Lesson Video: Sumas parciales de series

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En este video, vamos a aprender cómo hallar la suma parcial 𝑛-ésima de una serie y cómo determinar la convergencia o divergencia de una serie analizando el límite de sus sumas parciales. Trabajaremos principalmente con series llamadas telescópicas, pero también vamos a ver series geométricas y vamos a analizar cómo podemos determinar la convergencia o divergencia de estas series.

Una serie no es una lista de los términos de una sucesión sino la suma de los términos de esa sucesión. Si una serie tiene un número finito de términos, es bastante fácil sumar todos esos términos y evaluar la serie. Pero cuando hay una cantidad infinita de términos, es menos sencillo. De hecho, la serie puede tener o no tener una suma finita. Por ejemplo, la serie uno más dos más tres más cuatro, etcétera, pasando por 𝑛 no tiene una suma finita. En cambio, la serie dada por un medio más un cuarto más un octavo más un dieciseisavo, etcétera, sí tiene una suma finita porque el 𝑛-ésimo término de esta serie se vuelve mucho más pequeño cada vez, y tiende a cero muy rápidamente cuando 𝑛 tiende a ∞.

Una serie infinita es la suma de los términos 𝑎 uno, 𝑎 dos, 𝑎 tres 𝑎 𝑛, y así sucesivamente. Y la denotamos abreviadamente como la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 sub 𝑛. Pero no siempre tiene sentido pensar en la suma de infinitos términos. Por eso, se usan las llamadas sumas parciales. Una suma parcial de una serie infinita es la suma de un número finito de términos consecutivos de la serie comenzando por el primero. Puede ser útil examinar el comportamiento de las sumas parciales de series infinitas.

Más precisamente, decimos que, para una serie definida como sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 sub 𝑛, 𝑆 sub 𝑛 es la suma parcial 𝑛-ésima. Y está definida como la sumatoria desde 𝑖 igual a uno hasta 𝑛 de 𝑎 sub 𝑖. Esto nos lleva a la definición de convergencia de una serie. Si el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de la suma parcial 𝑛-ésima es un número real 𝑆, entonces decimos que la serie sumatoria de 𝑎 𝑛 es convergente. Y decimos, además, que este número real 𝑆 es la suma de la serie. Y, por supuesto, si esto no se cumple, entonces decimos que la serie es divergente. A veces, las sumas parciales pueden ser expresadas de forma simplificada. Otras veces, tendremos que identificar regularidades o recurrir a teoremas sofisticados para demostrar la convergencia de una serie determinada. Veamos un ejemplo.

Halla la suma parcial de la serie sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑒 elevado a uno sobre 𝑛 menos 𝑒 elevado a uno sobre 𝑛 más uno. ¿Es la serie convergente o divergente?

Recuerda que la suma parcial de nuestra serie es la suma de los primeros 𝑛 términos. En general, la suma parcial 𝑛-ésima de la serie sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 sub 𝑛, es sumatoria desde 𝑖 igual a uno hasta 𝑛 de 𝑎 sub 𝑖. Eso es 𝑎 sub uno más 𝑎 sub dos más 𝑎 sub tres… hasta 𝑎 sub 𝑛. Generalmente denotamos esto como 𝑆 sub 𝑛. Hallemos la suma parcial 𝑛-ésima de nuestra serie.

Sabemos que esto es 𝑎 sub uno más 𝑎 sub dos más 𝑎 sub tres… hasta 𝑎 sub 𝑛. Pero aquí, 𝑎 sub 𝑛 es 𝑒 elevado a uno sobre 𝑛 menos 𝑒 elevado a uno sobre 𝑛 más uno. 𝑎 sub uno se halla reemplazando 𝑛 con el número uno. Obtenemos 𝑒 elevado a uno sobre uno menos 𝑒 elevado a uno sobre uno, que es simplemente 𝑒 menos 𝑒 elevado a un medio. Después, 𝑎 sub dos es 𝑒 elevado a un medio menos 𝑒 elevado a uno sobre dos más uno, o 𝑒 elevado a un tercio.

