Transcripción del vídeo
En este video, vamos a aprender cómo determinar si una serie es absolutamente convergente, condicionalmente convergente, o divergente.
Sabemos que una serie se denomina convergente si sus sumas parciales tienden a un límite específico. Pero ¿cuándo se dice que una serie es absolutamente convergente? Decimos que una serie es absolutamente convergente si la serie formada por los valores absolutos es convergente. Ocurre, por supuesto, que, si 𝑎 𝑛 es una serie de términos no negativos, el valor absoluto de 𝑎 𝑛 es igual a 𝑎 𝑛. Así que, en este caso, convergencia absoluta es lo mismo que convergencia.
Veamos primero un ejemplo donde debemos comprobar si una serie es absolutamente convergente.
¿Es la serie sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno a la 𝑛 más uno sobre 𝑛 al cuadrado absolutamente convergente?
Recordemos que, para probar la convergencia absoluta, debemos verificar si la serie de los valores absolutos es convergente, en otras palabras, si la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ del valor absoluto de menos uno a la 𝑛 más uno sobre 𝑛 al cuadrado es o no convergente. En primer lugar, menos uno elevado a 𝑛 más uno siempre será uno o menos uno, dependiendo de si el exponente es par o impar. Así que, si tomamos el valor absoluto de menos uno a la 𝑛 más uno, este siempre será uno. Sabemos que 𝑛 va desde uno hasta ∞. Por tanto, 𝑛 al cuadrado siempre será positivo. Así que, podemos reescribir esto como uno sobre 𝑛 al cuadrado.
Queremos determinar si esta serie converge o diverge. Pero enseguida nos damos cuenta de que la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 al cuadrado es una serie que conocemos bien. Es una serie 𝑃. Así que, podemos utilizar el resultado conocido de que una serie 𝑃 converge si 𝑃 es mayor que uno y diverge si 𝑃 es menor o igual a uno. Para nuestra cuestión, vemos que esta es una serie 𝑃 con 𝑃 igual a dos. Como esto es mayor que uno, podemos decir que la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 al cuadrado es convergente. Y como hemos hallado que la serie de valores absolutos es convergente, la serie es absolutamente convergente.
Algo muy interesante aquí es que, si encontramos una serie que no es absolutamente convergente, aún puede ser convergente. Y llamamos a esto convergencia condicional. Decimos que una serie es condicionalmente convergente si la serie es convergente pero no es absolutamente convergente. En otras palabras, la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ del valor absoluto de 𝑎 𝑛 diverge. Pero la sumatoria desde 𝑛 igual a uno de ∞ de 𝑎 𝑛 converge. Y si una serie no es absolutamente convergente y tampoco es condicionalmente convergente, entonces es divergente.
Veamos un ejemplo de convergencia condicional.
¿Es la serie armónica alternada —la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno a la 𝑛 más uno multiplicado por uno sobre 𝑛 — absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente?
Recordemos en primer lugar que una serie es absolutamente convergente si la serie de valores absolutos es convergente. Y una serie es condicionalmente convergente si la serie de valores absolutos diverge, pero la serie converge. Y, si no pasa ni una cosa ni la otra, la serie es divergente. Comencemos probando la convergencia absoluta. Podemos ver que menos uno a la 𝑛 más uno siempre es uno cuando tomamos el valor absoluto. De hecho, es lo mismo que la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛. Pero esta es realmente una serie con la que estamos familiarizados. Es la serie armónica. Y sabemos que la serie armónica diverge. Por lo tanto, la serie armónica alternada no es absolutamente convergente. Pero ¿es condicionalmente convergente, o es divergente?
Nuestro próximo paso es probar la convergencia de la serie armónica alternada. Puesto que esta es una serie alternada, podemos hacer esto usando el criterio de convergencia de Leibniz. Recordemos que este criterio dice que, para una serie alternada —que suele escribirse como sumatoria de menos uno a la 𝑛 más uno multiplicado por 𝑏 𝑛—, si ocurre que 𝑏 𝑛 es decreciente y que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑏 𝑛 es igual a cero, entonces 𝑎 𝑛 es convergente. Y para la serie armónica alternada, podemos decir que 𝑏 𝑛 es igual a uno sobre 𝑛. ¿Es 𝑏 𝑛 decreciente? Sí, pues, a medida que 𝑛 aumenta, uno sobre 𝑛 disminuye. Así que esa condición se cumple. Y ¿es el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑏 𝑛 igual a cero? El límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de uno sobre 𝑛 será uno sobre ∞, que sabemos que es cero. Así que esa condición se cumple también. Así que hemos hallado que la serie armónica alternada no es absolutamente convergente, pero sí es convergente, y podemos concluir que la serie armónica alternada es condicionalmente convergente.
