Vídeo: Una forma compleja pero fácil de encontrar el tesoro

En este vídeo, vamos a aprender cómo usar números complejos para encontrar el tesoro.

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Transcripción del vídeo

Hay un viejo rompecabezas de tesoros enterrados que resulta bastante fácil de resolver si entiendes de números complejos. Así que, en este vídeo, vamos a ver una forma compleja pero fácil de encontrar un tesoro. El temido pirata, Barba Verdenaranja, enterró su tesoro en una pequeña isla desierta cerca de un pino, un laurel y una lápida. Y luego dejó algunas instrucciones simples a su nieto Nigel para encontrar el lugar donde estaba enterrado el tesoro.

Empieza en la lápida y camina en línea recta hacia el laurel. Gira 90 grados a la derecha y camina la misma distancia en esa dirección. Marca ese punto. Regresa a la lápida y, desde ahí, camina directo hacia el pino. Gira 90 grados a la izquierda, y luego camina la misma distancia nuevamente y marca también el lugar.

El tesoro se encuentra en el punto medio de los dos puntos que marcaste. Desafortunadamente, antes de que Nigel llegara a la isla para recuperar el tesoro, unos profanadores de tumbas robaron la tumba y se llevaron la lápida. De manera que, ¿cómo va a encontrar Nigel su tesoro ahora que no tiene un punto de partida para trabajar? Es importante señalar que este enigma se diseñó antes de la fotografía con drones y del radar de penetración, que podrían haberle dado algunas pistas.

Y tampoco pudo conseguir ninguna maquinaria pesada para desenterrar vastas áreas. Tiene solo una pala y quiere ir directamente al tesoro y desenterrarlo. Y también vale la pena señalar que Barba Verdenaranja eligió el pino y el laurel porque eran únicos en la isla y serían fáciles de representar en un mapa sencillo. Uno es como un triángulo y el otro como un círculo.

No tuvo en cuenta el hecho de que tanto el laurel como el pino tienen forma circular cuando están proyectados en un plano. Pero no perdamos el tiempo con pequeños detalles como ese. Detén el video ahora y trata de resolver el puzle de cómo Nigel puede encontrar el tesoro de Barba Verdenaranja y luego veremos una forma mejor de hacerlo.

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Bueno, nuestra primera táctica podría ser dibujar un mapa sencillo, elegir un punto al azar para la lápida y seguir las instrucciones para ver adónde nos lleva. Bien, aquí está el pino y aquí el laurel. Simplemente coloquemos la lápida al azar aquí y luego sigamos las instrucciones. Camina en línea recta hacia el laurel. Gira 90 grados en sentido horario. Camina la misma distancia de nuevo. Y luego marca ese lugar.

Luego regresa a la lápida. Camina directamente hacia el pino. Gira 90 grados en sentido antihorario. Camina la misma distancia otra vez y luego marca ese lugar. Luego encuentra el punto medio de esos dos puntos y ahí es donde está tu tesoro. Y cuando haces esto unas cuantas veces, notas algo interesante. Quizás ya hayas probado este enfoque. Pero si no lo has hecho, entonces es posible que desees pausar el video de nuevo ahora y que lo hagas tú mismo antes de hablar sobre ello.

Vamos a hacer una segunda demostración. Esta vez ponemos la lápida aquí. Camina directamente hacia el laurel. Gira 90 grados hacia la derecha. Camina la misma distancia de nuevo. Y marca el lugar. Regresa a la lápida. Camina hacia el pino. Gira 90 grados hacia la izquierda. Camina la misma distancia de nuevo. Y marca ese lugar. Luego, marca el punto medio de esos dos puntos, y ahí es donde está escondido el tesoro. Interesante, el tesoro está en el mismo lugar.

¿Es solo una coincidencia? Porque, si no lo es, entonces no importa dónde comencemos. Siempre acabaremos en el mismo lugar si seguimos las instrucciones. Obviamente, tenemos que tener un poco de cuidado no sea que tengamos que marcar un punto en el mar, lo que sería difícil y peligroso. ¿Pero podemos encontrar una manera de probar que independientemente de dónde esté la lápida, siempre daremos con el tesoro si seguimos las instrucciones?

Bien, hay varias formas de hacer esto, pero vamos a usar una que utiliza números complejos. Tracemos primero una raya desde el pino al laurel. Luego, giremos un poco nuestra perspectiva de la isla y consideremos esta raya como el eje real de un plano complejo. Ahora podemos tomar el punto medio entre los árboles y llamarlo origen, y después dibujar el eje imaginario.

