𝑛 más 1.1 elevado a 𝑛 es convergente.

Ya hemos visto una serie de ejemplos en los que hemos aprendido cómo aplicar el criterio de comparación directa para determinar el carácter de una serie, es decir, para hallar si una serie es convergente o divergente. Repasemos algunos de los puntos clave del vídeo.

Puntos clave

El criterio de comparación directa para la convergencia de las series dice, para la serie sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 y la serie sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛, donde 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛 son mayores o iguales que cero para todos los valores de 𝑛. En primer lugar, que si la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛 es convergente, y 𝑎 𝑛 es menor o igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛, entonces la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 es convergente. Y en segundo lugar, que si la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛 es divergente, y 𝑎 𝑛 es mayor o igual que 𝑏 𝑛 para todos los valores de 𝑛, la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 es divergente. Cuando aplicamos el criterio de comparación, las series que solemos emplear para hacer la comparación son las series 𝑝 y las series geométricas.

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