Video Transcript
En este video vamos a explorar la derivación de un número de identidades
trigonométricas usando la fórmula de Euler. Existe la posibilidad de que ya hayas trabajado con algunas de estas
identidades anteriormente pero que no sepas de donde vienen. Así que en esta lección, vamos a ver cómo la fórmula de Euler está
relacionada con las identidades del ángulo doble, las de adición de
ángulos y las identidades de productos a sumas.
Vamos a comenzar recordando la fórmula de Euler, a veces llamada relación
de Euler. Esta establece que para un número real 𝜃, 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 es igual a
cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃. Aquí, 𝑖 es la unidad imaginaria definida como la solución de la ecuación
𝑥 al cuadrado igual a menos uno y 𝜃 es la medida en radianes del
ángulo. Como podemos ver, la fórmula proporciona una conexión poderosa entre el
análisis complejo y la trigonometría. Y resulta en muchas aplicaciones en física, ingeniería y mecánica
cuántica. En nuestro primer ejemplo, vamos a ver cómo derivar una identidad muy
utilizada aprovechando las propiedades de la función exponencial y
la fórmula de Euler.
1) Usa la fórmula de Euler para expresar 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃 en
términos de seno y coseno. 2) Dado que 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 por 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃 es igual a uno,
¿qué identidad trigonométrica es posible derivar expresando las
exponenciales en términos de funciones trigonométricas?
Para la primera parte, comenzamos reescribiendo 𝑒 elevado a menos
𝑖𝜃. Es lo mismo que 𝑒 elevado a 𝑖 por menos 𝜃. Ahora podemos aplicar la fórmula de Euler. Como la fórmula de Euler dice que 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 es igual a cos 𝜃 más
𝑖 sen 𝜃, podemos ver que 𝑒 elevado a 𝑖 menos 𝜃 es igual a cos
de menos 𝜃 más 𝑖 sen de menos 𝜃. Después, recordamos las propiedades de las funciones coseno y seno. cos es una función par. Por tanto cos de menos 𝜃 es igual a cos de 𝜃. Sin embargo, sen es una función impar. Así que, sen de menos 𝜃 es lo mismo que menos sen de 𝜃. Por eso podemos reescribir nuestra expresión. Y vemos que 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃 es lo mismo que cos 𝜃 menos 𝑖 sen
𝜃.
Pasemos ahora a la segunda parte de esta pregunta. Vamos a usar la respuesta que obtuvimos de la primera parte. Cuando lo hacemos, podemos ver que 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 por 𝑒 elevado a
menos 𝑖𝜃 es lo mismo que cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃 por cos 𝜃 menos 𝑖
sen 𝜃. Desarrollemos estos paréntesis, quizás notando que esta es la expresión
factorizada de la diferencia de dos cuadrados. cos 𝜃 por cos 𝜃 es cos al cuadrado 𝜃. cos 𝜃 por menos 𝑖 sen 𝜃 es menos 𝑖 cos 𝜃 sen 𝜃. Obtenemos más 𝑖 sen 𝜃 cos 𝜃 y 𝑖 sen 𝜃 por menos 𝑖 sen 𝜃 es menos
𝑖 al cuadrado sen al cuadrado 𝜃. Vemos entonces que menos 𝑖 cos 𝜃 sen 𝜃 más 𝑖 cos 𝜃 sen 𝜃 es
cero. Y, por supuesto, sabemos que 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno.
Podemos simplificar esto. Y vemos que 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 por 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃 es cos al
cuadrado 𝜃 más sen al cuadrado 𝜃. Nos han dicho que 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 por 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃 es igual
a uno. Puedes ver que hemos derivado la fórmula sen al cuadrado 𝜃 más cos al
cuadrado 𝜃 igual a uno. Esta es, pues, una derivación bastante concisa de la identidad
trigonométrica sen al cuadrado 𝜃 más cos al cuadrado 𝜃 igual a
uno.
Podemos aplicar un procedimiento similar para ayudarnos a derivar las
fórmulas del ángulo doble. Veamos un ejemplo.
Utiliza la fórmula de Euler para derivar una fórmula para cos dos 𝜃 y
sen dos 𝜃 en términos de sen 𝜃 y cos 𝜃.