Luego, si definimos nuestra unidad de longitud como la distancia desde el origen hasta el laurel, podemos representar la ubicación del laurel como el número complejo uno más cero 𝑖 y la posición del pino como menos uno más cero 𝑖. Elijamos ahora un punto arbitrario para la lápida. Llamémoslo 𝐺. Y mientras estamos en eso, vamos a llamar el punto donde están los árboles como 𝑃 para el pino y 𝐵 para el laurel. Y representemos la posición de 𝐺 con el número complejo 𝑎 más 𝑏𝑖.

Tiene una parte real de 𝑎 veces la distancia desde el origen hasta el laurel y una parte imaginaria de 𝑏 veces la distancia desde el origen hasta el laurel. Las instrucciones para encontrar el tesoro dicen que comencemos en 𝐺 y caminemos hacia 𝐵, así que vamos a usar números complejos para representar esto en nuestro plano. Bueno, para pasar de 𝐺 a 𝐵, la parte real cambia de 𝑎 a uno. Entonces, esa parte del viaje es uno menos 𝑎, la diferencia entre uno y 𝑎. Y la parte imaginaria cambia de 𝑏𝑖 a cero 𝑖, que se puede escribir cero 𝑖 menos 𝑏𝑖 y es simplemente menos 𝑏𝑖.

Por lo tanto, el vector 𝐺𝐵 se puede escribir como uno menos 𝑎 más menos 𝑏𝑖 o incluso uno menos 𝑎 menos 𝑏𝑖. A continuación, debemos girar 90 grados a la derecha y caminar la misma distancia otra vez. Ahora bien, en el plano complejo solo necesitamos multiplicar un vector por menos 𝑖 para girarlo 90 grados en el sentido de las agujas del reloj. Así que vamos a hacer eso. Menos 𝑖 por 𝐺𝐵 es igual a menos 𝑖 por uno menos 𝑎 menos 𝑏𝑖. Y cuando multiplico por menos 𝑖, obtengo menos uno menos 𝑎𝑖 más 𝑏𝑖 al cuadrado.

Ahora recuerda, 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno. Así que el último término se convierte en menos 𝑏. Ahora, si ponemos primero la parte real y luego la parte imaginaria obtenemos menos 𝑏 menos uno menos 𝑎 𝑖. No me gustan todos estos signos negativos que flotan por aquí. Así que voy a escribir esto como menos 𝑏 más 𝑎 menos uno 𝑖. Este vector representa un movimiento en el plano complejo, en una dirección que se obtiene girando 90 grados el vector 𝐺𝐵 en el sentido de las agujas del reloj y la misma longitud que el vector 𝐺𝐵.

Necesitamos situar ese vector de modo que su inicio o punto inicial esté en el laurel. Y luego hemos de encontrar su punto final o terminal para saber dónde marcar un punto en el suelo. Llamémoslo 𝐵 prima. Ahora nuestro vector, menos 𝑏 más 𝑎 menos uno 𝑖, puede llamarse vector 𝐵𝐵 prima. Para encontrar el vector de posición de 𝐵 prima, debemos comenzar por el origen y hallar el vector que nos lleva al punto 𝐵 prima

Para hacer eso, hagamos el viaje de 𝑂 a 𝐵 y luego de 𝐵 a 𝐵 prima. Entonces el vector 𝑂𝐵 prima es igual al vector 𝑂𝐵 más el vector 𝐵𝐵 prima. Y recuerda que acabamos de hallar una expresión para el vector 𝐵𝐵 prima. El vector 𝑂𝐵 era uno más cero 𝑖 y el vector 𝐵𝐵 prima era menos 𝑏 más 𝑎 menos uno 𝑖. Luego, agrupando las partes reales, tenemos uno menos 𝑏, y las partes imaginarias son cero 𝑖 y 𝑎 menos uno 𝑖.

De modo que el vector de posición para el punto 𝐵 prima se simplifica a uno menos 𝑏 más 𝑎 menos uno 𝑖. Escribamos esto aquí. Y ahora podemos hacer un proceso similar para descubrir dónde está el punto 𝑃 prima comenzando en 𝐺, caminando en línea recta hacia 𝑃, girando 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj esta vez y luego caminando la misma distancia nuevamente en esa dirección. Así que volvamos a la lápida y caminemos en línea recta hacia un punto 𝑃.

