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Vídeo de la lección: Ecuaciones de un solo paso: suma y resta Matemáticas • Sexto grado

En este video, vamos a aprender cómo escribir y resolver ecuaciones de suma y resta de un solo paso que aparecen en preguntas y problemas.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo escribir y resolver ecuaciones de suma y resta de un solo paso, prestando particular atención a la propiedad de igualdad de la suma y de la resta. Antes de empezar a escribir y resolver ecuaciones, recordemos lo que sabemos sobre las ecuaciones.

Una igualdad matemática es un enunciado que dice que algo es igual a otra cosa. Por ejemplo, podemos decir que cinco es igual a cinco. Pero si ahora ponemos este bloque de más tres en el lado izquierdo de esta ecuación, la balanza no estará equilibrada. Tendremos ocho a la izquierda y solo cinco a la derecha. Pero si ponemos otro bloque de más tres a la derecha, la balanza estará equilibrada ya que ambos lados serán iguales a ocho. Esto nos muestra la propiedad de igualdad de la suma. La cual nos dice que, si sumamos el mismo valor a ambos lados de una igualdad, los lados se mantienen iguales. Esto también aplica a la resta. Volviendo a nuestro cinco igual a cinco, si restamos tres de ambos lados de la ecuación, nos quedamos con dos en cada lado y la ecuación estará equilibrada. Por tanto, podemos decir que, si restamos el mismo valor de ambos lados de la ecuación, los lados serán iguales.

Consideremos otra propiedad: la propiedad inversa de la suma. Esta nos dice que cualquier número sumado a su opuesto es igual a cero. El opuesto de menos tres es más tres. Esto significa que, si sumamos tres a ambos lados de la ecuación, en el lado derecho tendremos cinco más cero, que es igual a cinco. Y lo mismo ocurrirá en el derecho. Cinco más cero es igual a cinco. Estas tres propiedades son las herramientas que necesitamos para resolver ecuaciones de un paso.

Entonces, ¿qué es una ecuación y qué significa resolver una ecuación? Una ecuación es una igualdad como esta, 𝑥 más tres igual a cinco, en la que hay un valor desconocido representado por una variable, a menudo la letra 𝑥. Resolver una ecuación significa hallar el valor de la variable que hace que la igualdad sea verdadera. Si nos preguntamos qué más tres es igual a cinco, sabemos que dos más tres es igual a cinco. Por tanto, decimos que 𝑥 es igual a dos. En este caso decimos que dos es la solución de la ecuación. La solución es el valor de la letra que hace el enunciado cierto. Y eso significa que en una pregunta se nos puede pedir resolver la ecuación. O podrían preguntar, ¿cuál es la solución de la ecuación?

Veamos un ejemplo.

Sabiendo que cinco más 𝑛 es igual a menos cinco, halla el valor de 𝑛.

Tenemos la ecuación cinco 𝑛 igual a menos cinco. Esto nos dice que cuando sumamos un valor a cinco, el resultado es menos cinco. Para hallar 𝑛, tenemos que pensar en la propiedad inversa de la suma. La propiedad inversa dice que cualquier número sumado a su opuesto será igual a cero. Ya que cinco y 𝑛 se están sumando, si restamos cinco, cinco menos cinco será igual a cero. Pero también conocemos la propiedad de igualdad de la resta, la cual nos dice que, si restamos cinco de un lado de la ecuación, también tenemos que restar cinco del otro lado para mantener la ecuación en equilibrio. Como cinco menos cinco es cero, en el lado izquierdo del signo igual solo tenemos la variable 𝑛, o sea, la hemos despejado. Y en el lado derecho, tenemos menos cinco menos cinco, que es igual a menos 10. Y así, hemos hallado que 𝑛 es igual a menos 10.

Si comenzamos con cinco y sumamos menos 10 a ese cinco, obtenemos menos cinco. Este es un método vertical para resolver el problema. Esto es cuando escribimos la operación entre las líneas que muestran la ecuación. Otra forma de hacerlo es utilizar un método horizontal. Comenzamos con cinco más 𝑛 es igual a menos cinco. Pero después, en la siguiente línea, sumamos los menos cinco a ambos lados de nuestra ecuación original. De modo que cinco menos cinco más 𝑛 es igual a menos cinco menos cinco. Ambos métodos muestran que 𝑛 es igual a menos 10.

Aquí tenemos otro ejemplo.

Resuelve para 𝑥: 𝑥 más 4.8 es igual a menos 8.9.

Esta ecuación dice que, si sumamos 4.8 a un valor, obtenemos menos 8.9. Cuando vemos la palabra «resuelve», quiere decir que queremos saber qué valor de 𝑥 hace nuestra igualdad verdadera. Si en la ecuación hay 4.8 sumado, para resolverla necesitamos hacer lo contrario de sumar 4.8. La propiedad inversa dice que cualquier número sumado a su opuesto es igual a cero. Pero también sabemos, basándonos en la propiedad de igualdad de la resta, que si restamos 4.8 del lado izquierdo de la ecuación, debemos restar 4.8 del lado derecho de la ecuación para que los lados se mantengan iguales. En el lado izquierdo tenemos 𝑥 más cero. Podemos escribir esto simplemente como 𝑥. Y después, tenemos menos 8.9 menos 4.8, que es igual a menos 13.7. Si hemos calculado esto correctamente, podemos sustituir 13.7 para 𝑥. Y obtendremos una afirmación cierta.

Necesitamos tener que menos 13.7 más 4.8 es igual a menos 8.9. Para sumar 4.8 a menos 13.7, restamos el menor del mayor, lo que nos da 8.9, y tomamos el signo del valor más grande. En este caso es el de menos 13.7. Así que la respuesta final será también un número negativo. Menos 13.7 más 4.8 es igual a menos 8.9, y, por tanto, el valor de 𝑥 es menos 13.7.