De hecho, existen dos métodos que podemos usar para derivar la fórmula
para cos dos 𝜃 y sen dos 𝜃. El primero es considerar esta expresión; 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 más 𝜙. Sabemos que esto debe ser igual a 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 por 𝑒 elevado a
𝑖𝜙. Y ahora aplicamos la fórmula de Euler a ambos lados de la ecuación. En el lado izquierdo, podemos ver que 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 más 𝜙 es igual a
cos 𝜃 más 𝜙 más 𝑖 sen de 𝜃 más 𝜙. Y en el derecho, tenemos cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃 por cos 𝜙 más 𝑖 sen
𝜙. Vamos a desarrollar los paréntesis en el lado derecho. Y haciendo esto, obtenemos la expresión que se muestra. Recuerda que 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno. Simplificamos y obtenemos cos 𝜃 cos 𝜙 menos sen 𝜃 sen 𝜙 más 𝑖 cos 𝜃
sen 𝜙 más 𝑖 cos 𝜙 sen 𝜃.
Nuestro siguiente paso es igualar las partes reales y las partes
imaginarias de la ecuación. En el lado izquierdo, la parte real es cos 𝜃 más 𝜙 y en el derecho cos
𝜃 cos 𝜙 menos sen 𝜃 sen 𝜙. Y vemos que cos 𝜃 más 𝜙 es igual a cos 𝜃 cos 𝜙 menos sen 𝜃 sen
𝜙. Seguidamente igualamos las partes imaginarias. En el lado izquierdo tenemos sen 𝜃 más 𝜙. Y en el derecho tenemos cos 𝜃 sen 𝜙 más cos 𝜙 sen 𝜃. Y podemos ver que sen 𝜃 más 𝜙 es igual a cos 𝜃 sen 𝜙 más cos 𝜙 sen
𝜃.
Estas dos fórmulas son muy útiles por sí mismas. Pero también podemos reemplazar 𝜙 por 𝜃 y obtener las fórmulas del
ángulo doble. En la primera, obtenemos cos dos 𝜃 igual a cos al cuadrado 𝜃 menos sen
al cuadrado 𝜃. Y con nuestra segunda identidad, obtenemos sen dos 𝜃 igual a dos cos 𝜃
sen 𝜃. Y hay un enfoque alternativo que podríamos haber usado. Pues podríamos haber obtenido directamente las fórmulas de ángulo doble
eligiendo la expresión 𝑒 elevado a dos 𝑖𝜃 y luego escribiéndola
como 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 al cuadrado. De este modo, cuando aplicamos la fórmula de Euler, en el lado izquierdo
obtenemos cos dos 𝜃 más 𝑖 sen dos 𝜃. Y en el lado derecho, obtenemos cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃 todo al
cuadrado.
Seguidamente desarrollamos estos paréntesis, y el lado derecho se
convierte en cos al cuadrado 𝜃 más dos 𝑖 cos 𝜃 sen 𝜃 más 𝑖 al
cuadrado sen al cuadrado 𝜃. Y, por supuesto, 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno. Así que podemos reescribir el lado derecho como cos al cuadrado 𝜃 menos
sen al cuadrado 𝜃 más dos 𝑖 cos 𝜃 sen 𝜃. Esta vez al igualar las partes reales, vemos que cos dos 𝜃 es igual a
cos al cuadrado 𝜃 menos sen al cuadrado 𝜃. Y cuando igualamos las partes imaginarias, vemos que sen dos 𝜃 es igual
a dos cos 𝜃 sen 𝜃.
Probablemente pienses que no hay una gran diferencia entre estos dos
métodos. Este último es un poco más conciso. Sin embargo, el primero tiene la ventaja de derivar esas identidades
adicionales para coseno y seno. También es útil saber que podemos incorporar el teorema del binomio para
derivar identidades trigonométricas de ángulos múltiples en términos
del seno y del coseno.
El teorema del binomio dice que para valores enteros de 𝑛, podemos
escribir 𝑎 más 𝑏 elevado a 𝑛 como 𝑎 elevado a 𝑛 más número
combinatorio 𝑛 sobre uno por 𝑎 elevado a 𝑛 menos uno por 𝑏. Y esta secuencia continúa con potencias descendientes de 𝑎 y
ascendientes de 𝑏 hasta 𝑏 elevado a 𝑛. En nuestro siguiente ejemplo vamos a usar el teorema del binomio para
ayudarnos a expresar funciones trigonométricas de ángulos múltiples
en términos de potencias de funciones trigonométricas.