Podemos resumir la verificación de convergencia absoluta, convergencia condicional y divergencia usando un diagrama. Supongamos que queremos averiguar si la serie 𝑎 𝑛 es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente. Comenzamos probando si la serie de valores absolutos es convergente o divergente. Supongamos que la serie de valores absolutos es convergente. En ese caso, diremos que la serie 𝑎 𝑛 es absolutamente convergente. Pero si hallamos que la serie de valores absolutos es divergente, la serie 𝑎 𝑛 no es absolutamente convergente. Pero aún puede ser condicionalmente convergente. Para esto, hacemos uso de una prueba diferente en la serie 𝑎 𝑛 para verificar la convergencia, por ejemplo, el criterio de Leibniz.
Y, si encontramos que la serie 𝑎 𝑛 converge, decimos que la serie 𝑎 𝑛 es condicionalmente convergente. Pero si encontramos que la serie 𝑎 𝑛 diverge, concluimos que la serie 𝑎 𝑛 es divergente. Estas son las tres posibles conclusiones que podemos sacar.
Así que ahora veamos algunos ejemplos más.
Considera la serie sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de sen de 𝑛 sobre 𝑛 al cubo. Determina si la serie es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.
Recordemos que una serie 𝑎 𝑛 es absolutamente convergente si la serie de valores absolutos es convergente. Y si hallamos que la serie no es absolutamente convergente, aún puede ser condicionalmente convergente. Tenemos que probar la serie para convergencia o divergencia. Comencemos probando la convergencia absoluta de esta serie. Queremos saber si la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ del valor absoluto de sen de 𝑛 sobre 𝑛 al cubo es convergente o divergente.
Como 𝑛 solo atraviesa valores positivos desde uno hasta ∞, 𝑛 al cubo siempre será positivo. Esto es, pues, simplemente la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ del valor absoluto de sen de 𝑛 sobre 𝑛 al cubo. Sabemos que sen de 𝑛 siempre estará entre menos uno y uno. Así que podemos decir que el valor absoluto de sen de 𝑛 siempre será menor o igual a uno, lo que significa que podemos escribir que el valor absoluto de sen de 𝑛 sobre 𝑛 al cubo es menor o igual que uno sobre 𝑛 al cubo. Escribirlo de esta manera nos permite hacer una comparación directa. Recordemos que esto significa que si 𝑎 𝑛 es menor que 𝑏 𝑛 y la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛 converge, la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑎 𝑛 también converge.
Y uno sobre 𝑛 al cubo es una serie que conocemos bien. Sabemos que una serie 𝑃 es una serie de la forma sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 a la 𝑃. Y esto converge si 𝑃 es mayor que uno y diverge si 𝑃 es menor o igual a uno. Así que uno sobre 𝑛 al cubo es una serie 𝑃 con 𝑃 igual a tres. De modo que uno sobre 𝑛 al cubo converge. Por tanto, por comparación directa, el valor absoluto de sen de 𝑛 sobre 𝑛 al cubo también converge. Y como hemos hallado que la serie de valores absolutos es convergente, nuestra serie, sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de sen de 𝑛 sobre 𝑛 al cubo, es absolutamente convergente.
Indica si la serie sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno a la 𝑛 más uno multiplicado por dos sobre la raíz cuadrada de 𝑛 más uno converge absolutamente, converge condicionalmente, o no converge.
En primer lugar, recordemos que una serie 𝑎 𝑛 se dice que es absolutamente convergente si la serie de sus valores absolutos converge. Y es condicionalmente convergente si la serie de los valores absolutos diverge. Pero la serie en sí converge. En primer lugar, veamos si esta serie es absolutamente convergente o no. Esto significa probar si la serie sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ del valor absoluto de menos uno a la 𝑛 más uno multiplicado por dos sobre la raíz cuadrada de 𝑛 más uno es convergente o divergente.
Menos uno a la 𝑛 más uno siempre será uno o menos uno. Pero si sacamos el valor absoluto, siempre será uno. Mientras que dos sobre la raíz cuadrada de 𝑛 más uno siempre será positivo ya que 𝑛 toma solo valores positivos. Por consiguiente, podemos escribir esto como la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de dos sobre la raíz cuadrada de 𝑛 más uno. Luego podemos usar la regla del factor constante para sacar el dos fuera del sumatorio. Haciendo uso de esto, debemos determinar si esta serie converge o diverge. Una forma en que podemos hacer esto es con una comparación directa con la serie armónica.