En nuestro siguiente ejemplo, primero tenemos que escribir la ecuación y después resolverla.

Guillermo está jugando un juego de mesa. Se mueve 10 lugares desde el inicio. En su siguiente turno, retrocede seis lugares. ¿A cuántos lugares del inicio está ahora?

Guillermo comienza en el inicio y avanza 10 lugares. En su siguiente turno, retrocede seis lugares. Queremos saber a cuántos lugares del inicio se encuentra. Para este valor desconocido, podemos usar la variable 𝑥. ¿Qué clase de ecuación podemos escribir para representar esta situación? Podemos escribirla de diferentes maneras. Primero, Guillermo avanzó 10 lugares. Así que podemos empezar con más 10. Y después, retrocedió seis lugares. Podemos representar esto matemáticamente con menos seis. Si tomamos más 10 y restamos seis, obtenemos 𝑥, la cantidad de lugares de distancia a los que está del inicio. 10 menos seis es igual a cuatro. Esto significa que el valor de 𝑥 es cuatro.

Actualmente, la forma en la que la igualdad está escrita es cuatro igual a 𝑥. Pero podemos reorganizarla de una manera más natural: 𝑥 es igual a cuatro. 10 menos seis igual a 𝑥 es solo una forma de modelar esta situación con una ecuación. Pero podemos decir también que 𝑥 —el número de lugares que Guillermo está alejado del inicio— más los seis lugares que retrocedió deben ser igual a los 10 lugares que avanzó. Si 𝑥 más seis es igual a 10, podemos resolver el problema restando seis a ambos lados de la ecuación. 𝑥 más seis menos seis es igual a 𝑥 más cero, que es 𝑥, y 10 menos seis es igual a cuatro. Ambos métodos muestran que Guillermo está a cuatro lugares del inicio.

Aquí tenemos otro ejemplo.

En 2016, Misisipi y Georgia tenían un total de 21 votos electorales. Sabiendo que Misisipi tenía seis votos, resuelve la ecuación seis más 𝑔 igual a 21 para hallar el número de votos, 𝑔, que Georgia tenía.

Aquí, en realidad se nos ha dado una ecuación: seis más 𝑔 igual a 21. Y nuestro objetivo es hallar 𝑔. Pero en esta ecuación, para hallar 𝑔 debemos despejar 𝑔, es decir, debemos aislar la variable en un lado. Queremos despejar, pues, esta letra 𝑔. Para hacer eso, vamos a necesitar la propiedad inversa de la suma, que nos dice que cualquier valor sumado a su opuesto es igual a cero. Para despejar 𝑔, tenemos que deshacernos del seis. Y podemos hacer esto restando seis. Seis menos seis es igual a cero. Pero también sabemos que para mantener iguales ambos lados de esta ecuación, si restamos seis de un lado, debemos restar seis del otro lado. En el lado izquierdo obtenemos cero más 𝑔. Y podemos escribir esto simplemente como 𝑔. Y en el lado derecho, 21 menos seis es igual a 15. Y así, hallamos que 𝑔 es igual a 15. Vale la pena verificar para asegurarnos de que esto es cierto. ¿Es seis más 15 igual a 21? Sí lo es. Esto nos dice que 𝑔 vale 15. Por tanto, Georgia tenía 15 votos y Misisipi tenía seis votos.

Veamos un último ejemplo.

Un buzo comenzó su ascenso a la superficie. Ascendió 20 metros hasta su siguiente parada de descompresión y debe ascender otros 32 metros para regresar a la superficie. Escribe y resuelve una ecuación de resta para hallar la profundidad original del buzo antes de comenzar su ascenso.

El buzo comenzó a una profundidad que desconocemos. Podemos llamar esta profundidad 𝑥. Sabemos que el buzo ascendió 20 metros y que todavía necesita ascender 32 metros más antes de alcanzar la superficie. Queremos escribir y resolver una ecuación de resta para hallar 𝑥, la profundidad inicial del buzo. Si comenzamos con 𝑥, el buzo está a 𝑥 metros de profundidad y asciende 20 metros. Matemáticamente, podemos representar esto con una resta porque está a menor profundidad de antes. Puesto que ha ascendido, la profundidad es menor. Es su profundidad original menos los 20 metros que subió. Y 𝑥 menos el ascenso de 20 metros será igual a los 32 metros restantes, lo que significa que la ecuación es 𝑥 menos 20 igual a 32.

Para resolver esta ecuación, sumamos 20 a ambos lados. 32 más 20 es igual a 52. Así que, podemos decir que la profundidad inicial del buzo era de 52 metros. Hemos escrito una ecuación para un problema de resta. Y hemos hallado que la profundidad que faltaba para obtener la profundidad del buzo antes de que comenzara a ascender era de 52 metros.

Repasemos ahora los puntos clave que son necesarios para resolver ecuaciones de suma y resta de un solo paso. Resolver ecuaciones es hallar el valor o valores de la variable que hacen la igualdad verdadera. Dichos valores se llaman soluciones. Para resolver ecuaciones, usamos la propiedad de igualdad de la suma y de la resta, la cual dice que, si sumamos o restamos un valor de un lado de la ecuación, debemos hacer lo mismo en el otro lado. Y, por último, sabemos que la propiedad inversa de la suma nos dice que si sumamos el valor opuesto a un valor, el resultado es cero. Usando estos puntos clave, puedes escribir y resolver ecuaciones de suma y resta de un solo paso.

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