1) Usa la fórmula de Euler para derivar una identidad para cos de cuatro
𝜃 en términos de cos 𝜃. 2) Usa la fórmula de Euler para derivar una identidad para sen de cuatro
𝜃 en términos de cos 𝜃 y sen 𝜃.
Para la primera parte, vamos a usar las propiedades de la función
exponencial. Y para ello escribimos 𝑒 elevado a cuatro 𝑖𝜃 como 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 a
la cuarta. Y habiendo hecho esto, podemos usar la fórmula de Euler. Escribimos el lado izquierdo como cos cuatro 𝜃 más 𝑖 sen cuatro 𝜃. Y en el lado derecho, podemos decir que esto es igual a cos 𝜃 más 𝑖 sen
𝜃 todo elevado a la cuarta. Ahora vamos a aplicar el teorema del binomio para determinar cos 𝜃 más
𝑖 sen 𝜃 a la cuarta.
En nuestra ecuación, 𝑎 es igual a cos de 𝜃, 𝑏 es igual a 𝑖 sen de 𝜃,
y 𝑛 es el exponente; que vale cuatro. Y esto significa que podemos decir que cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃 elevado a la
cuarta es lo mismo que cos 𝜃 elevado a la cuarta más número
combinatorio cuatro sobre uno por cos al cubo de 𝜃 por 𝑖 sen 𝜃,
etcétera. Sabemos que el número combinatorio cuatro sobre uno es cuatro, el número
combinatorio cuatro sobre dos es seis, y el número combinatorio
cuatro sobre tres es cuatro. También sabemos que 𝑖 al cuadrado es menos uno, 𝑖 al cubo es menos 𝑖,
e 𝑖 a la cuarta es uno. Y podemos simplificar un poco más nuestra ecuación, como se muestra.
Vamos a igualar las partes reales de esta ecuación. Y esto nos va a dar la fórmula para cos de cuatro 𝜃 en términos de cos
𝜃 y sen 𝜃. Hagamos algo de espacio aquí. La parte real en el lado izquierdo es cos cuatro 𝜃. Y en el lado derecho, tenemos cos 𝜃 a la cuarta. Tenemos menos cos al cuadrado 𝜃 sen al cuadrado 𝜃. Y tenemos sen 𝜃 a la cuarta. Así que los igualamos. Pero aún no hemos terminado. Nos piden derivar una fórmula para cos cuatro 𝜃 únicamente en términos
de cos 𝜃.
Así que aquí escribimos la identidad cos al cuadrado 𝜃 más sen al
cuadrado 𝜃 igual a uno. Reordenamos esto. Y deducimos que sen al cuadrado 𝜃 debe ser igual a uno menos cos al
cuadrado 𝜃. Y podemos reescribirlo cos 𝜃 a la cuarta menos seis cos al cuadrado 𝜃
por uno menos cos al cuadrado 𝜃 más uno menos cos al cuadrado 𝜃 al
cuadrado. Desarrollamos los paréntesis. Nuestro último paso es agrupar términos semejantes. Y vemos que hemos derivado la fórmula para cos de cuatro 𝜃 en términos
de cos 𝜃. cos cuatro 𝜃 es igual a ocho cos 𝜃 elevado a la cuarta menos ocho cos
al cuadrado 𝜃 más uno.
Para la segunda parte, repetimos este proceso igualando las partes
imaginarias. Estas son sen de cuatro 𝜃 en el lado izquierdo. Y en el derecho, tenemos cuatro cos al cubo 𝜃 sen 𝜃, menos cuatro cos
𝜃 sen al cubo 𝜃. Y vemos que cuatro 𝜃 debe ser igual a cuatro cos al cubo 𝜃 sen 𝜃 menos
cuatro cos 𝜃 sen al cubo 𝜃. Y si queremos, podemos factorizar cuatro cos 𝜃 sen 𝜃. Y nos queda cuatro cos 𝜃 sen 𝜃 por cos al cuadrado 𝜃 menos sen al
cuadrado 𝜃. Y, por último, nos han pedido derivar una fórmula para sen cuatro 𝜃 en
términos de cos 𝜃 y sen 𝜃. Seguramente ahora puedes ver la relación entre sen cuatro 𝜃 y la fórmula
del ángulo doble.