De la misma forma podemos obtener los términos siguientes como se muestra. Es decir, 𝑆 sub 𝑛, la suma parcial 𝑛-ésima, está dada por 𝑒 menos 𝑒 elevado a un medio. Eso es 𝑎 sub uno. Más 𝑒 elevado a un medio menos 𝑒 elevado a un tercio. Eso es 𝑎 sub dos. Más 𝑒 elevado a un tercio menos 𝑒 a un cuarto. Esto fue 𝑎 sub tres. Y continuamos sumando términos hasta que llegamos a 𝑎 sub 𝑛, que es 𝑒 elevado a uno sobre 𝑛 menos 𝑒 elevado a uno sobre 𝑛 más uno.

Si nos fijamos bien en nuestra suma parcial 𝑛-ésima, notamos que muchos de los términos se cancelan. Tenemos menos 𝑒 elevado a un medio más 𝑒 elevado a un medio. Y eso es cero. Después tenemos 𝑒 elevado a un tercio más 𝑒 elevado a un tercio, que también es cero. Continuamos así y llegamos a 𝑎 sub 𝑛 menos uno. Y cuando lo hacemos, vemos que este proceso se repite hasta llegar a menos 𝑒 elevado a uno sobre 𝑛 más 𝑒 elevado a uno sobre 𝑛. Esto significa que todo lo que queda de nuestra suma 𝑛-ésima serie es 𝑒 menos 𝑒 elevado a uno sobre 𝑛 más uno. Y así, la suma parcial para nuestra serie es 𝑒 menos 𝑒 elevado a uno sobre 𝑛 más uno.

La siguiente parte de esta pregunta nos pide hallar si la serie es convergente o divergente. Recuerda que si el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de la suma parcial 𝑛-ésima es igual a un número real 𝑆, la serie sumatoria de 𝑎 𝑛 es convergente. Evaluemos el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑆 sub 𝑛.

En ese caso, ese es el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑒 menos 𝑒 elevado a uno sobre 𝑛 más uno. En realidad, 𝑒 es completamente independiente de 𝑛. Y debemos notar que a medida que 𝑛 se hace más grande, uno sobre 𝑛 más uno se hace más pequeño. Cuando 𝑛 tiende a ∞, uno sobre 𝑛 más uno tiende a cero. El límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de la suma parcial 𝑛-ésima es, por lo tanto, 𝑒 menos 𝑒 elevado a cero. Pero, por supuesto, 𝑒 elevado a cero — de hecho, cualquier cosa elevada a cero — es igual a uno. Nuestro límite es, pues, igual a 𝑒 menos uno. Esto es, por supuesto, un número real. Y así, podemos decir que nuestra serie es convergente.

Ahora, fíjate en cómo la suma parcial de nuestra serie finalmente tuvo solo unos pocos términos después de las cancelaciones. Esto está muy relacionado con el método de las diferencias. Y por ello la serie es llamada serie telescópica. Esta es una serie cuyas sumas parciales solo tienen un número fijo de términos después de cancelar. Echemos ahora un vistazo a otra serie de esta forma.

Halla la suma parcial de la serie sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre dos 𝑛 más uno por dos 𝑛 menos uno. ¿Es la serie convergente o divergente?

Puede que no sea inmediatamente obvio cómo vamos a hallar la suma parcial 𝑛-ésima de esta serie, pero 𝑎 sub 𝑛 aquí es una fracción. Vamos a manipular la fórmula del término 𝑛-ésimo de nuestra sucesión para escribirla en forma de fracciones parciales. Recuerda que esta es una forma de expresar la fracción como una suma de dos o más funciones racionales menos complicadas.