La parte real de 𝐺𝑃 es la diferencia entre menos uno y 𝑎, que es menos uno menos 𝑎 o simplemente menos 𝑎 más uno. Y su parte imaginaria es la diferencia entre cero 𝑖 y 𝑏𝑖, que es cero 𝑖 menos 𝑏𝑖 o simplemente menos 𝑏𝑖. Así que tenemos esta expresión para el vector 𝐺𝑃: menos 𝑎 más uno más menos 𝑏𝑖 o simplemente menos 𝑎 más uno menos 𝑏𝑖. Luego, para realizar un giro de 90 grados en el sentido contrario a las agujas del reloj, solo necesitamos multiplicar esto por 𝑖, lo que nos da 𝑖 por 𝐺𝑃 que es igual a 𝑖 veces menos 𝑎 más uno menos 𝑏𝑖.

Y multiplicar por 𝑖 nos da menos 𝑎 más uno 𝑖, menos 𝑏𝑖 al cuadrado. Bueno de nuevo, 𝑖 al cuadrado es menos uno. Así que tenemos menos, menos 𝑏, que es más 𝑏. Luego, cambiando el orden para poner la parte real primero tenemos que 𝑖 veces 𝐺𝑃 es 𝑏 menos 𝑎 más uno, 𝑖. Y al igual que con el vector 𝐵𝐵 prima, esto representa la dirección y el módulo del vector 𝑃𝑃 prima. Y cuando dibujamos eso en nuestro diagrama, esto atraviesa nuestro trabajo. Pero nos dice que 𝑃 prima está aquí abajo.

Y al igual que antes, para calcular el vector de posición de 𝑃 prima voy de 𝑂 a 𝑃 y luego de 𝑃 a 𝑃 prima. Así que el vector de posición de 𝑃 prima es igual al vector de posición del pino más el vector 𝑃𝑃 prima. Y eso es menos uno más cero 𝑖, la posición del pino, más 𝑏 menos 𝑎 más uno 𝑖. Tomando las partes reales, tenemos menos uno más 𝑏 y las partes imaginarias cero más menos 𝑎 más uno 𝑖. Así que en lugar de escribir menos uno más 𝑏, escribiré esto como 𝑏 menos uno.

Así que este es el vector de posición de 𝑃 prima. Y vamos a escribir esto aquí. Ahora solo necesitamos hallar el punto medio entre 𝐵 prima y 𝑃 prima para encontrar el tesoro. Y para hacer eso, solo necesitamos encontrar la media de estos dos vectores de posición. Hay que sumarlos y dividirlos por dos. Y eso simplemente significa que tenemos que simplificar esto: uno menos 𝑏 más 𝑎 menos uno 𝑖 más 𝑏 menos uno menos 𝑎 más uno 𝑖, todo dividido por dos. Entonces, pensando primero en las partes reales, solo tenemos uno menos 𝑏 más 𝑏 menos uno. Bueno, uno menos uno es cero y menos 𝑏 más 𝑏 es cero también. Así que esto se simplifica a cero.

Y haciendo las partes imaginarias en segundo lugar, tenemos a menos uno y menos 𝑎 más uno, y 𝑎 menos 𝑎 es cero. Pero esta vez tenemos menos uno menos uno, que es menos dos. Por lo tanto, esto se puede simplificar a cero en la parte real más menos dos entre dos. Y, por supuesto, menos dos entre dos se simplifica a menos uno. Es decir, esto es cero más menos 𝑖, que por supuesto es cero menos 𝑖 o ​​simplemente menos 𝑖. Así que, en nuestro mapa, el tesoro está en cero menos 𝑖.

Y eso es una unidad de longitud en la dirección negativa del eje imaginario, lo que significa que esta distancia aquí es la misma que esta distancia aquí. Pero lo que es más importante, es que es completamente independiente tanto de 𝑎 como de 𝑏. No importa donde comencemos nuestro pequeño paseo. Siempre terminaremos en cero menos 𝑖. Por lo tanto, después de un poco de análisis matemático del problema, podemos describir una forma nueva y más fácil de encontrar tesoro. El tesoro se encuentra en la mediatriz del segmento que va de un árbol al otro, a una distancia del punto medio que es igual a la mitad de la distancia entre los árboles y de modo que el laurel queda a la derecha y el pino a la izquierda cuando se miran desde el tesoro. ¡Feliz caza del tesoro!

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