Otra aplicación interesante de la fórmula de Euler es que podemos usarla
para derivar expresiones para sen 𝜃 y cos 𝜃 en términos de 𝑒
elevado a 𝑖𝜃. Ya hemos visto que podemos escribir 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃 como cos 𝜃
menos 𝑖 sen 𝜃. Y ya que 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 es igual a cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃, podemos decir
que la suma de 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 y 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃 es cos 𝜃
más 𝑖 sen 𝜃 más cos 𝜃 menos 𝑖 sen 𝜃. Bien, esta expresión en el lado derecho se simplifica a dos cos 𝜃. Y podemos despejar cos 𝜃 dividiendo por dos. Y vemos que tenemos una expresión para cos 𝜃 en términos de las
potencias de 𝑒 elevado a 𝑖𝜃. Es un medio 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 más 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃.
De forma similar, podemos hallar la diferencia. Y obtenemos cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃 menos cos 𝜃 menos 𝑖 sen 𝜃. Esto se simplifica a dos 𝑖 sen 𝜃. Esta vez dividimos por dos 𝑖. Y podemos ver que sen 𝜃 es igual a uno sobre dos 𝑖 por 𝑒 elevado a
𝑖𝜃 menos 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃. Estas dos fórmulas tienen muchos usos. Pero para los fines de este video, veremos un ejemplo final. Vamos a ver cómo se pueden usar para derivar identidades trigonométricas
adicionales.
Usa la fórmula de Euler para expresar sen al cubo 𝜃 cos al cuadrado 𝜃
en la forma 𝑎 sen 𝜃 más 𝑏 sen tres 𝜃 más 𝑐 sen cinco 𝜃, donde
𝑎, 𝑏 y 𝑐 son constantes. Seguidamente, halla las soluciones de sen cinco 𝜃 menos sen tres 𝜃
igual a cero en el intervalo 𝜃 mayor o igual que cero y menor que
𝜋. Expresa la respuesta en su forma exacta.
Vamos a comenzar recordando el hecho de que sen 𝜃 es igual a uno sobre
dos 𝑖 por 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 menos 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃. Y cos 𝜃 es igual a un medio por 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 más 𝑒 elevado a menos
𝑖𝜃. Esto significa que podemos hallar el producto de sen al cubo 𝜃 y cos al
cuadrado 𝜃. Podemos escribirlo como uno sobre dos 𝑖 por 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 menos 𝑒
elevado a menos 𝑖𝜃 al cubo por un medio por 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 más
𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃 al cuadrado. Uno sobre dos 𝑖 al cubo es menos uno sobre ocho 𝑖. Y un medio al cuadrado es un cuarto. Por tanto, podemos reescribir nuestra expresión. Hallamos el producto de menos uno sobre ocho 𝑖 y un cuarto. Y obtenemos menos uno sobre 32𝑖. Y podemos reescribir el resto de nuestra expresión como se muestra.
Ahora vamos a usar el teorema del binomio para desarrollar cada uno de
los conjuntos de paréntesis. La primera parte se convierte en 𝑒 elevado a tres 𝑖𝜃 más número
combinatorio tres sobre uno por 𝑒 elevado a dos 𝑖𝜃 por menos 𝑒
elevado a menos 𝑖𝜃 etcétera. Y esto se simplifica a 𝑒 elevado a tres 𝑖𝜃 menos tres 𝑒 elevado a
𝑖𝜃 más tres 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃 menos 𝑒 elevado a menos tres
𝑖𝜃. Repitamos este proceso para 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 más 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃
al cuadrado. Cuando lo hacemos, obtenemos 𝑒 elevado a dos 𝑖𝜃 más dos 𝑒 elevado a
cero, que es solo dos, más 𝑒 elevado a menos dos 𝑖𝜃.
Vamos a tener que hallar los productos de estas expresiones. Tendremos que hacer esto con mucho cuidado. Y asegurarnos de que cada término en la primera expresión se multiplique
por cada término en la segunda expresión. Podemos escribir sen al cubo 𝜃 cos al cuadrado 𝜃 como se muestra. Estamos manejando mucha información aquí. Por lo tanto, es posible que quieras pausar el video y comparar tu
respuesta con la mía. Vamos a juntamos las potencias correspondientes de 𝑒.