En este caso, escribimos uno sobre dos 𝑛 más uno por dos 𝑛 menos uno como 𝐴 sobre dos 𝑛 más uno más 𝐵 sobre dos 𝑛 menos uno. Queremos que la expresión del lado derecho sea igual a la expresión del lado izquierdo. Así que creamos un común denominador. Y hacemos esto multiplicando el numerador y el denominador de nuestra primera fracción por dos 𝑛 menos uno, y los de nuestra segunda fracción por dos 𝑛 más uno. Una vez hecho esto, podemos simplemente sumar los numeradores. Y así, en el lado derecho, obtenemos 𝐴 por dos 𝑛 menos uno más 𝐵 por dos 𝑛 más uno todo sobre dos 𝑛 más uno por dos 𝑛 menos uno.

Los denominadores en el lado izquierdo y derecho de nuestra ecuación son iguales. Esto significa que, para que estas dos fracciones seas iguales, los numeradores deben ser iguales también. Es decir, que uno es igual a 𝐴 por dos 𝑛 menos uno más 𝐵 por dos 𝑛 más uno. Así que necesitamos calcular los valores de 𝐴 y 𝐵. Tenemos un par de formas en las que podemos hacer esto. Podemos desarrollar los paréntesis e igualar los coeficientes de los lados izquierdo y derecho de nuestra ecuación. Alternativamente, podemos sustituir, uno después de otro, los ceros de dos 𝑛 más uno por dos 𝑛 menos uno en la ecuación. Esto es, hagamos 𝑛 igual a un medio, veamos qué pasa, y luego hagamos 𝑛 igual a menos un medio y veamos qué pasa.

Igualando 𝑛 a un medio, obtenemos uno igual a 𝐴 por uno menos uno más 𝐵 por uno más uno. Pero, por supuesto, 𝐴 por uno menos uno es 𝐴 por cero, que es cero. Y ese, por supuesto, el propósito de sustituir estos ceros: esto nos deja con una ecuación en términos de una de nuestras incógnitas solamente. En este caso, esto se simplifica a uno igual a dos 𝐵. Y dividiendo por dos, hallamos que 𝐵 es igual a un medio.

Repitamos este proceso para 𝑛 igual a menos un medio. Nuestra ecuación se convierte en uno igual a 𝐴 por menos uno menos uno más 𝐵 por uno más uno. 𝐵 por menos uno más uno es 𝐵 por cero, que es cero. Y esta vez obtenemos una ecuación en términos de 𝐴. Esto se simplifica a uno igual a menos dos 𝐴. Y si dividimos por menos dos, hallamos que 𝐴 es igual a menos un medio. Reemplazamos 𝐴 con menos un medio y 𝐵 con un medio. Y vemos que nuestro término 𝑛-ésimo, uno sobre dos 𝑛 más uno por dos 𝑛 menos uno, puede ser escrito como menos un medio sobre dos 𝑛 más uno más un medio sobre dos 𝑛 menos uno.

Hagamos algo de espacio y simplifiquemos esto un poco. Podemos escribir un medio sobre dos 𝑛 menos uno como uno sobre dos por dos 𝑛 menos uno. Del mismo modo, podemos escribir menos un medio sobre dos 𝑛 más uno como menos uno sobre dos por dos 𝑛 más uno. Para hallar la suma parcial 𝑛-ésima, vamos a escribir los primeros términos de nuestra serie. 𝑎 sub uno se encuentra reemplazando 𝑛 por uno. Este es el primer término de nuestra serie. Obtenemos uno sobre dos por dos menos uno menos uno sobre dos por dos más uno. Esto se simplifica a un medio menos un sexto.

𝑎 sub dos es hallado reemplazando 𝑛 por dos. Y obtenemos uno sobre dos por cuatro menos uno menos uno sobre dos por cuatro más uno. Eso es un sexto menos un décimo. De igual modo, hallamos que 𝑎 sub tres es igual a un décimo menos un catorceavo, 𝑎 sub cuatro es igual a un catorceavo menos un dieciochoavo, y así sucesivamente. De modo que la suma parcial 𝑛-ésima es la suma de todo esto hasta 𝑎 sub 𝑛. Esto es un medio menos un sexto más un sexto menos un décimo más un décimo menos un catorceavo menos un dieciochoavo, y así hasta llegar a uno sobre dos por dos 𝑛 menos uno menos uno sobre dos por 𝑛 más uno.

