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Vídeo de la lección: Suma y resta de expresiones radicales Matemáticas • Décimo grado

Las expresiones que contienen raíces, como la raíz cuadrada de 5, se llaman radicales o expresiones radicales. Vamos a ver cómo simplificar expresiones radicales combinando para ello radicales semejantes o extrayendo factores cuadrados de radicales para así obtener radicales semejantes.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a ver algunas expresiones de suma o resta de términos radicales. Vamos a ver expresiones en las que estos términos se pueden agrupar como términos semejantes de modo que las expresiones se pueden simplificar. Los términos radicales que no se simplifican pueden combinarse o reducirse en expresiones algebraicas de la misma manera que reducimos términos variables como tres 𝑥 y cinco 𝑥, o dos 𝑦 y siete 𝑦, etc.

Vamos a empezar con un ejemplo sencillo: simplifica la raíz cuadrada de siete más la raíz cuadrada de siete.

Imaginemos que 𝑥 es igual a la raíz de siete. Podríamos expresar la raíz de siete más la raíz de siete de una manera diferente. Como 𝑥 más 𝑥. Si vemos 𝑥 más 𝑥, muy fácilmente agrupamos esos términos semejantes. Sumamos una 𝑥 a la otra 𝑥 y obtenemos dos 𝑥. Y, como acabamos de decir, aquí que 𝑥 es igual a la raíz cuadrada de siete, dos 𝑥 significa dos por la raíz cuadrada de siete, lo cual escribimos así, dos raíz de siete.

Es importante recordar que un dos grande delante de esto significa que el dos está multiplicando la raíz cuadrada de siete. Y debes tener cuidado de no confundir eso con esta expresión, que es con un dos pequeño en el signo de raíz cuadrada, que significa raíz cuadrada de siete.

Aquí tenemos otro ejemplo.

Simplifica raíz cúbica de tres más dos raíz cúbica de tres más tres raíz cúbica de tres.

Y ese primer término, la raíz cúbica de tres, significa que tenemos una raíz. Por lo que podemos decir que es uno por la raíz cúbica de tres. Tenemos una raíz cúbica de tres. Tenemos dos más raíces cúbicas de tres. Y luego, además de esto, tenemos tres más de estas raíces cúbicas de tres. En total, una más dos son tres, más tres son seis. Tenemos seis de ellas, seis multiplicado por la raíz cúbica de tres. Y esa es nuestra respuesta.

El siguiente ejercicio es simplificar raíz cuadrada de ocho más tres raíz cuadrada de dos menos cuatro raíz cuadrada de dos.

Los dos términos últimos de aquí son claramente radicales semejantes. Tenemos tres raíz cuadrada de dos y luego restamos cuatro raíz cuadrada de dos. Si tenemos tres de ellas y quitamos cuatro, nos quedamos con menos una de ellas o simplemente escribimos menos raíz de dos. Esto se convierte en raíz de ocho menos raíz de dos. Pero ¡espera!, ocho tiene un factor cuadrado. Cuatro es un número cuadrado y es un factor de ocho, por lo que la raíz de ocho se puede escribir como raíz cuadrada de cuatro por dos. Y eso se puede escribir como la raíz cuadrada de cuatro por la raíz cuadrada de dos.

La raíz cuadrada de cuatro es dos. La raíz cuadrada de cuatro por la raíz cuadrada de dos es dos por la raíz de dos, o como lo escribimos normalmente, simplemente dos raíz de dos. Raíz de ocho menos raíz de dos se puede reescribir como dos raíz de dos menos uno raíz de dos. Y dos raíz de dos menos uno raíz de dos es simplemente uno raíz de dos. Aunque, obviamente, no nos molestamos en escribir el uno que está delante, por lo que es simplemente raíz cuadrada de dos.

Ahora, tenemos una expresión un poco más complicada que incluye la raíz de 11 y también algunos números enteros que no están multiplicados por radicales. Aquí, seis y menos tres son números enteros. Y cuatro raíz de 11 y dos raíz de 11 son radicales semejantes porque ambos incluyen la raíz cuadrada de 11. Son radicales. Hemos agrupado los términos semejantes y ahora podemos reducirlos. Seis menos tres es tres. Y cuatro raíz de 11 más dos raíz de 11 es seis raíz de 11. Y esa es nuestra respuesta.

Aquí tenemos otro ejemplo, esta vez con paréntesis.

Simplifica dos más seis raíz de cinco más nueve más ocho raíz de cinco.

Aquí, los paréntesis no están realmente teniendo ningún efecto. Nos están diciendo que hagamos los cálculos en un orden particular, pero todas las operaciones son adiciones. Y debido a la asociatividad de la suma, no habrá diferencia si las hacemos en un orden diferente. Por lo tanto, vamos a quitar los paréntesis y vamos a agrupar los términos semejantes. Dos y nueve son números enteros, y por lo tanto racionales, y seis raíz de cinco y ocho raíz de cinco son términos radicales.

Una vez que hemos juntado los términos semejantes, podemos reducirlos. Y dos más nueve son 11. Y seis raíz de cinco más ocho raíz de cinco son 14 raíz cinco. Hemos hallado la versión simplificada de nuestra expresión original.

Veamos nuestro último ejemplo.

Simplifica raíz de siete menos dos menos cinco menos tres raíz de siete.

Aquí, los paréntesis son importantes. El primer par de paréntesis no está realmente teniendo ningún efecto porque raíz de siete menos dos ya está simplificado completamente, por lo que no podemos simplificarlo más. Pero el segundo par de paréntesis es muy importante. Podemos eliminar el primer par de paréntesis. Pero ese signo negativo delante del segundo par de paréntesis significa que estamos restando cinco y restando también menos tres raíz de siete. Esto se hace así. Si restamos menos tres raíz de siete, eso es lo mismo que sumar tres raíz siete.

Ahora estamos en una situación en la que podemos identificar los términos semejantes. Estos son los radicales, los que tienen raíz de siete, por un lado, y los que no la tienen, por otro. Y estos últimos son simplemente números racionales. Tenemos una raíz de siete más tres raíz de siete, lo que nos da cuatro raíz de siete. Y tenemos menos dos del cual se restan cinco, lo que nos da menos siete. Así que esa es la versión simplificada de nuestra expresión original.

Para resumir lo que hemos hecho, diremos que podemos tratar los radicales como si fueran términos algebraicos. Por ejemplo, si tenemos tres raíz de siete más cinco raíz de siete, hacemos 𝑥 igual a raíz de siete. Y podemos pensar en eso como tres por 𝑥 más cinco por 𝑥. Sabemos que tres de ellas más cinco de ellas son ocho. Y, al sustituir 𝑥 por nuestra raíz de siete de nuevo, obtenemos ocho raíz de siete.

Debemos andarnos con mucho ojo los paréntesis. Como hemos visto, a veces no tienen ningún efecto y podemos simplemente quitarlos. Pero otras veces, tienen un gran efecto, y hay que tener mucho cuidado. Y hay que también estar muy atento a los signos.

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