Si 𝑛 es mayor que uno, tenemos que uno sobre 𝑛 es menor que uno sobre la raíz cuadrada de 𝑛 más uno. Y sabemos que, si tenemos que 𝑎 𝑛 es menor que 𝑏 𝑛, y 𝑎 𝑛 diverge, entonces 𝑏 𝑛 también diverge. También sabemos que la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 es la serie armónica, la cual diverge. Así que la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre la raíz cuadrada de 𝑛 más uno también diverge. Hemos hallado que la serie de los valores absolutos diverge, lo que significa que esta serie no es absolutamente convergente. Pero aún podría ser condicionalmente convergente. Así que vamos a probar la convergencia de la serie en sí. Hagamos algo de sitio.
En primer lugar, podemos llevar el dos, que es un factor constante, a la izquierda del signo de sumatorio. Y si nos fijamos, este menos uno a la 𝑛 más uno, crea una serie alternada porque hace que los términos se alternen entre positivo y negativo. De modo que podemos decidir si esta serie es convergente o divergente usando la prueba de Leibniz. Recordemos que esta dice que, para una serie 𝑎 𝑛, donde 𝑎 𝑛 es igual a menos uno a la 𝑛 más uno multiplicado por 𝑏 𝑛, si 𝑏 𝑛 es decreciente, y el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑏 𝑛 es igual a cero, entonces la serie 𝑎 𝑛 es convergente. Así que, para nuestra serie, 𝑏 𝑛 es igual a uno sobre la raíz cuadrada de 𝑛 más uno. Pero ¿es decreciente? Bueno, para que 𝑏 𝑛 disminuya, necesitamos que 𝑏 𝑛 sea mayor que 𝑏 𝑛 más uno.
Sabemos que a medida que 𝑛 aumenta en uno, la raíz cuadrada de 𝑛 más uno se hace más grande. Como resultado, uno sobre la raíz cuadrada de 𝑛 más uno va a disminuir. Así que 𝑏 𝑛 es decreciente. Seguidamente, debemos verificar si el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑏 𝑛 es igual a cero. En otras palabras, ¿el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de uno sobre la raíz cuadrada de 𝑛 más uno es cero? Sabemos que la raíz cuadrada de 𝑛 más uno aumenta a medida que 𝑛 se hace más grande. Esto será uno sobre ∞. Cuando 𝑛 tiende a ∞, uno sobre la raíz cuadrada de 𝑛 más uno tiende a uno sobre ∞. El límite de esto cuando 𝑛 tiende a ∞ es cero. Por tanto, ambas condiciones se cumplen. Y esta serie es convergente.
Recordemos que una serie es condicionalmente convergente si la serie de valores absolutos diverge pero la serie converge. Y eso es exactamente lo que hemos encontrado aquí. La serie de valores absolutos es divergente. Pero la serie en sí misma es convergente. Así que podemos concluir que esta serie converge condicionalmente.
Pero ¿por qué es útil distinguir entre series absolutamente convergentes y series condicionalmente convergentes? Bueno, las series absolutamente convergentes infinitas tienen algunas de las mismas propiedades que las sumas finitas. Por ejemplo, si tenemos una suma finita, cualquier reordenamiento de los términos aún da la misma suma. Y esto también es válido para una serie absolutamente convergente. Cualquier reordenamiento produce la misma suma. Pero esto no sucede con una serie condicionalmente convergente. Esto se debe a que reorganizar los términos de una serie cambia las sumas parciales. Esto puede cambiar el límite de las sumas parciales cuando algunos de los términos son negativos. Pero no tenemos ese problema con las series absolutamente convergentes. Pero, por supuesto, esto no aplica a series condicionalmente convergentes.
Como ejemplo, se puede demostrar que la serie armónica alternada —que, como hemos visto es condicionalmente convergente — converge al logaritmo natural de dos. Pero si los términos de la serie son reordenados para que cada término positivo esté seguido por dos términos negativos, esto cambia el valor de la sumatoria. Con una serie condicionalmente convergente, la reorganización cambia la tasa relativa a la que se usan los términos positivos y negativos y, esto, a su vez, cambia la suma de la serie. De hecho, podemos hacer uso de esto para reorganizar una serie condicionalmente convergente de modo que converja a cualquier valor que queramos. Pero analizar estos resultados en detalle no forma parte de este video.
Resumamos algunos de los puntos principales que hemos visto en este video. Una serie 𝑎 𝑛 es absolutamente convergente si la serie de los valores absolutos es convergente. Y una serie 𝑎 𝑛 es condicionalmente convergente si la serie de valores absolutos es divergente, pero la serie en sí misma es convergente. Y, finalmente, si 𝑎 𝑛 es una serie absolutamente convergente con suma 𝑠, entonces cualquier reordenamiento de 𝑎 𝑛 produce la misma suma 𝑠.