Juntamos 𝑒 elevado a cinco 𝑖𝜃 y 𝑒 elevado a menos cinco 𝑖𝜃. Juntamos 𝑒 elevado a más y menos tres 𝑖𝜃. Y reuniremos 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 y 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃. Vamos a arreglar las cosas un poco. Terminamos con menos uno sobre 32𝑖 por 𝑒 elevado a cinco 𝑖𝜃 menos 𝑒
elevado a menos cinco 𝑖𝜃 menos 𝑒 elevado a tres 𝑖𝜃 menos 𝑒
elevado a menos tres 𝑖𝜃 menos dos por 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃
menos 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃. Y, es posible que entiendas por qué decidimos hacer esto. Ahora podemos volver a las fórmulas dadas. Vamos a dejar algo de espacio para el siguiente paso.
Hacemos lo opuesto a factorización. Y podemos reescribir sen al cubo 𝜃 cos al cuadrado 𝜃 como se
muestra. Por lo tanto, podemos reemplazar 𝑒 por 𝑖𝜃 más 𝑒 por menos 𝑖𝜃 con
sen 𝜃 y así sucesivamente. Y podemos ver que sen al cubo 𝜃 cos al cuadrado 𝜃 es igual a uno sobre
16 por dos sen 𝜃 más sen tres 𝜃 menos sen cinco 𝜃. Como 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son constantes, podemos decir que 𝑎, el coeficiente de
sen 𝜃, es un octavo. 𝑏, el coeficiente de sen tres 𝜃, es un dieciseisavo. Y 𝑐, el coeficiente sen cinco 𝜃, es menos un dieciseisavo.
Pasemos ahora a la segunda parte de esta pregunta. Comenzamos usando la respuesta de la primera parte y multiplicando ambos
lados por 16. Después restamos dos sen 𝜃 de ambos lados y multiplicamos por menos
uno. Y ahora podemos ver que tenemos una ecuación con sen cinco 𝜃 menos sen
tres 𝜃. Se nos dice que sen cinco 𝜃 menos sen tres 𝜃 es igual a cero. Y esto hace que dos sen 𝜃 menos 16 sen al cubo 𝜃 cos al cuadrado 𝜃 sea
igual a cero. Y ahora extraemos el factor dos sen 𝜃. Como el producto de estos dos términos es igual a cero, esto significa
que uno de estos términos debe ser igual a cero. Entonces, o bien dos sen 𝜃 es igual a cero y, dividiendo por dos, sen 𝜃
es igual a cero; o bien uno menos ocho sen al cuadrado 𝜃 cos
cuadrado 𝜃 es igual a cero. Dado que el intervalo de 𝜃 es mayor o igual que cero y menor que 𝜋,
podemos ver que una de nuestras soluciones es 𝜃 igual a cero.
Vamos a reorganizar un poco nuestras otras ecuaciones. Sabemos que sen dos 𝜃 es igual a dos sen 𝜃 cos 𝜃. Elevándolo al cuadrado, obtenemos sen al cuadrado dos 𝜃 igual a cuatro
sen al cuadrado 𝜃 cos al cuadrado 𝜃. Y eso a su vez significa que nuestra ecuación es uno menos dos sen al
cuadrado dos 𝜃 igual a cero. Al reordenar para hacer de sen dos 𝜃 el sujeto, vemos que sen dos 𝜃 es
igual a más o menos uno sobre raíz de dos. Comenzando con la raíz cuadrada positiva para 𝜃 en el intervalo dado,
sabemos que sen dos 𝜃 es igual a uno sobre la raíz dos cuando 𝜃 es
igual a 𝜋 sobre ocho o tres 𝜋 sobre ocho. Del mismo modo, podemos resolver la raíz cuadrada negativa. Y obtenemos cinco 𝜋 sobre ocho y siete 𝜋 sobre ocho. Y, por lo tanto, hay cinco soluciones para la ecuación sen cinco 𝜃 menos
sen tres 𝜃 igual a cero en el intervalo 𝜃 mayor o igual que cero y
menor que 𝜋. Son 𝜋 sobre ocho, tres 𝜋 sobre ocho, cinco 𝜋 sobre ocho y siete 𝜋
sobre ocho.
En este video, hemos visto que podemos usar la fórmula de Euler junto con
las propiedades de las funciones exponenciales. Y podemos derivar muchas identidades trigonométricas como la identidad
pitagórica y las identidades de ángulos múltiples. También hemos visto que podemos usar la fórmula para expresar el seno y
el coseno en términos de la función exponencial compleja. Y que podemos usar las identidades derivadas de la fórmula de Euler para
ayudarnos a simplificar expresiones. Y que esto a su vez puede ayudarnos a resolver ecuaciones
trigonométricas.
