Vídeo: Calcular la distancia entre dos rectas paralelas

¿Cuál es la distancia entre 𝑥 − 6𝑦 + 11 = 0 y 𝑥 − 6𝑦 + 22 = 0?

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Transcripción del vídeo

¿Cuál es la distancia entre las rectas paralelas 𝑥 menos seis 𝑦 más 11 igual a cero y 𝑥 menos seis 𝑦 más 22 igual a cero?

En primer lugar, tenemos que aclarar qué se entiende por distancia entre rectas paralelas. Por supuesto, hay muchas distancias diferentes entre dos rectas, dependiendo de los puntos que se elijan para unirlas. Por ello, cuando nos referimos a la distancia entre rectas paralelas, queremos decir la distancia más corta entre ellas, que es la distancia perpendicular.

Veamos cómo podemos hacer esto. Conocemos la fórmula para la distancia perpendicular desde un punto 𝑥 uno, 𝑦 uno a una recta con ecuación 𝑎𝑥 más 𝑏𝑦 más 𝑐 igual a cero. La distancia es igual al módulo de 𝑎𝑥 uno más 𝑏𝑦 uno más 𝑐, todo dividido por la raíz cuadrada de 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado.

Podemos aplicar esta fórmula para calcular la distancia entre rectas paralelas si hallamos las coordenadas de un punto en una de las rectas. Hagamos esto con la primera recta, 𝑥 menos seis 𝑦 más 11 igual a cero.

Para simplificar, encontremos las coordenadas del punto donde esta recta corta el eje 𝑦, es decir, su coordenada 𝑦 en el origen. Sumando seis 𝑦 a ambos lados de esta ecuación da seis 𝑦 es igual a 𝑥 más 11. Dividiendo ambos lados de la ecuación entre seis da 𝑦 es igual a 𝑥 sobre seis más 11 sobre seis.

Ahora, si comparamos esto con la forma explícita de la ecuación de una línea recta, vemos que la coordenada 𝑦 en el origen de esta recta es 11 sobre seis. Además, como este es un punto en el eje 𝑦, su coordenada 𝑥 será cero. Por lo tanto, las coordenadas de este punto son cero, 11 sobre seis. Y ahora podemos usar las coordenadas de este punto junto con la ecuación de la segunda recta para calcular la distancia entre ellos.

Fijémonos otra vez en la fórmula de la distancia. El punto con coordenadas 𝑥 uno, 𝑦 uno es ahora el punto con coordenadas cero, 11 sobre seis. Comparando la forma general de la ecuación de una línea recta con la ecuación de la segunda recta, podemos ver que 𝑎 es igual a uno, 𝑏 es igual a menos seis, y 𝑐 es igual a 22.

Sustituyamos ahora los valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 uno e 𝑦 uno en la fórmula de la distancia. Tenemos que 𝑑 es igual al módulo o valor absoluto de uno multiplicado por cero más menos seis multiplicado por 11 sobre seis más 22, todo dividido por la raíz cuadrada de uno al cuadrado más menos seis al cuadrado.

Ahora, calculando cada una de estas partes y simplificando obtenemos módulo de 11 sobre raíz cuadrada de 37. Recuerda que el módulo de un número es lo mismo que su valor absoluto. Como 11 ya es un número positivo, el módulo de 11 también es 11. Hemos hallado, pues, que la distancia entre estas dos rectas es 11 sobre la raíz de 37.

Ahora bien, esta fracción tiene un radical en el denominador. Así que tenemos que racionalizarlo. Para hacerlo, multiplicamos por raíz de 37 sobre raíz de 37. Haciendo esto, obtenemos 11 raíz de 37 en el numerador. Y en el denominador, raíz de 37 multiplicado por raíz de 37, que es 37. Por lo tanto, la distancia entre las dos rectas paralelas, 𝑥 menos seis 𝑦 más 11 igual a cero, y 𝑥 menos seis 𝑦 más 22 igual a cero, es 11 raíz de 37 sobre 37.

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