Mira lo que sucede ahora. Menos un sexto más un sexto es cero. Menos un décimo más un décimo es cero. Menos un catorceavo más un catorceavo es cero. Y hacemos lo mismo hasta uno sobre dos por dos 𝑛 menos uno. Y así, solo nos quedan dos términos en nuestra suma parcial 𝑛-ésima. Son un medio y menos uno sobre dos por dos 𝑛 más uno. Casi hemos terminado. Pero vamos a sumar estas fracciones creando, una vez más un denominador común.

Esta vez, lo logramos simplemente multiplicando el numerador y el denominador de nuestra primera fracción por dos 𝑛 más uno. Y esto nos da dos 𝑛 más uno menos uno sobre dos por dos 𝑛 más uno. Y uno menos uno es cero. Por tanto, vemos que estos dos términos se cancelan. Y tenemos nuestra expresión para la suma parcial 𝑛-ésima de nuestra serie. Es 𝑛 sobre dos 𝑛 más uno.

La segunda parte de esta pregunta nos pide determinar si la serie es convergente o divergente. Recordamos que, si el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑆 sub 𝑛 existe y es un número real 𝑆, entonces la serie sumatoria de 𝑎 𝑛 es convergente. En nuestro caso, 𝑆 sub 𝑛 es 𝑛 sobre dos 𝑛 más uno. Así que necesitamos hallar el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑛 sobre dos 𝑛 más uno. No podemos usar sustitución directa porque si sustituyéramos 𝑛 igual a ∞, obtendríamos ∞ sobre ∞, que sabemos que no está definido.

Sin embargo, lo que podemos hacer es manipular un poco la fracción. Dividimos tanto el numerador como el denominador por la potencia más alta de 𝑛 en nuestro denominador. En este caso, dividimos por 𝑛. En el numerador, obtenemos 𝑛 sobre 𝑛, que es igual a uno. Y en el denominador, la primera parte es dos 𝑛 sobre 𝑛, que es dos. Y luego, sumamos uno sobre 𝑛.

Ahora solo tenemos un término que incluye 𝑛. Es uno sobre 𝑛. A medida que 𝑛 aumenta, uno sobre 𝑛 disminuye, acercándose a cero. Y hallamos que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑆 sub 𝑛 de nuestra suma parcial 𝑛-ésima se simplifica a uno sobre dos más cero, que es un medio. Ya que existe y es un número real, podemos decir que nuestra serie es convergente.

Hasta aquí, hemos visto series telescópicas, pero hay un puñado de series cuyas sumas parciales se pueden calcular utilizando fórmulas. Unas de las principales son las series geométricas. Está fuera del alcance de este video demostrar los siguientes resultados, pero podemos citarlos.

En una serie geométrica, cada término se obtiene del anterior multiplicándolo por la razón 𝑟. Y sabemos que la suma parcial 𝑛-ésima de una serie geométrica está dada por 𝑆 sub 𝑛 igual a 𝑎 por uno menos 𝑟 elevado a 𝑛 sobre uno menos 𝑟. Sabemos además que la serie es convergente si el valor absoluto de 𝑟 es menor que uno y, en ese caso, su suma está dada por 𝑎 sobre uno menos 𝑟. También sabemos que, si el valor absoluto de la razón común 𝑟 es mayor o igual que uno, la serie es divergente. Veamos un ejemplo de este tipo de series.

Halla la suma parcial de la serie sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de dos por un medio a la 𝑛 menos uno. ¿La serie es convergente o divergente?

Podríamos comenzar escribiendo los primeros términos de esta serie. La suma parcial 𝑛-ésima es la suma de los primeros 𝑛 términos. Entonces, es 𝑎 uno más 𝑎 dos más 𝑎 tres más 𝑎 cuatro… hasta 𝑎 sub 𝑛, donde 𝑎 sub 𝑛 es dos por un medio a la 𝑛 menos uno. Y esto significa que 𝑎 sub uno se halla reemplazando 𝑛 por uno. Tenemos dos por un medio elevado a uno menos uno, que es dos por un medio elevado a cero, o sea, dos.

El segundo término, 𝑎 sub dos, es dos por un medio elevado a dos menos uno, que es dos por un medio elevado a uno, o sea, dos por un medio. El tercer término es dos por un medio elevado a tres menos uno, que es dos por un medio al cuadrado. Y continuamos este proceso hasta el término dos por un medio a la 𝑛 menos uno.

A primera vista, podría parecer que esta es una suma parcial realmente complicada. Pero, de hecho, este es un tipo especial de serie. Se trata de una serie geométrica. Cada término se obtiene del anterior multiplicándolo por la razón 𝑟. Existe una fórmula que podemos usar para hallar la suma parcial de una serie geométrica. 𝑎 por uno menos 𝑟 a la 𝑛 sobre uno menos 𝑟. Si podemos determinar 𝑎 y 𝑟 en nuestra serie, podremos hallar con bastante facilidad la suma parcial 𝑛-ésima.

Sabemos que el primer término de nuestra serie es dos por un medio elevado a cero. Un medio elevado a cero es uno. Eso es dos por uno. Y podemos, por lo tanto, decir que 𝑎 es igual a dos. Y, por lo tanto, podemos ver que 𝑟 es igual a un medio. Cada vez, nuestro término es multiplicado por un medio. Y así, sustituyendo estos valores de 𝑎 y 𝑟 en la fórmula de la suma parcial 𝑛-ésima, obtenemos dos por uno menos un medio a la 𝑛 sobre uno menos un medio.

De hecho, el denominador de esta fracción, uno menos un medio, se convierte en un medio. Y, por supuesto, dividir por un medio es lo mismo que multiplicar por dos. Así que podemos multiplicar el numerador de nuestra expresión por dos. Y hemos obtenido la suma parcial 𝑛-ésima. Es cuatro veces uno menos un medio a la 𝑛.

La segunda parte de esta pregunta nos pide determinar si esta serie es convergente o divergente. Bueno, de hecho, podríamos encontrar el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑆 sub 𝑛. Alternativamente, podemos hacer uso de un resultado general. El cual dice que una serie geométrica con una razón 𝑟 es convergente si el valor absoluto de 𝑟 es menor que uno. Y es divergente si el valor absoluto de 𝑟 es mayor o igual que uno.

Aquí, 𝑟 es igual a un medio. Y el valor absoluto de un medio es un medio, que es menor que uno. Así que, en este caso, sabemos que esta serie es convergente. De hecho, podemos ir un poco más allá y decir que, dado que esta serie es convergente, su suma está dada por 𝑎 sobre uno menos 𝑟. En este caso, es dos sobre uno menos un medio, que es igual a cuatro.

En este video, hemos aprendido que una suma parcial de una serie infinita es una suma de un número finito de términos consecutivos de la serie comenzando por el primero. Dada una serie sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 sub 𝑛, la suma parcial 𝑛-ésima se denota como 𝑆 sub 𝑛. Y viene dada por 𝑎 uno más 𝑎 dos más 𝑎 tres… hasta 𝑎 sub 𝑛. Además, si el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑆 sub 𝑛 es igual a un número real 𝑆, la serie es llamada convergente. Y este número 𝑆 es llamado la suma de la serie. Y si esto no ocurre, la serie es llamada divergente.

Hemos trabajado principalmente con series telescópicas. Y estas son un tipo de series cuyas sumas parciales pueden ser expresadas como un número fijo de términos después de la cancelación. Y este proceso de cancelación está muy relacionado con el método de las diferencias. Finalmente, hemos hablado de las series geométricas. En una serie geométrica, cada término se obtiene del anterior multiplicándolo por la razón 𝑟.

La suma parcial de una serie geométrica está dada por 𝑎 por uno menos 𝑟 elevado a 𝑛 sobre uno menos 𝑟. También vimos que nuestras series geométricas son convergentes si el valor absoluto de 𝑟 es menor que uno. Y si el valor absoluto de 𝑟 es mayor o igual que uno, la serie geométrica es divergente.